ディラック方程式

粒子物理学において、ディラック方程式は、 1928年にイギリスの物理学者ポール・ディラックによって導かれた相対論的波動方程式である。自由形式、すなわち電磁相互作用を含む形式では、パリティが対称性である電子やクォークなどの「ディラック粒子」と呼ばれるすべてのスピン1/2の質量を持つ粒子を記述する。これは、量子力学の原理と特殊相対性理論の両方と一致しており、^[1]量子力学の文脈で特殊相対性を完全に説明した最初の理論であった。これは、水素スペクトルの微細構造を完全に厳密に説明することによって検証された。これは、標準モデルの構築に不可欠となった。^[2]

この方程式は、それまで疑われず、観測もされていなかった新しい形態の物質、反物質の存在も示唆しており、数年後に実験的に確認された。また、パウリのスピンの現象論的理論にいくつかの成分波動関数を導入するための理論的根拠も提供した。ディラック理論の波動関数は4つの複素数（ビスピノルとして知られる）のベクトルであり、そのうち2つは非相対論的極限におけるパウリの波動関数に似ており、1つの複素数値のみの波動関数を記述するシュレーディンガー方程式とは対照的である。さらに、質量ゼロの極限では、ディラック方程式はワイル方程式に簡約される。

量子場理論の文脈では、ディラック方程式はスピン1 ⁄ 2粒子に対応する量子場を記述するために再解釈されます。

ディラックは、自分の研究結果の重要性を十分に理解していなかった。しかし、量子力学と相対性理論の融合の結果としてのスピンの必然的な説明、そして最終的には陽電子の発見は、理論物理学の偉大な勝利の1つである。この業績は、彼以前のニュートン、マクスウェル、アインシュタインの研究に完全に匹敵すると評されている。 ^[3]この方程式は、一部の物理学者によって「現代物理学の真の種子」と見なされている。^[4]この方程式は、「相対論的量子力学の中心」とも評されており、「この方程式はおそらく量子力学全体で最も重要な方程式である」とも言われている。^[5]

ディラック方程式はウェストミンスター寺院の床の銘板に刻まれている。1995年11月13日に除幕されたこの銘板はディラックの生涯を記念したものである。^[6]

ディラックが最初に提案した形のディラック方程式は、次の通りである。^{[7] : 291  [8]} ここで、ψ ( x , t )は、時空座標がx、tである静止質量m の電子の波動関数である。p ₁、p ₂、p _{3 は}、シュレーディンガー方程式の運動量演算子として理解される運動量の成分である。cは光速、ħ は縮小プランク定数である。これらの基本的な物理定数は、それぞれ特殊相対性理論と量子力学を反映している。 $${\displaystyle \left(\beta mc^{2}+c\sum _{n=1}^{3}\alpha _{n}p_{n}\right)\psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial t}}}$$

ディラックがこの方程式を作成した目的は、相対論的に動く電子の挙動を説明し、それによって原子を相対論と一致する方法で扱えるようにすることであった。彼は、このようにして導入された補正が原子スペクトルの問題に関係するかもしれないと期待した。

それまで、原子の古い量子理論を相対性理論と両立させようとする試みは失敗していた。相対性理論は、電子が原子核を周回する非円形の軌道に蓄えられた角運動量を離散化することに基づいていたが、ハイゼンベルク、パウリ、ジョーダン、シュレーディンガー、そしてディラック自身の新しい量子力学も、この問題を扱えるほどには発展していなかった。ディラックの当初の意図は満たされたものの、彼の方程式は物質の構造にはるかに深い意味合いを持ち、現在では基礎物理学の重要な要素となっている新しい数学的クラスの物体を導入した。

この式の新しい要素は、4 つの4 × 4 行列 α ₁、α ₂、α ₃、βと、4 成分の波動関数 ψです。 ψに 4 つの成分があるのは、配置空間内の任意の点におけるその評価がビスピノルであるためです。これは、スピンアップ電子、スピンダウン電子、スピンアップ陽電子、スピンダウン陽電子 の重ね合わせとして解釈されます。

4 × 4行列α _kとβはすべてエルミート行列であり、逆行列である。 また、それらはすべて互いに反交換である。 $${\displaystyle \alpha _{i}^{2}=\beta ^{2}=I_{4}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{i}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{i}&=0\quad (i\neq j)\\\alpha _{i}\beta +\beta \alpha _{i}&=0\end{aligned}}}$$

これらの行列と波動関数の形は数学的に深い意味を持っています。ガンマ行列で表される代数構造は、約 50 年前にイギリスの数学者WK クリフォードによって作成されました。クリフォードのアイデアは、19 世紀半ばのドイツの数学者ヘルマン グラスマンのLineare Ausdehnungslehre (線形展開の理論)の研究から生まれました。^[要出典]

ディラック方程式は、質量を持つ自由粒子に対するシュレーディンガー方程式と表面的には似ています。 $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\phi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\phi ~.}$$

左辺は、運動量演算子の二乗を質量の2倍で割った値、つまり非相対論的運動エネルギーを表す。相対論では空間と時間を全体として扱うため、この方程式を相対論的に一般化すると、光の振る舞いを支配するマクスウェル方程式と同様に、空間と時間の導関数が対称的に入らなければならない。つまり、方程式は空間と時間において微分的に同じ順序でなければならない。相対論では、運動量とエネルギーは時空ベクトル、つまり4元運動量の空間と時間の部分であり、相対論的に不変な関係で結びついている。 $${\displaystyle E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}$$

これは、この 4 元ベクトルの長さが静止質量mに比例することを示している。シュレーディンガー理論のエネルギーと運動量の演​​算子相当を代入すると、相対論的に不変なオブジェクトから構築された波の伝播を記述する クライン・ゴルドン方程式が生成され、 波動関数は相対論的スカラー、つまりすべての参照フレームで同じ数値を持つ複素数です。空間導関数と時間導関数は両方とも 2 次になります。これは、方程式の解釈に重要な結果をもたらします。方程式は時間導関数で 2 次であるため、明確な問題を解くには、波動関数自体とその 1 次時間導関数の両方の初期値を指定する必要があります。どちらも多かれ少なかれ任意に指定できるため、波動関数は、特定の運動状態で電子を見つける確率密度を決定するという以前の役割を維持できません。シュレーディンガー理論では、確率密度は正定値表現で与えられ 、この密度は 連続方程式に従う確率電流と密度の保存を伴う 確率電流ベクトルに従って対流されます 。$${\displaystyle \left(-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}\right)\phi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\phi }$$${\displaystyle \phi }$$${\displaystyle \rho =\phi ^{*}\phi }$$$${\displaystyle J=-{\frac {i\hbar }{2m}}(\phi ^{*}\nabla \phi -\phi \nabla \phi ^{*})}$$$${\displaystyle \nabla \cdot J+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0~.}$$

この連続方程式に従って密度が正定値で対流しているという事実は、ある領域で密度を積分し、合計を 1 に設定することができ、この条件が保存則によって維持されることを意味します。確率密度カレントを持つ適切な相対論的理論も、この特徴を共有する必要があります。対流密度の概念を維持するには、密度とカレントのシュレーディンガー表現を一般化して、空間と時間の導関数が再びスカラー波動関数に対して対称的に入るようにする必要があります。シュレーディンガー表現はカレントに対して保持できますが、確率密度は対称的に形成された表現^{[さらなる説明が必要]} に置き換える必要があります。 これは、時空ベクトルの 4 番目の要素になり、確率 4 電流密度全体が相対論的に共変な表現を持ちます。 $${\displaystyle \rho ={\frac {i\hbar }{2mc^{2}}}\left(\psi ^{*}\partial _{t}\psi -\psi \partial _{t}\psi ^{*}\right).}$$$${\displaystyle J^{\mu }={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*}\right).}$$

