ボゴリュボフ変換

理論物理学において、ボゴリュボフ変換はボゴリュボフ-ヴァラティン変換としても知られ、^{[1] [2]}ニコライ・ボゴリュボフとジョン・ジョージ・ヴァラティンが1958年に独立に開発した、均質系におけるBCS理論の解を求める変換である。 ^{[3] [4]}ボゴリュボフ変換は、正準交換関係代数または正準反交換関係代数の同型である。これにより、それぞれの表現に自己同値が誘導される。ボゴリュボフ変換は、ハミルトニアンの対角化によく使用され、対応するシュレーディンガー方程式の定常解が得られる。ボゴリュボフ変換は、ウンルー効果、ホーキング放射、デイヴィス-フリング放射（動く鏡の模型）、原子核物理学におけるペアリング効果など、多くのトピックを 理解する上でも重要である。

ボゴリュボフ変換は、状態関数の対応する変換とともに、ハミルトニアンを対角化するためによく使用されます。したがって、変換された状態関数上の対角化ハミルトニアンで計算された演算子の固有値は、以前と同じになります。

調和振動子基底 におけるボソン生成消滅演算子の標準交換関係を考える

${\displaystyle \left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right]=1.}$

新しい演算子のペアを定義する

${\displaystyle {\hat {b}}=u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dagger },}$

${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }=u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}},}$

複素数uとvについて、後者は前者の エルミート共役です。

ボゴリュボフ変換は、演算子とをと に写像する標準変換です。変換が標準となる定数uとvの条件を見つけるために、交換子を評価します。つまり、 ${\displaystyle {\hat {a}}}$${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$${\displaystyle {\hat {b}}}$${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$

${\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]=\left[u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dagger },u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}}\right]=\cdots =\left(|u|^{2}-|v|^{2}\right)\left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right].}$

すると、それが変換が標準的である条件である ことは明らかです。${\displaystyle |u|^{2}-|v|^{2}=1}$

この条件の形は双曲的恒等式を示唆しているので

${\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1,}$

定数uとvは次のように簡単にパラメータ化できる。

${\displaystyle u=e^{i\theta _{1}}\cosh r,}$

${\displaystyle v=e^{i\theta _{2}}\sinh r.}$

これは位相空間の線形シンプレクティック変換として解釈されます。ブロッホ-メサイア分解と比較すると、2 つの角度と は直交シンプレクティック変換 (つまり、回転) に対応し、スクイージング係数は対角変換に対応します。 ${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\displaystyle r}$

最も顕著な応用は、ニコライ・ボゴリュボフ自身による超流動の文脈での応用である。^{[5] [6]}他の応用には、反強磁性の理論におけるハミルトニアンと励起が含まれる。^[7]曲がった時空における量子場の理論を計算する場合、真空の定義が変わり、これらの異なる真空間のボゴリュボフ変換が可能になる。これは、ホーキング放射の導出に使用される。ボゴリュボフ変換は、量子光学、特にガウスユニタリー（ビームスプリッター、位相シフター、スクイージング操作など）を扱う場合に広く使用されている。

反交換関係 については

${\displaystyle \left\{{\hat {a}},{\hat {a}}\right\}=0,\left\{{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right\}=1,}$

ボゴリュボフ変換は によって制約される。したがって、唯一の非自明な可能性は、位相シフトが含まれる可能性のある粒子-反粒子交換（または多体系における粒子-正孔交換）に対応するものである。したがって、単一粒子の場合、変換は、（1）粒子と反粒子が異なるディラック電子（マヨラナ電子またはカイラル電子とは対照的）の場合、または（2）複数の種類の電子が存在するマルチフェルミオン系の場合のみ実装できる。 ${\displaystyle uv=0,|u|^{2}+|v|^{2}=1}$${\displaystyle u=0,|v|=1,}$

最も顕著な応用は、ニコライ・ボゴリュボフ自身によるもので、今回は超伝導のBCS 理論に対するものである。^{[7] [8] [9] [10]}ボゴリュボフ変換を行う必要性が明らかになる点は、平均場近似では、システムのハミルトニアンは、どちらの場合も、有限項を含む元の作成演算子と破壊演算子の双線形項の和として記述できるため、通常のハートリー・フォック法を超える必要があることである。特に、 などの超伝導ペアリング項を持つ平均場ボゴリュボフ–ド・ジェンヌ・ハミルトニアン形式では、ボゴリュボフ変換された演算子は、準粒子（それぞれエネルギー、運動量、スピンが明確に定義されているが、電子と正孔の状態が量子的に重ね合わされている）を消滅させて作成し、係数とがボゴリュボフ–ド・ジェンヌ行列の固有ベクトルによって与えられる。この方法は原子核物理学においても適用可能であり、重元素中の核子の「対合エネルギー」を記述することができる。^[11]${\displaystyle \langle a_{i}^{+}a_{j}^{+}\rangle }$${\displaystyle \Delta a_{i}^{+}a_{j}^{+}+{\text{h.c.}}}$${\displaystyle b,b^{\dagger }}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

検討中のヒルベルト空間にはこれらの演算子が装備されており、今後は高次元の量子調和振動子（通常は無限次元）を記述します。

対応するハミルトニアンの基底状態は、すべての消滅演算子によって消滅します。

${\displaystyle \forall i\qquad a_{i}|0\rangle =0.}$

すべての励起状態は、いくつかの生成演算子によって励起された基底状態の線形結合として得られます。

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{i_{k}}^{\dagger }|0\rangle .}$

生成演算子と消滅演算子を線形再定義によって再定義することができます。

${\displaystyle a'_{i}=\sum _{j}(u_{ij}a_{j}+v_{ij}a_{j}^{\dagger }),}$

ここで、係数は、エルミート共役方程式によって定義される消滅演算子と生成演算子が、ボソンに対しては同じ交換子を持ち 、フェルミオンに対しては反交換子を持つことを保証するために、特定の規則を満たす必要があります。 ${\displaystyle u_{ij},v_{ij}}$${\displaystyle a_{i}^{\prime \dagger }}$

上記の式は、演算子のボゴリュボフ変換を定義します。

すべて消滅した基底状態は元の基底状態とは異なり、演算子状態対応を用いて互いのボゴリュボフ変換として見ることができる。これらはスクイーズドコヒーレント状態として定義することもできる。BCS波動関数はフェルミオンのスクイーズドコヒーレント状態の一例である。^[12]${\displaystyle a'_{i}}$${\displaystyle |0\rangle }$

検討中のヒルベルト空間にはこれらの演算子が装備されており、今後は高次元の量子調和振動子（通常は無限次元）を記述します。

対応するハミルトニアンの基底状態は、すべての消滅演算子によって消滅します。

${\displaystyle \forall i\qquad a_{i}|0\rangle =0.}$

すべての励起状態は、いくつかの生成演算子によって励起された基底状態の線形結合として得られます。

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{i_{k}}^{\dagger }|0\rangle .}$

生成演算子と消滅演算子を線形再定義によって再定義することができます。

${\displaystyle a'_{i}=\sum _{j}(u_{ij}a_{j}+v_{ij}a_{j}^{\dagger }),}$

ここで、係数は、エルミート共役方程式によって定義される消滅演算子と生成演算子が、ボソンに対しては同じ交換子を持ち 、フェルミオンに対しては反交換子を持つことを保証するために、特定の規則を満たす必要があります。 ${\displaystyle u_{ij},v_{ij}}$${\displaystyle a_{i}^{\prime \dagger }}$

上記の式は、演算子のボゴリュボフ変換を定義します。

すべて消滅した基底状態は元の基底状態とは異なり、演算子状態対応を用いて互いのボゴリュボフ変換として見ることができる。これらはスクイーズドコヒーレント状態として定義することもできる。BCS波動関数はフェルミオンのスクイーズドコヒーレント状態の一例である。^[13]${\displaystyle a'_{i}}$${\displaystyle |0\rangle }$