連続方程式は以前と同じです。これですべてが相対論と互換性がありますが、密度の表現はもはや正定値ではありません。ψ と ∂ t ψ の両方の初期値は自由に選択_でき、密度は負になる可能性がありますが、これは正当な確率密度では不可能です。したがって、波動関数が相対論的スカラーであり、それが満たす方程式が時間の 2 次であるという単純な仮定の下では、シュレーディンガー方程式の単純な一般化を得ることはできません。

シュレーディンガー方程式の相対論的一般化としては成功していないが、この方程式は量子場の理論の文脈で復活し、クライン・ゴルドン方程式として知られ、スピンのない粒子場（例えば、パイ中間子やヒッグス粒子）を記述する。歴史的には、シュレーディンガー自身が彼の名前を冠した方程式よりも前にこの方程式に到達したが、すぐにそれを放棄した。量子場の理論の文脈では、不定密度は確率密度ではなく、正または負になり得る電荷密度に対応すると理解されている。

そこでディラックは、空間と時間の両方で一次の方程式を試そうと考えた。彼は、 演算子が線形性のためには から独立し、空間と時間の均一性のためには から独立しなければならないという形の方程式を仮定した。これらの制約は、演算子が依存する追加の動的変数を暗示しており、この要件から、ディラックは演算子がパウリ行列に関連する 4x4 行列に依存すると結論付けた。^{[9] : 205}$${\displaystyle E\psi =({\vec {\alpha }}\cdot {\vec {p}}+\beta m)\psi }$$${\displaystyle ({\vec {\alpha }},\beta )}$${\displaystyle ({\vec {p}},t)}$${\displaystyle ({\vec {x}},t)}$${\displaystyle ({\vec {\alpha }},\beta )}$

たとえば、形式的には（つまり、表記法 を乱用することによって、 2 つの微分演算子の和の関数平方根を取るのは簡単ではないため）、エネルギーの相対論的表現を取り、 p をそれに相当する演算子で 置き換え、平方根を微分演算子の無限級数で展開し、固有値問題を設定し、反復によって方程式を形式的に解くことができます。ほとんどの物理学者は、たとえ技術的に可能であったとしても、このようなプロセスをほとんど信じていませんでした。 $${\displaystyle E=c{\sqrt {p^{2}+m^{2}c^{2}}}~,}$$

伝説によれば、ディラックはケンブリッジ大学の暖炉を見つめながらこの問題について考えていたとき、波動演算子の平方根をとるというアイデアを思いつきました (半微分も参照)。 $${\displaystyle \nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}=\left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}\right)\left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}\right)~.}$$

右辺を掛け算すると、∂ _x ∂ _yなどの交差項を全て消すためには、 次のように 仮定する必要があることは明らかである。$${\displaystyle AB+BA=0,~\ldots ~}$$$${\displaystyle A^{2}=B^{2}=\dots =1~.}$$

当時ハイゼンベルクの行列力学の基礎を解明することに熱心に取り組んでいたディラックは、 A、B、C、Dが行列であればこれらの条件が満たされ、波動関数が複数の成分を持つことになるということをすぐに理解した。これにより、それまでパウリ自身にとっても謎とされていた、スピンに関するパウリの現象論的理論における2成分波動関数の出現がすぐに説明された。しかし、必要な特性を持つシステムを構築するには少なくとも4×4の行列が必要であるため、波動関数は4つの成分を持ち、パウリ理論の2つや単なるシュレーディンガー理論の1つではない。4成分波動関数は、ここで初めて登場する物理理論における新しいクラスの数学的対象を表している。

これらの行列の因数分解が与えられれば、決定すべき方程式をすぐに書き出すことができる 。両辺に行列演算子を再度適用すると、次の式が得られる。 $${\displaystyle \left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}\right)\psi =\kappa \psi }$$${\displaystyle \kappa }$$${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}\right)\psi =\kappa ^{2}\psi ~.}$$

をとると、波動関数のすべての要素が、相対論的なエネルギー・運動量関係を個別に満たしていることがわかります。したがって、空間と時間の両方で1次の方程式は、 ${\displaystyle \kappa ={\tfrac {mc}{\hbar }}}$$${\displaystyle \left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}-{\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =0~.}$$

およびを設定する と、 なので、ディラック方程式は上記のように生成されます。 $${\displaystyle A=i\beta \alpha _{1}\,,\,B=i\beta \alpha _{2}\,,\,C=i\beta \alpha _{3}\,,\,D=\beta ~,}$$${\displaystyle D^{2}=\beta ^{2}=I_{4}}$

方程式の相対論的不変性を証明するには、空間導関数と時間導関数が同等の立場で現れる形に方程式を変換することが有利である。新しい行列は次のように導入される。 そして方程式は（ 4次元勾配 の共変成分の定義、特に∂ ₀ = ⁠ であることを覚えておいて）次の形をとる。$${\displaystyle {\begin{aligned}D&=\gamma ^{0},\\A&=i\gamma ^{1},\quad B=i\gamma ^{2},\quad C=i\gamma ^{3},\end{aligned}}}$$1/c⁠ ∂ _t )

ここで、 2回繰り返されるインデックスμ = 0, 1, 2, 3の値の暗黙的な和があり、∂ _{μ は}4次元勾配です。実際には、ガンマ行列は、パウリ行列から取られた2 × 2の部分行列と2 × 2の単位行列で表されます。明示的に標準的な表現は、 $${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{1}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{x}\\-\sigma _{x}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{2}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{y}\\-\sigma _{y}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{z}\\-\sigma _{z}&0\end{pmatrix}}.}$$

完全なシステムは、時空上のミンコフスキー計量を使用して、の形式で 要約されます。 ここで、括弧内の表現 は反交換子を 表します。これらは、計量シグネチャ(+ − − −)を持つ擬似直交 4 次元空間上のクリフォード代数の定義関係です。ディラック方程式で使用される特定のクリフォード代数は、今日ではディラック代数として知られています。方程式が定式化された時点ではディラックによってそのように認識されていませんでしたが、後から考えると、この幾何代数の導入は量子論の発展における大きな前進を表しています。 $${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}}$$$${\displaystyle \{a,b\}=ab+ba}$$

ディラック方程式は、静止質量が4 次元運動量演算子の固有値に比例し、比例定数が光速となる 固有値方程式として解釈できるようになりました。$${\displaystyle \operatorname {P} _{\mathsf {op}}\psi =m\ c\ \psi ~.}$$

（「d-スラッシュ」と発音します）^[10]を使用すると、ファインマンのスラッシュ表記によれば、ディラック方程式は次のようになります。 ${\displaystyle {\partial \!\!\!/}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }}$${\displaystyle {\partial \!\!\!{\big /}}}$$${\displaystyle i\hbar {\partial \!\!\!{\big /}}\psi -mc\psi =0~.}$$

実際には、物理​​学者はħ = c = 1のような自然単位と呼ばれる測定単位をよく使用します。その場合、方程式は単純な形になります。

基本定理^{[これは？ ]は、}クリフォード関係を満たす2つの異なる行列集合が与えられた場合、それらは相似変換によって互いに接続されると述べています。 $${\displaystyle \gamma ^{\mu \prime }=S^{-1}\gamma ^{\mu }S~.}$$

さらに、行列がすべてユニタリで、ディラック集合もユニタリである場合、S自体もユニタリです。 $${\displaystyle \gamma ^{\mu \prime }=U^{\dagger }\gamma ^{\mu }U~.}$$

変換U は、絶対値 1 の乗法係数を除いて一意です。ここで、空間と時間の座標、および共変ベクトルを形成する微分演算子に対してローレンツ変換が実行されたと仮定します。演算子γ ^μ ∂ _μが不変であるためには、ガンマは、それらの時空インデックスに関して反変ベクトルとして相互に変換される必要があります。これらの新しいガンマは、ローレンツ変換の直交性により、クリフォード関係式を満たします。前述の基礎定理^{[どれですか? ]}により、新しいセットを、ユニタリ変換の対象となる古いセットに置き換えることができます。新しいフレームでは、静止質量が相対論的スカラーであることを思い出すと、ディラック方程式は次の形式になります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(iU^{\dagger }\gamma ^{\mu }U\partial _{\mu }^{\prime }-m\right)\psi \left(x^{\prime },t^{\prime }\right)&=0\\U^{\dagger }(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }-m)U\psi \left(x^{\prime },t^{\prime }\right)&=0~.\end{aligned}}}$$