ボゴリュボフ変換は演算子の線形再結合であるため、行列変換で記述する方が便利で分かりやすい。2つの消滅子が次のように変換する 場合、${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}=U{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}}$

ここで は行列です。すると自然に ${\displaystyle U}$${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha ^{\dagger }\\\beta ^{\dagger }\end{pmatrix}}=U^{*}{\begin{pmatrix}a^{\dagger }\\b^{\dagger }\end{pmatrix}}}$

フェルミオン演算子の場合、交換関係の要件は行列の形式に対する2つの要件に反映される。${\displaystyle U}$

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}u&v\\-v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}}$

そして

${\displaystyle |u|^{2}+|v|^{2}=1}$

ボソン演算子の場合、交換関係は

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}}$

そして

${\displaystyle |u|^{2}-|v|^{2}=1}$

これらの条件は次のように一様に記述できる。

${\displaystyle U\Gamma _{\pm }U^{\dagger }=\Gamma _{\pm }}$

どこ

${\displaystyle \Gamma _{\pm }={\begin{pmatrix}1&0\\0&\pm 1\end{pmatrix}}}$

ここで、はそれぞれフェルミオンとボソンに適用されます。 ${\displaystyle \Gamma _{\pm }}$

ボゴリュボフ変換は2次ハミルトニアンを対角化できる。

${\displaystyle {\hat {H}}={\begin{pmatrix}a^{\dagger }&b^{\dagger }\end{pmatrix}}H{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}}$

行列を対角化するだけで、この式が得られます。上記の表記では、演算子と数値行列を区別することが重要です。この事実は、次のように 書き直すことでわかります。${\displaystyle \Gamma _{\pm }H}$${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\hat {H}}}$

${\displaystyle {\hat {H}}={\begin{pmatrix}\alpha ^{\dagger }&\beta ^{\dagger }\end{pmatrix}}\Gamma _{\pm }U(\Gamma _{\pm }H)U^{-1}{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}}$

そして がを対角化する場合、すなわち となる場合のみ。 ${\displaystyle \Gamma _{\pm }U(\Gamma _{\pm }H)U^{-1}=D}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \Gamma _{\pm }H}$${\displaystyle U(\Gamma _{\pm }H)U^{-1}=\Gamma _{\pm }D}$

ボゴリュボフ変換の有用な特性を以下に示します。

ボゴリュボフ変換は、フェルミオン凝縮を理解し、記述するための重要な数学的ツールです。凝縮体が存在する場合の相互作用フェルミオン系のハミルトニアンを対角化する方法を提供し、系の基本的な励起、つまり準粒子を識別できるようにします。

フェルミオンがペアを形成できるシステムでは、単一粒子のエネルギー レベル (フェルミの海) を埋める標準的なアプローチでは不十分です。凝縮体が存在するということは、異なる粒子数を持つ状態の一貫した重ね合わせを意味し、通常の生成演算子と消滅演算子では不十分になります。このようなシステムのハミルトニアンには、通常、フェルミオンのペアを生成または消滅させる項が含まれます。

${\displaystyle H\sim \sum _{k}\epsilon _{k}c_{k}^{\dagger }c_{k}+\sum _{k}\Delta _{k}c_{k}^{\dagger }c_{-k}^{\dagger }+\Delta _{k}^{*}c_{-k}c_{k}}$

ここで、 およびは運動量 のフェルミオンの生成および消滅演算子、は単一粒子エネルギー、 は対形成振幅であり、凝縮体の強さを特徴づける。このハミルトニアンは元のフェルミオン演算子に関して対角ではないため、システムの物理的特性を直接解釈することは困難である。ボゴリュボフ変換は、元のフェルミオン演算子の線形結合である新しい一連の準粒子演算子およびを導入することで解決策を提供する。${\displaystyle c_{k}^{\dagger }}$${\displaystyle c_{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \epsilon _{k}}$${\displaystyle \Delta _{k}}$${\displaystyle \gamma _{k}^{\dagger }}$${\displaystyle \gamma _{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{k}&=u_{k}c_{k}-v_{k}c_{-k}^{\dagger }\\\gamma _{k}^{\dagger }&=u_{k}^{*}c_{k}^{\dagger }-v_{k}^{*}c_{-k}\end{aligned}}}$

ここで、およびは正規化条件を満たす複素係数です。この変換は、粒子と正孔の生成演算子を混合し、対形成相互作用により準粒子が粒子と正孔の重ね合わせであるという事実を反映しています。この変換は、NN Bogoliubov が超流動性に関する独創的な研究で初めて導入しました。^[4] 係数およびは、ハミルトニアンが準粒子演算子で表現されたときに対角になるように選択されます。${\displaystyle u_{k}}$${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle |u_{k}|^{2}+|v_{k}|^{2}=1}$${\displaystyle u_{k}}$${\displaystyle v_{k}}$

${\displaystyle H=E_{0}+\sum _{k}E_{k}\gamma _{k}^{\dagger }\gamma _{k}}$

ここで、は基底状態のエネルギー、 は運動量 を持つ準粒子のエネルギーです。対角化のプロセスには、係数、、および対振幅に関する自己無撞着な方程式の集合であるボゴリュボフ・ド・ジェンヌ方程式を解くことが含まれます。ボゴリュボフ・ド・ジェンヌ方程式の詳細な説明は、ド・ジェンヌの超伝導に関する本に記載されています。^[14]。 ${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle E_{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle u_{k}}$${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle \Delta _{k}}$

ボゴリュボフ変換により、フェルミオン凝縮体のいくつかの重要な特徴が明らかになります。

• 準粒子:システムの基本励起は個々のフェルミオンではなく、粒子と正孔のコヒーレントな重ね合わせである準粒子です。これらの準粒子は、ゼロ運動量でサイズのギャップを含む修正されたエネルギースペクトルを持っています。このギャップは、クーパー対を破壊するために必要なエネルギーを表し、超伝導やその他のフェルミオン凝縮現象の特徴です。${\displaystyle E_{k}={\sqrt {\epsilon _{k}^{2}+|\Delta _{k}|^{2}}}}$${\displaystyle |\Delta _{k}|}$
• 基底状態:システムの基底状態は、単に空のフェルミ海ではなく、すべての準粒子レベルが占有されていない状態、すなわち、すべての に対してです。この状態は、超伝導の文脈では BCS 状態と呼ばれることが多く、異なる粒子数の状態の一貫した重ね合わせであり、マクロな凝縮を表します。${\displaystyle \gamma _{k}|\mathrm {BCS} \rangle =0}$${\displaystyle k}$
• 対称性の破れ:フェルミオン凝縮体の形成は、超伝導体のU(1)ゲージ対称性などの対称性の自発的な破れと関連することが多い。ボゴリュボフ変換は、対称性の破れた段階にあるシステムを記述する方法を提供する。対称性の破れとボゴリュボフ変換の関係は、アンダーソンの擬似スピンおよびゲージ不変性に関する研究で探求されている。^[15]。

• ホルスタイン - プリマコフ変換
• ジョーダン・ウィグナー変換
• ジョーダン - シュウィンガー変換
• クライン変換

このトピック全体と多くの明確な応用については、次の教科書で扱われています。

• ブライゾット、J.-P.、リプカ、G. (1985)。有限システムの量子理論。MIT プレス。ISBN 0-262-02214-1。
• フェッター、A.; ワレカ、J. (2003)。多粒子系の量子理論。ドーバー。ISBN 0-486-42827-3。
• Kittel, Ch. (1987).固体の量子論. Wiley. ISBN 0-471-62412-8。
• ワグナー、M. (1986)。固体物理学におけるユニタリー変換。エルゼビアサイエンス。ISBN 0-444-86975-1。