変換されたスピノルが次のように定義される場合 、変換されたディラック方程式は、明白な相対論的不変性を 示す方法で生成されます。 $${\displaystyle \psi ^{\prime }=U\psi }$$$${\displaystyle \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }-m\right)\psi ^{\prime }\left(x^{\prime },t^{\prime }\right)=0~.}$$

したがって、スピノルが与えられたローレンツ変換に対応するユニタリ変換に従って変換される限り、ガンマの任意のユニタリ表現を決定することは最終的なものとなります。

使用されるディラック行列のさまざまな表現により、ディラック波動関数の物理的内容の特定の側面が明らかになります。ここで示す表現は標準表現として知られています。この表現では、波動関数の上位 2 つの成分は、光と比較して低エネルギーおよび低速度の限界で、パウリの 2 スピノル波動関数に移行します。

以上の考察は、幾何学におけるガンマの起源を明らかにし、グラスマンの当初の動機を思い起こさせる。ガンマは時空における単位ベクトルの固定された基底を表す。同様に、γ _μ γ _νなどのガンマの積は、方向付けられた表面要素を表すなどである。これを念頭に置くと、次のようにガンマに関して時空上の単位体積要素の形を見つけることができる。定義によれば、 $${\displaystyle V={\frac {1}{4!}}\epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\beta }.}$$

これが不変量であるためには、イプシロン記号はテンソルでなければならず、したがって√ gの因子を含んでいなければなりません。ここでgは計量テンソルの行列式です。これは負なので、その因子は虚数です。したがって $${\displaystyle V=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}.}$$

この行列は、基底ベクトルの向きを変えるような不適当な時空変換を考えるときに重要であるため、 特別な記号γ ^{5で表されます。標準的な表現では、}$${\displaystyle \gamma _{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}.}$$

この行列は他の 4 つのディラック行列と反交換することもわかります。 $${\displaystyle \gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0}$$

方向性のある大きさとしての体積要素は時空反射の下で符号が変わるため、 パリティの問題が生じたときにはこれが主導的な役割を果たします。したがって、上記の正の平方根を取ることは、時空上の利き手の慣例を選択することに相当します。

半整数スピンの導入の必要性は、実験的にはシュテルン・ゲルラッハ実験の結果に遡る。原子ビームを強い不均一 磁場に通すと、原子の固有角運動量に応じてN個の部分に分割される。銀原子の場合、ビームは 2 つに分割されることが判明した。したがって基底状態は整数にはならない。なぜなら、原子の固有角運動量が可能な限り小さい 1 であっても、ビームはL _z = −1、0、+1の原子に対応する 3 つの部分に分割されるからである。結論として、銀原子は正味の固有角運動量が ⁠ である。1/2パウリは、2成分波動関数とハミルトニアン内の対応する補正項を導入することでこの分裂を説明する理論を構築しました。これは、この波動関数と印加磁場の半古典的な結合を表し、SI単位では次のようになります。（太字は3 次元のユークリッドベクトルを意味しますが、ミンコフスキーの4元ベクトルA _μは次のように定義できます。） ${\displaystyle A_{\mu }=\left(\phi /c,-\mathbf {A} \right)~.}$$${\displaystyle H={\frac {1}{\ 2\ m\ }}\ {\Bigl (}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\bigl (}\mathbf {p} -e\ \mathbf {A} {\bigr )}{\Bigr )}^{2}+e\ \phi ~.}$$

ここで、Aと は、標準 SI 単位での電磁 4 元ポテンシャルの成分を表し、3 つのシグマはパウリ行列です。最初の項を二乗すると、磁場との残留相互作用が、 SI 単位で印加された磁場と相互作用する荷電粒子の通常の古典的なハミルトニアンとともに見つかります。 ${\displaystyle \phi }$$${\displaystyle H={\frac {1}{\ 2\ m\ }}\ {\bigl (}\mathbf {p} -e\ \mathbf {A} {\bigr )}^{2}+e\ \phi -{\frac {e\ \hbar }{\ 2\ m\ }}\ {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} ~.}$$

このハミルトニアンは2 × 2行列なので、それに基づくシュレーディンガー方程式は 2 成分波動関数を使用する必要があります。同様の方法で外部電磁 4 ベクトル ポテンシャルをディラック方程式に導入すると、最小結合として知られ、次の形式になります。 $${\displaystyle {\Bigl (}\gamma ^{\mu }\ {\bigl (}i\ \hbar \ \partial _{\mu }-e\ A_{\mu }{\bigr )}-m\ c{\Bigr )}\ \psi =0~.}$$

ディラック演算子を 2 度目に応用すると、パウリ項が以前とまったく同じように再現されます。これは、i を乗じた空間ディラック行列が、パウリ行列と同じ二乗特性と交換特性を持つためです。さらに、パウリの新しい項の前にある電子の磁気回転比の値は、第一原理から説明されます。これはディラック方程式の大きな成果であり、物理学者にその全体的な正確さに対する大きな信頼を与えました。しかし、それだけではありません。パウリ理論は、次のようにディラック理論の低エネルギー極限として見ることができます。まず、方程式は 2 スピノルの結合方程式の形式で書かれ、SI 単位が復元されます。 したがって 、$${\displaystyle {\begin{pmatrix}m\ c^{2}-E+e\ \phi \quad &+c\ {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\ \mathbf {A} \right)\\-c\ {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\ \mathbf {A} \right)&m\ c^{2}+E-e\ \phi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}~.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}(E-e\ \phi )\ \psi _{+}-c\ {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\ \mathbf {A} \right)\ \psi _{-}&=m\ c^{2}\ \psi _{+}\\c\ {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\ \mathbf {A} \right)\ \psi _{+}-\left(E-e\ \phi \right)\ \psi _{-}&=m\ c^{2}\ \psi _{-}\end{aligned}}~.}$$

場が弱く、電子の運動が非相対論的であると仮定すると、電子の全エネルギーはほぼ静止エネルギーに等しく、運動量は古典的な値になり、 したがって2番目の式は次のように書ける。 $${\displaystyle {\begin{aligned}E-e\ \phi &\approx m\ c^{2}\\\mathbf {p} &\approx m\ \mathbf {v} \end{aligned}}}$$$${\displaystyle \psi _{-}\approx {\frac {1}{\ 2\ m\ c\ }}\ {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\Bigl (}\mathbf {p} -e\ \mathbf {A} {\Bigr )}\ \psi _{+}}$$

これは次の順序である。したがって、典型的なエネルギーと速度では、標準表現におけるディラックスピノルのボトム成分はトップ成分に比べて大幅に抑制されている。この表現を最初の式に代入すると、いくつかの整理の後、次の式が得られる。 ${\displaystyle \ {\tfrac {\ v\ }{c}}~.}$$${\displaystyle {\bigl (}E-m\ c^{2}{\bigr )}\ \psi _{+}={\frac {1}{\ 2\ m\ }}\ {\Bigl [}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\bigl (}\mathbf {p} -e\ \mathbf {A} {\bigr )}{\Bigr ]}^{2}\ \psi _{+}+e\ \phi \ \psi _{+}\ }$$

左側の演算子は、粒子の全エネルギーを静止エネルギーで減じたものを表し、静止エネルギーはまさに古典的な運動エネルギーであるため、非相対論的近似でディラック スピノルの上位成分とパウリの 2 次元スピノルを同一視すれば、パウリの理論を再現することができます。さらに近似すると、パウリ理論の極限としてシュレーディンガー方程式が得られます。したがって、スピンを無視して低エネルギーおよび低速度でのみ作業する場合、シュレーディンガー方程式はディラック方程式の極限非相対論的近似と見なすことができます。これも新しい方程式の大きな勝利でした。方程式に現れる謎のiと複雑な波動関数の必要性を、ディラック代数を通じて時空の幾何学にまでさかのぼったからです。また、シュレーディンガー方程式が表面上は拡散方程式の形をしているにもかかわらず、実際には波動伝播を表す理由も明らかにしています。

ディラック スピノル全体が、還元不可能な全体を表していることを、強く強調しておく必要があります。ここで行われるディラック スピノルの大きな要素と小さな要素への分離は、低エネルギー近似が有効であることに依存します。パウリ理論がディラック方程式の低速度近似によって回復できることを示すために上記で無視された要素は、相対論的領域で観測される新しい現象 (反物質、粒子の生成と消滅など) を生み出すために必要です。

質量がゼロの場合、ディラック方程式はワイル方程式に簡約され、相対論的な質量ゼロのスピン1 ⁄ 2粒子を記述する。^[11]${\displaystyle m=0}$

理論は 2 番目の対称性を獲得します。以下を参照してください。 ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

量子理論における重要な物理的問題は、理論によって定義される物理的に観測可能な量とは何か、ということである。量子力学の公理によれば、そのような量は、システムの可能な状態のヒルベルト空間に作用する自己随伴演算子によって定義される。これらの演算子の固有値は、対応する物理量を測定した場合に起こり得る結果である。シュレーディンガー理論では、そのような最も単純なオブジェクトは、システム全体のエネルギーを表す全体ハミルトニアンである。この解釈をディラック理論に移行しても維持するには、ハミルトニアンは 次 のように解釈する必要がある。ここで、常に、2 回繰り返されるインデックスk = 1, 2, 3にわたる暗黙の合計がある。これは有望に思える。なぜなら、粒子の静止エネルギーと、 A = 0の場合は電位cqA ⁰に置かれた電荷のエネルギーを検査によって確認できるからである。ベクトル ポテンシャルを含む項はどうだろうか。古典的な電気力学では、印加電位内を移動する電荷のエネルギーは次のように表される。 $${\displaystyle H=\gamma ^{0}\left[mc^{2}+c\gamma ^{k}\left(p_{k}-qA_{k}\right)\right]+cqA^{0}.}$$$${\displaystyle H=c{\sqrt {\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)^{2}+m^{2}c^{2}}}+qA^{0}.}$$

このように、ディラック ハミルトニアンは古典的なものとは根本的に区別されており、この理論で観測可能なものを正しく識別するには細心の注意を払う必要があります。ディラック方程式によって暗示される一見矛盾した動作の多くは、これらの観測可能なものの誤認に相当します。^{[引用が必要]}

方程式の負のE解は問題があります。なぜなら、粒子は正のエネルギーを持っていると仮定されているからです。しかし、数学的に言えば、負のエネルギー解を否定する理由はないようです。それらは存在するので、単に無視することはできません。なぜなら、電子と電磁場の相互作用が考慮されると、正のエネルギーの固有状態にある電子は、エネルギーが連続的に低下する負のエネルギーの固有状態に崩壊するからです。実際の電子は明らかにこのようには動作しません。そうでなければ、光子の形でエネルギーを放出して消滅するでしょう。

この問題に対処するため、ディラックは、真空はすべての負のエネルギーの電子固有状態が占められている多体量子状態であるという、正孔理論として知られる仮説を導入しました。真空を電子の「海」として説明するこの説明は、ディラックの海と呼ばれています。パウリの排他原理により、電子が同じ状態を占めることは禁じられているため、追加の電子は正のエネルギーの固有状態を占めざるを得なくなり、正のエネルギーの電子は負のエネルギーの固有状態に崩壊することが禁じられます。

ディラックはさらに、負のエネルギーの固有状態が完全に満たされていない場合、それぞれの空いている固有状態（ホールと呼ばれる）は正に帯電した粒子のように振舞うだろうと推論した。ホールが正のエネルギーを持つのは、真空から粒子とホールのペアを作るのにエネルギーが必要なためである。前述のように、ディラックは当初ホールは陽子かもしれないと考えていたが、ヘルマン・ワイルは、ホールは電子と同じ質量を持っているかのように振舞うべきであるが、陽子は電子の1800倍以上重いと指摘した。ホールは最終的に陽電子であると特定され、 1932年にカール・アンダーソンによって実験的に発見された。^[12]

負のエネルギーを持つ電子の無限の海を使って「真空」を記述するのは、完全に満足できるものではありません。負のエネルギーを持つ電子の海からの無限の負の寄与は、無限の正の「裸の」エネルギーによって打ち消されなければなりません。また、負のエネルギーを持つ電子の海から来る電荷密度と電流への寄与は、真空の正味の電荷密度がゼロになるように、無限の正の「ジェリウム」背景によって正確に打ち消されます。量子場の理論では、生成演算子と消滅演算子に対するボゴリュボフ変換(占有された負のエネルギーを持つ電子状態を占有されていない正のエネルギーを持つ陽電子状態に変換し、占有されていない負のエネルギーを持つ電子状態を占有された正のエネルギーを持つ陽電子状態に変換する) によって、形式的にはディラックの海の形式と同等であるにもかかわらず、それを回避することができます。

しかし、凝縮物質物理学の特定の応用では、「ホール理論」の根底にある概念は有効です。電気伝導体内の伝導電子の海はフェルミ海と呼ばれ、システムの化学ポテンシャルまでのエネルギーを持つ電子が含まれています。フェルミ海の満たされていない状態は正に帯電した電子のように動作し、これも「電子ホール」と呼ばれますが、陽電子とは異なります。フェルミ海の負電荷は、物質の正に帯電したイオン格子によってバランスが取られています。

量子電磁力学などの量子場理論では、ディラック場は第二量子化のプロセスの対象となり、方程式のいくつかの逆説的な特徴が解決されます。

場の理論のための現代的な定式化では、ディラック方程式は、平坦な時空（ミンコフスキー空間）上で定義される、具体的には と記述される複素ベクトル空間で値を取るディラックスピノル場によって記述されます。その表現には、ガンマ行列、質量として解釈されるパラメータ、およびその他の物理定数も含まれています。ディラックは、計量テンソルによって決定される運動量ベクトルのスカラー積を仮定して、アインシュタインのエネルギー-運動量-質量同値関係を因数分解して最初に方程式を取得し、運動量をそれぞれの演算子に関連付けることで結果として得られる関係を量子化しました。 ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$${\displaystyle m>0}$

場に関して言えば、ディラック方程式は ${\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {C} ^{4}}$

そして自然単位では、ファインマンスラッシュ記法で、

ガンマ行列は、定義する反交換関係を満たす4 つの複素行列 ( の元)のセットです。 ここで はミンコフスキー計量元であり、インデックスは0、1、2、3 です。これらの行列は、表現方法の選択によって明示的に実現できます。一般的な 2 つの選択肢は、ディラック表現とカイラル表現です。ディラック表現は であり、 ここで はパウリ行列です。 ${\displaystyle 4\times 4}$${\displaystyle {\text{Mat}}_{4\times 4}(\mathbb {C} )}$$${\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}}$$${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$${\displaystyle \mu ,\nu }$$${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&0\end{pmatrix}},}$$${\displaystyle \sigma ^{i}}$

カイラル表現では同じですが、 ${\displaystyle \gamma ^{i}}$${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}~.}$

スラッシュ表記は、 の簡潔な表記法です 。 ここで は4 次元ベクトルです (多くの場合、4 次元ベクトル微分演算子 です)。インデックス上の和は暗黙的に示されます。 $${\displaystyle A\!\!\!/:=\gamma ^{\mu }A_{\mu }}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle \partial _{\mu }}$${\displaystyle \mu }$

あるいは、波動関数を構成する4つの量に対する4つの結合した線形一次偏微分方程式をベクトルとして表すこともできます。プランク単位では、これは次のようになります。^{[13] : 6} これにより、4つの未知の関数を持つ4つの偏微分方程式のセットであることが明確になります。（σ _{y は}虚数であるため、⁠ ⁠項の前にiが付かないことに注意してください。） $${\displaystyle i\partial _{x}{\begin{bmatrix}+\psi _{4}\\+\psi _{3}\\-\psi _{2}\\-\psi _{1}\end{bmatrix}}+\partial _{y}{\begin{bmatrix}+\psi _{4}\\-\psi _{3}\\-\psi _{2}\\+\psi _{1}\end{bmatrix}}+i\partial _{z}{\begin{bmatrix}+\psi _{3}\\-\psi _{4}\\-\psi _{1}\\+\psi _{2}\end{bmatrix}}-m{\begin{bmatrix}+\psi _{1}\\+\psi _{2}\\+\psi _{3}\\+\psi _{4}\end{bmatrix}}=i\partial _{t}{\begin{bmatrix}-\psi _{1}\\-\psi _{2}\\+\psi _{3}\\+\psi _{4}\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle \partial _{y}}$

スピノル場のディラック随伴方程式は次のように定義される。 ガンマ行列の性質（のエルミート性の性質から直接導かれる）を用いると、 ディラック方程式のエルミート共役を取り、右側にを掛けることで随伴ディラック方程式を導くことができる。 ここで偏微分は右側からに作用する。通常の方法で微分の左作用として書くと、次のようになる。 ${\displaystyle \psi (x)}$$${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)=\psi (x)^{\dagger }\gamma ^{0}.}$$${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$$${\displaystyle (\gamma ^{\mu })^{\dagger }=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\gamma ^{0},}$$${\displaystyle \gamma ^{0}}$$${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)(-i\gamma ^{\mu }{\overleftarrow {\partial }}_{\mu }-m)=0}$$${\displaystyle {\overleftarrow {\partial }}_{\mu }}$${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)}$$${\displaystyle -i\partial _{\mu }{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }-m{\bar {\psi }}(x)=0.}$$

これをディラック方程式に 適用すると 次のようになります。つまり、ディラックスピノル場の各成分はクライン・ゴルドン方程式を満たします。 ${\displaystyle i\partial \!\!\!/+m}$$${\displaystyle (\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+m^{2})\psi (x)=0.}$$

理論の 保存流は$${\displaystyle J^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi .}$$

この式を導くもう一つの方法は変分法であり、グローバル対称性に対するノイマンの定理を適用して保存電流を導く。${\displaystyle {\text{U}}(1)}$${\displaystyle J^{\mu }.}$

ディラック演算子は 4 組の平方積分可能な関数に作用するため、その解は同じヒルベルト空間のメンバーになるはずです。解のエネルギーに下限がないという事実は予想外です。

平面波解は、4次元運動量を持つ粒子をモデル化する仮説から生じる解であり 、$${\displaystyle \psi (x)=u(\mathbf {p} )e^{-ip\cdot x}}$$${\displaystyle p=(E_{\mathbf {p} },\mathbf {p} )}$${\textstyle E_{\mathbf {p} }={\sqrt {m^{2}+|\mathbf {p} |^{2}}}.}$

この仮定では、ディラック方程式は の方程式になります。 ガンマ行列 の表現を選択した後、これを解くことは線形方程式の連立を解くことです。ガンマ行列の表現に依存しない特性として、解空間は 2 次元です (こちら を参照)。 ${\displaystyle u(\mathbf {p} )}$$${\displaystyle \left(\gamma ^{\mu }p_{\mu }-m\right)u(\mathbf {p} )=0.}$$${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$

たとえば、 のカイラル表現では、解空間はベクトルによってパラメータ化され、 と なります。 ここで、 および はエルミート行列の平方根です。 ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \xi }$$${\displaystyle u(\mathbf {p} )={\begin{pmatrix}{\sqrt {\sigma ^{\mu }p_{\mu }}}\xi \\{\sqrt {{\bar {\sigma }}^{\mu }p_{\mu }}}\xi \end{pmatrix}}}$$${\displaystyle \sigma ^{\mu }=(I_{2},\sigma ^{i}),{\bar {\sigma }}^{\mu }=(I_{2},-\sigma ^{i})}$${\displaystyle {\sqrt {\cdot }}}$

これらの平面波解は、正準量子化の出発点となります。

ディラック方程式と随伴ディラック方程式は両方とも、次式で与えられる特定のラグランジアン密度で作用を（変化させて）得ることができます。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }}\psi }$$

これを に関して変化させると、随伴ディラック方程式が得られます。一方、これを に関して変化させると、ディラック方程式が得られます。 ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\bar {\psi }}}$

自然単位とスラッシュ表記では、動作は次のようになります。

この作用により、上記の保存電流は、場の理論に対するノイマンの定理を通じて、グローバル対称性に対応する保存電流として生じます。この場の理論を、対称性を局所的な時空点依存の対称性に変更してゲージ化すると、ゲージ対称性 (実際にはゲージ冗長性) が得られます。結果として得られる理論は、量子電気力学または QED です。詳細については、以下を参照してください。 ${\displaystyle J^{\mu }}$${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

ディラック方程式はローレンツ変換、つまりローレンツ群の作用、または厳密には恒等方程式に連結された成分に対して不変です。 ${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)^{+}}$

ディラックスピノルを具体的に の値を取るものとして見ると、ローレンツ変換による変換は複素行列で与えられます。対応する の定義には微妙な点があり、また表記法の標準的な乱用もあります。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle 4\times 4}$${\displaystyle S[\Lambda ]}$${\displaystyle S[\Lambda ]}$

ほとんどの処理はリー代数レベルで行われます。より詳細な処理については、ここを参照してください。に作用する実数行列のローレンツ群は、要素を 持つ6 つの行列のセットによって生成されます。 両方のインデックスが増加または減少すると、これらは単に反対称行列の「標準基底」になります。 ${\displaystyle 4\times 4}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$${\displaystyle \{M^{\mu \nu }\}}$$${\displaystyle (M^{\mu \nu })^{\rho }{}_{\sigma }=\eta ^{\mu \rho }\delta ^{\nu }{}_{\sigma }-\eta ^{\nu \rho }\delta ^{\mu }{}_{\sigma }.}$$${\displaystyle \rho ,\sigma }$

これらはローレンツ代数の交換関係を満たします。 ディラック代数 に関する記事では、スピン生成子が ローレンツ代数の交換関係を満たすこともわかっています。 $${\displaystyle [M^{\mu \nu },M^{\rho \sigma }]=M^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }-M^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+M^{\nu \rho }\eta ^{\mu \sigma }-M^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }.}$$$${\displaystyle S^{\mu \nu }={\frac {1}{4}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]}$$

ローレンツ変換はと表すことができます。 ここで、 の成分はで反対称です。 ${\displaystyle \Lambda }$$${\displaystyle \Lambda =\exp \left({\frac {1}{2}}\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu }\right)}$$${\displaystyle \omega _{\mu \nu }}$${\displaystyle \mu ,\nu }$

スピン空間上の対応する変換は、 これは表記法の乱用ですが、標準的なものです。理由は、は の明確に定義された関数ではないからです。なぜなら、同じでありながら異なる を与えるの異なるセット（同値を除く）が2つあるからです。実際には、これらのうちの1つを暗黙的に選択し、 はによって明確に定義されます。$${\displaystyle S[\Lambda ]=\exp \left({\frac {1}{2}}\omega _{\mu \nu }S^{\mu \nu }\right).}$$${\displaystyle S[\Lambda ]}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \omega _{\mu \nu }}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle S[\Lambda ]}$${\displaystyle \omega _{\mu \nu }}$${\displaystyle S[\Lambda ]}$${\displaystyle \omega _{\mu \nu }.}$

ローレンツ変換により、ディラック方程式 は $${\displaystyle i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi (x)-m\psi (x)=0}$$$${\displaystyle i\gamma ^{\mu }((\Lambda ^{-1})_{\mu }{}^{\nu }\partial _{\nu })S[\Lambda ]\psi (\Lambda ^{-1}x)-mS[\Lambda ]\psi (\Lambda ^{-1}x)=0.}$$

ローレンツ不変性には、保存されるノイマン電流、またはむしろ保存されるノイマン電流のテンソルが関連しています。同様に、方程式は変換に対して不変であるため、保存されるノイマン電流のテンソルが存在し、これは理論の応力エネルギーテンソルとして識別できます。ローレンツ電流は、内部角運動量を表すテンソルに加えて、応力エネルギーテンソルで表すことができます。 ${\displaystyle ({\mathcal {J}}^{\rho \sigma })^{\mu }}$${\displaystyle T^{\mu \nu }}$${\displaystyle ({\mathcal {J}}^{\rho \sigma })^{\mu }}$

ディラック方程式はローレンツ共変です。これを明確にすると、ディラック方程式だけでなく、密接に関連しながらも微妙で重要な違いがある マヨラナ スピノルとエルコ スピノルも理解しやすくなります。

ローレンツ共変性の理解は、この過程の幾何学的特徴を念頭に置くことで簡単になります。^{[14] を}時空多様体内の単一の固定点とします。その位置は、複数の座標系で表すことができます。物理学の文献では、これらは およびと書かれますが、 と は両方とも同じ点を表しますが、異なる局所参照フレーム（時空の小さな拡張された部分上の参照フレーム）にあると理解されています。 の上に異なる座標フレームのファイバーがあると想像できます。幾何学的な用語では、時空はファイバーバンドル、具体的にはフレームバンドルとして特徴付けることができると言われています。同じファイバー内の 2 点との違いは、回転とローレンツブーストの組み合わせです。座標フレームの選択は、そのバンドルを通る （局所）セクションです。${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x'}$

フレームバンドルには、2 番目のバンドルであるスピノルバンドルが結合されています。スピノルバンドルを通る断面は、粒子場 (この場合はディラック スピノル) にすぎません。スピノル ファイバー内の異なる点は、同じ物理的オブジェクト (フェルミオン) に対応しますが、異なるローレンツ フレームで表現されます。明らかに、フレームバンドルとスピノルバンドルは、一貫した方法で結び付けられなければ、一貫した結果が得られません。正式には、スピノルバンドルは関連バンドルであると言われます。これは、この場合はフレームバンドルである主バンドルに関連付けられています。ファイバー上の点間の差は、システムの対称性に対応します。スピノルバンドルには、その対称性の2 つの異なる生成元、つまり全角運動量と固有角運動量があります。どちらもローレンツ変換に対応しますが、対応の仕方が異なります。

ここでの発表はItzyksonとZuberの発表に従っています。^[15]これはBjorkenとDrellの発表とほぼ同じです。^[16]一般相対論的設定での同様の導出はWeinbergの発表に見られます。^[17]ここでは時空を平坦、つまり時空がミンコフスキー空間であると固定します。

ローレンツ変換 の下では、ディラックスピノルは次のように変換されます。 の明示的な表現は次のように与えられます 。 ここで、はローレンツ変換をパラメータ化し、は次を満たす6つの4×4行列です。 ${\displaystyle x\mapsto x',}$$${\displaystyle \psi '(x')=S\psi (x)}$$${\displaystyle S}$$${\displaystyle S=\exp \left({\frac {-i}{4}}\omega ^{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }\right)}$$${\displaystyle \omega ^{\mu \nu }}$${\displaystyle \sigma _{\mu \nu }}$$${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }={\frac {i}{2}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]~.}$$

この行列は、ディラック場の固有角運動量として解釈できます。この解釈に値するのは、ローレンツ変換の生成元 と対比することでわかります。生成元 は、次の形式を持ちます 。これは、全角運動量 として解釈できます。これは、スピノル場に対して次のように作用します。 上記にはプライムが付いていないことに 注意してください。上記は、 を変換してへの変更を取得し、元の座標系 に戻すことで得られます。 ${\displaystyle J_{\mu \nu }}$$${\displaystyle J_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\sigma _{\mu \nu }+i(x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\partial _{\mu })}$$$${\displaystyle \psi ^{\prime }(x)=\exp \left({\frac {-i}{2}}\omega ^{\mu \nu }J_{\mu \nu }\right)\psi (x)}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\mapsto x'}$${\displaystyle \psi (x)\mapsto \psi '(x')}$${\displaystyle x'\mapsto x}$

上記の幾何学的解釈は、フレーム フィールドがアフィンであり、優先原点を持たないというものです。ジェネレーターは、この空間の対称性を生成します。つまり、固定点の再ラベル付けを提供します。ジェネレーターは、ファイバー内のある点から別の点への動きを生成します。つまり、両方からの動きであり、依然として同じ時空点に対応しています。 これらのおそらくわかりにくい発言は、明示的な代数で説明できます。 ${\displaystyle J_{\mu \nu }}$${\displaystyle x~.}$${\displaystyle \sigma _{\mu \nu }}$${\displaystyle x\mapsto x'}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle a.}$

をローレンツ変換とします。ディラック方程式は、 ディラック方程式が共変である場合、すべてのローレンツ フレームでまったく同じ形式になります。 2 つのスピノルと は、どちらも同じ物理場を記述するため、物理的な観測量 (電荷、電流、質量など)を変更しない変換によって関連付けられる必要があります。 変換は、座標フレームの変更のみをエンコードする必要があります。このような変換は 4×4ユニタリ行列であることが示されています。したがって、2 つのフレームの関係は次のように記述できると想定できます。 これを変換された方程式に代入すると、結果は次のようになります 。 ローレンツ変換によって関連付けられる座標は 、 次を満たします。 元のディラック方程式は、次の式で回復されます 。 の明示的な式(上記の式に等しい) は、恒等変換の近くで無限小回転のローレンツ変換を考慮することによって取得できます。 ここで、は計量テンソルであり 、は対称で、 は反対称です。差し込みとチャグ処理をすると、 上の （無限小）形式であるが得られ、関係式 が得られる。アフィン再ラベル付けを得るには、次のように書く。 ${\displaystyle x'=\Lambda x}$$${\displaystyle i\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi (x)-m\psi (x)=0}$$$${\displaystyle i\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi ^{\prime }(x^{\prime })-m\psi ^{\prime }(x^{\prime })=0}$$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi ^{\prime }}$$${\displaystyle \psi ^{\prime }(x^{\prime })=S(\Lambda )\psi (x)}$$$${\displaystyle i\gamma ^{\mu }{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}S(\Lambda )\psi (x)-mS(\Lambda )\psi (x)=0}$$$${\displaystyle {\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}}={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }}$$$${\displaystyle S(\Lambda )\gamma ^{\mu }S^{-1}(\Lambda )={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu }\gamma ^{\nu }}$$${\displaystyle S(\Lambda )}$$${\displaystyle {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }={g^{\mu }}_{\nu }+{\omega ^{\mu }}_{\nu }\ ,\ {(\Lambda ^{-1})^{\mu }}_{\nu }={g^{\mu }}_{\nu }-{\omega ^{\mu }}_{\nu }}$$${\displaystyle {g^{\mu }}_{\nu }}$${\displaystyle {g^{\mu }}_{\nu }=g^{\mu \nu '}g_{\nu '\nu }={\delta ^{\mu }}_{\nu }}$${\displaystyle \omega _{\mu \nu }={\omega ^{\alpha }}_{\nu }g_{\alpha \mu }}$$${\displaystyle S(\Lambda )=I+{\frac {-i}{4}}\omega ^{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }+{\mathcal {O}}\left(\Lambda ^{2}\right)}$$${\displaystyle S}$${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }={\frac {i}{2}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi '(x')&=\left(I+{\frac {-i}{4}}\omega ^{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }\right)\psi (x)\\&=\left(I+{\frac {-i}{4}}\omega ^{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }\right)\psi (x'+{\omega ^{\mu }}_{\nu }\,x^{\prime \,\nu })\\&=\left(I+{\frac {-i}{4}}\omega ^{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }-x_{\mu }^{\prime }\omega ^{\mu \nu }\partial _{\nu }\right)\psi (x')\\&=\left(I+{\frac {-i}{2}}\omega ^{\mu \nu }J_{\mu \nu }\right)\psi (x')\\\end{aligned}}}$$

適切に反対称化すると、先に示した対称性の生成元が得られます。したがって、との両方は「ローレンツ変換の生成元」と言えますが、微妙な違いがあります。前者はアフィンフレームバンドル上の点の再ラベル付けに対応し、スピンバンドル上のスピノルのファイバーに沿った移動を強制します。一方、後者はスピンバンドルのファイバーに沿った移動（フレームバンドルに沿った移動とスピンバンドルのファイバーに沿った移動の両方としてとらえられます）に対応します。Weinberg は、これらを全角運動量と固有角運動量として物理的に解釈するための追加の議論を提供しています。^[18]${\displaystyle J_{\mu \nu }}$${\displaystyle J_{\mu \nu }}$${\displaystyle \sigma _{\mu \nu }}$${\displaystyle x\mapsto x'}$${\displaystyle \psi \mapsto \psi '}$

ディラック方程式は他のさまざまな方法で定式化できます。

本稿では、特殊相対論に従って平坦な時空におけるディラック方程式を展開した。曲がった時空でもディラック方程式を定式化することは可能である。

この記事では、4 つのベクトルとシュレーディンガー演算子を使用してディラック方程式を展開しました。物理空間の代数におけるディラック方程式は、幾何代数の一種である実数上のクリフォード代数を使用します。

上で述べたように、質量ゼロのディラック方程式は、直ちに同次ワイル方程式に簡約されます。ガンマ行列 のカイラル表現を使用すると、非ゼロ質量方程式は、元の 4 成分スピノルのインデックスの最初と最後のペアに作用する 1 組の結合した非同次ワイル方程式、つまり に分解することもできます。ここで、と はそれぞれ 2 成分ワイルスピノルです。これは、カイラルガンマ行列のスキューブロック形式が、と を交換し、 に 2 行 2 列のパウリ行列を適用することを意味するためです。 ${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{L}\\\psi _{R}\end{pmatrix}}}$${\displaystyle \psi _{L}}$${\displaystyle \psi _{R}}$${\displaystyle \psi _{L}}$${\displaystyle \psi _{R}}$

${\displaystyle \gamma ^{\mu }{\begin{pmatrix}\psi _{L}\\\psi _{R}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sigma ^{\mu }\psi _{R}\\{\overline {\sigma }}^{\mu }\psi _{L}\end{pmatrix}}}$。

ディラック方程式は

${\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m){\begin{pmatrix}\psi _{L}\\\psi _{R}\end{pmatrix}}=0}$

なる

${\displaystyle i{\begin{pmatrix}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{R}\\{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{L}\end{pmatrix}}=m{\begin{pmatrix}\psi _{L}\\\psi _{R}\end{pmatrix}}}$

これは、質量のない左ヘリシティスピノルと右ヘリシティスピノルに対する非同次ワイル方程式のペアに相当し、結合強度は質量に比例します。

${\displaystyle i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{R}=m\psi _{L}}$

${\displaystyle i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{L}=m\psi _{R}}$. ^{[説明が必要]}

これは、スピン反転現象の直感的な説明として提案されている。なぜなら、ヘリシティはスピンを運動方向に投影したものであるため、これらの質量のない成分は光速で伝播し、反対方向に移動するからである。^[19]ここで「質量」の役割は、速度を光速より遅くすることではなく、これらの反転が発生する平均速度を制御することである。具体的には、反転はポアソン過程としてモデル化することができる。^[20]${\displaystyle m}$

このセクションでは自然単位が使用されています。結合定数は慣例により でラベル付けされます。このパラメータは電子電荷をモデル化したものと考えることもできます。 ${\displaystyle e}$

ディラック方程式と作用は、場が次のように変換される 対称性を許容する。これはベクトル対称性 として知られるグローバル対称性である（軸対称性の反対：下記参照）。ノイマンの定理により、対応する保存電流が存在する。これは、以前に次のように言及されている。 ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$${\displaystyle \psi ,{\bar {\psi }}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x)&\mapsto e^{i\alpha }\psi (x),\\{\bar {\psi }}(x)&\mapsto e^{-i\alpha }{\bar {\psi }}(x).\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ $${\displaystyle J^{\mu }(x)={\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }\psi (x).}$$

定数 によってパラメータ化された大域的対称性を、関数 によってパラメータ化された局所的対称性に「昇格」すると、つまりディラック方程式は不変ではなくなり、 の残差導関数が存在します。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha :\mathbb {R} ^{1,3}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle e^{i\alpha }:\mathbb {R} ^{1,3}\to {\text{U}}(1),}$${\displaystyle \alpha (x)}$

修正はスカラー電気力学と同様に進行します。つまり、偏微分は共変微分に昇格されます。 共変微分は作用する場によって異なります。新しく導入されたのは電気力学からの 4 ベクトル ポテンシャルですが、ゲージ場または接続と見なすこともできます。 ${\displaystyle D_{\mu }}$ $${\displaystyle D_{\mu }\psi =\partial _{\mu }\psi +ieA_{\mu }\psi ,}$$ $${\displaystyle D_{\mu }{\bar {\psi }}=\partial _{\mu }{\bar {\psi }}-ieA_{\mu }{\bar {\psi }}.}$$${\displaystyle A_{\mu }}$${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

に対するゲージ変換による変換則は通常のものですが 、共変微分がゲージ変換によって次のように変換されることを求めることによっても導くことができます 。次に、偏微分を共変微分に昇格させることで、ゲージ不変なディラック作用を得ます。 ゲージ不変なラグランジアンを書き下すために必要な最後のステップは、マクスウェルラグランジアン項を追加することです。 これらをまとめると 、${\displaystyle A_{\mu }}$$${\displaystyle A_{\mu }(x)\mapsto A_{\mu }(x)+{\frac {1}{e}}\partial _{\mu }\alpha (x)}$$$${\displaystyle D_{\mu }\psi (x)\mapsto e^{i\alpha (x)}D_{\mu }\psi (x),}$$ $${\displaystyle D_{\mu }{\bar {\psi }}(x)\mapsto e^{-i\alpha (x)}D_{\mu }{\bar {\psi }}(x).}$$$${\displaystyle S=\int d^{4}x\,{\bar {\psi }}\,(iD\!\!\!\!{\big /}-m)\,\psi =\int d^{4}x\,{\bar {\psi }}\,(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\,\psi .}$$$${\displaystyle S_{\text{Maxwell}}=\int d^{4}x\,\left[-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }\right].}$$

共変微分を展開すると、アクションを 2 番目の便利な形式で記述できるようになります。 $${\displaystyle S_{\text{QED}}=\int d^{4}x\,\left[-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+{\bar {\psi }}\,(i\partial \!\!\!{\big /}-m)\,\psi -eJ^{\mu }A_{\mu }\right]}$$

質量のないディラック粒子、つまり、ディラック方程式を満たす場は、2 番目の非同等な対称性を許容します。 ${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle m=0}$${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

これは、4 成分のディラック粒子を2 成分のベクトル場のペアとして書き、 ガンマ行列にカイラル表現 を採用することで、最も簡単に確認できます。つまり 、 は成分を持ち、 は成分を持つと書くことができます 。 ${\displaystyle \psi (x)}$$${\displaystyle \psi (x)={\begin{pmatrix}\psi _{1}(x)\\\psi _{2}(x)\end{pmatrix}},}$$${\displaystyle i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }}$$${\displaystyle i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }={\begin{pmatrix}0&i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\\i{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\ &0\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle \sigma ^{\mu }}$${\displaystyle (I_{2},\sigma ^{i})}$${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }}$${\displaystyle (I_{2},-\sigma ^{i})}$

ディラック作用は次の形式をとります。 つまり、2 つのワイル スピノルまたはワイル フェルミオン の理論に分離されます。$${\displaystyle S=\int d^{4}x\,\psi _{1}^{\dagger }(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu })\psi _{1}+\psi _{2}^{\dagger }(i{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu })\psi _{2}.}$$

以前のベクトル対称性は依然として存在し、 とは同一に回転します。 この形式の作用により、2 番目の非同値対称性が明らかになります。 これは、ディラック電子のレベルで と表現することもできます 。 は、行列の指数写像です。 ${\displaystyle \psi _{1}}$${\displaystyle \psi _{2}}$${\displaystyle {\text{U}}(1)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}(x)&\mapsto e^{i\beta }\psi _{1}(x),\\\psi _{2}(x)&\mapsto e^{-i\beta }\psi _{2}(x).\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \psi (x)\mapsto \exp(i\beta \gamma ^{5})\psi (x)}$$${\displaystyle \exp }$

これは唯一の対称性ではありませんが、慣例的なものです。ベクトル対称性と軸対称性の任意の「線形結合」も対称性です。 ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

古典的には、軸対称性は適切に定式化されたゲージ理論を許容します。しかし、量子レベルでは、異常、つまりゲージ化の障害が存在します。

この議論を、アーベル対称性から、理論の カラー対称性の群であるゲージ群の下での一般的な非アーベル対称性にまで拡張することができます。${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle G}$

具体的には、に作用する行列の特殊ユニタリ群を固定します。 ${\displaystyle G={\text{SU}}(N)}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$

このセクションの前は、 はミンコフスキー空間上のスピノル場、つまり関数 と見なすことができ、 におけるその成分はスピンインデックス、慣例的にアルファベット の先頭から取られたギリシャインデックスによってラベル付けされていました。 ${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{1,3}\mapsto \mathbb {C} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots }$

理論をゲージ理論に昇格すると、非公式にはのような変換部分が得られ、これらは色インデックス、慣例的にはラテンインデックス でラベル付けされます。全体として、 には、によるインデックスで与えられる成分があります。「スピノル」は、場が時空変換の下でどのように変換されるかのみをラベル付けします。 ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$${\displaystyle i,j,k,\cdots }$${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle 4N}$${\displaystyle \psi ^{i,\alpha }(x)}$

正式には、テンソル積で評価される関数である。${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{1,3}\to \mathbb {C} ^{4}\otimes \mathbb {C} ^{N}.}$

ゲージ化はアーベルの場合と同様に進行するが、いくつかの違いがある。ゲージ変換の下では、スピノル場は次のように変換される。 行列値ゲージ場または接続は次のように変換され 、定義される共変微分は 次のように変換される。 ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$${\displaystyle U:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow {\text{SU}}(N),}$$${\displaystyle \psi (x)\mapsto U(x)\psi (x)}$$ $${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)\mapsto {\bar {\psi }}(x)U^{\dagger }(x).}$$${\displaystyle A_{\mu }}$${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$$${\displaystyle A_{\mu }(x)\mapsto U(x)A_{\mu }(x)U(x)^{-1}+{\frac {1}{g}}(\partial _{\mu }U(x))U(x)^{-1},}$$$${\displaystyle D_{\mu }\psi =\partial _{\mu }\psi +igA_{\mu }\psi ,}$$ $${\displaystyle D_{\mu }{\bar {\psi }}=\partial _{\mu }{\bar {\psi }}-ig{\bar {\psi }}A_{\mu }^{\dagger }}$$$${\displaystyle D_{\mu }\psi (x)\mapsto U(x)D_{\mu }\psi (x),}$$ $${\displaystyle D_{\mu }{\bar {\psi }}(x)\mapsto (D_{\mu }{\bar {\psi }}(x))U(x)^{\dagger }.}$$

ゲージ不変な作用を書き下すのは、マクスウェル ラグランジアンをヤン＝ミルズラグランジアン に置き換えた場合とまったく同じように進みます。 ここで、ヤン＝ミルズ場の強度または曲率は次のように定義され 、は行列交換子です。 ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$$${\displaystyle S_{\text{Y-M}}=\int d^{4}x\,-{\frac {1}{4}}{\text{Tr}}(F^{\mu \nu }F_{\mu \nu })}$$$${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }-ig\left[A_{\mu },A_{\nu }\right]}$$${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$

行動はその後

物理的な応用では、このケースは強い相互作用をモデル化する標準モデルのクォークセクターについて説明します。クォークはディラック スピノルとしてモデル化され、ゲージ フィールドはグルーオンフィールドです。このケースは標準モデルの電弱セクターの一部について説明します。電子やニュートリノなどのレプトンはディラック スピノルであり、ゲージ フィールドはゲージ ボソンです。 ${\displaystyle N=3}$${\displaystyle N=2}$${\displaystyle W}$

この表現は、接続と表現 を持つ任意のリー群に一般化することができ、 の色部分は で評価される。正式には、ディラック場は関数である。${\displaystyle G}$${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle (\rho ,G,V)}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle V}$${\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{1,3}\to \mathbb {C} ^{4}\otimes V.}$

すると、 はゲージ変換によって として変換され、 共変微分 が定義されます 。 ここで、を に関連付けられたリー代数のリー代数表現として見ています。 ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{1,3}\to G}$$${\displaystyle \psi (x)\mapsto \rho (g(x))\psi (x)}$$$${\displaystyle D_{\mu }\psi =\partial _{\mu }\psi +\rho (A_{\mu })\psi }$$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\text{L}}(G)}$${\displaystyle G}$

この理論は曲がった時空に一般化できますが、一般時空 (またはより一般的には多様体) 上のゲージ理論では微妙な点が生じますが、平坦な時空では無視できます。これは、最終的には平坦な時空の収縮可能性によるもので、これにより、ゲージ場とゲージ変換を 上でグローバルに定義されたものとして見ることができます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$

• アンダーソン、カール (1933)。「正電子」。フィジカルレビュー。43 (6): 491。Bibcode : 1933PhRv...43..491A。doi : 10.1103 / PhysRev.43.491。
• Arminjon, M.; F. Reifler (2013). 「曲がった時空におけるディラック方程式の等価形式と一般化されたド・ブロイ関係」. Brazilian Journal of Physics . 43 (1–2): 64–77. arXiv : 1103.3201 . Bibcode :2013BrJPh..43...64A. doi :10.1007/s13538-012-0111-0. S2CID  38235437.
• ディラック、PAM (1928)。「電子の量子理論」(PDF)。Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences。117 ( 778): 610–624。Bibcode :1928RSPSA.117..610D。doi : 10.1098/rspa.1928.0023。JSTOR 94981。2015年1月2日時点のオリジナルより アーカイブ(PDF )。
• ディラック、PAM (1930)。「電子と陽子の理論」。英国王立協会紀要 A: 数学、物理、工学科学。126 (801): 360–365。Bibcode :1930RSPSA.126..360D。doi : 10.1098 / rspa.1930.0013。JSTOR  95359 。
• フリッシュ、R.スターン、O. (1933)。 「磁気を帯びたアブレンクング・フォン・ワッサーストフ分子と陽子の磁気の瞬間。I」。物理学の時代。85 (1–2): 4. Bibcode :1933ZPhy...85....4F。土井：10.1007/BF01330773。S2CID  120793548。

• Bjorken, JD; Drell, S (1964).相対論的量子力学. ニューヨーク、McGraw-Hill.
• ハルゼン、フランシス、マーティン、アラン（1984）。クォークとレプトン：現代素粒子物理学入門。ジョン・ワイリー＆サンズ。ISBN 9780471887416。
• グリフィス、DJ (2008)。素粒子入門（第2版）。Wiley- VCH。ISBN 978-3-527-40601-2。
• レイ、アラステア IM; ジム ナポリターノ (2015)。量子力学(第 6 版) 。Routledge。ISBN 978-1482299182。
• シフ、LI (1968)。量子力学（第3版）。マグロウヒル。
• Shankar, R. (1994).量子力学の原理(第 2 版). プレナム.
• Thaller, B. (1992)。ディラック方程式。物理学テキストおよびモノグラフ。Springer。

• 陽電子の歴​​史 1975年にディラックが行った講義
• MathPages のディラック方程式
• スピン1⁄2粒子のディラック方程式