関数平方根

数学において、関数平方根（半反復とも呼ばれる）は、関数合成の演算に関する関数の平方根である。言い換えれば、関数gの関数平方根は、すべてのxに対してf ( f ( x )) = g ( x )を満たす関数fである。

f がgの関数平方根であることを表す表記は、f = g _[1/2]およびf = g _1/2 ^{[引用が必要] [疑わしい-議論]}、あるいはむしろf = g ^1/2（反復関数#分数反復とフロー、および負の反復 を参照）であるが、これは関数を乗法的な意味でその累乗することに関する通常の曖昧さを残し、f ² = f ∘ f がx ↦ f ( x )²と誤って解釈される可能性がある。

• 指数関数の関数平方根（現在は半指数関数として知られている）は、1950年にヘルムート・クネーザーによって研究されました。^[1]
• f ( f ( x )) = xの(実数の反転)上の解は、1815 年にチャールズ バベッジによって初めて研究され、この方程式はバベッジの関数方程式と呼ばれています。^[2]特定の解は、bc ≠ −1に対してf ( x ) = ( b − x )/(1 + cx )です。バベッジは、任意の解fに対して、任意の可逆関数Ψによるその関数共役Ψ ⁻¹ ∘ f ∘ Ψも解であると指摘しました。言い換えると、実数直線上のすべての可逆関数の群は、共役によってバベッジの関数方程式の解からなる部分集合に作用します。${\displaystyle \mathbb {R} }$  

関数の任意のn根（任意の実数、負、無限小のnを含む）を生成する体系的な手順は、シュレーダー方程式の解に依存します。^{[3] [4] [5]根関数}fの定義域がgの定義域よりも十分に大きい場合、無限に多くの自明な解が存在します。 ${\displaystyle g:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$

• f ( x ) = 2 x ^2はg ( x ) = 8 x ⁴の関数平方根です。
• n次チェビシェフ多項式の関数平方根は であり、これは一般に多項式ではありません。${\displaystyle g(x)=T_{n}(x)}$${\displaystyle f(x)=\cos {({\sqrt {n}}\arccos(x))}}$
• ${\displaystyle f(x)=x/({\sqrt {2}}+x(1-{\sqrt {2}}))}$は の関数平方根です。${\displaystyle g(x)=x/(2-x)}$

sin _[2] ( x ) = sin(sin( x )) [赤い曲線]

sin _[1] ( x ) = sin( x ) = rin(rin( x )) [青い曲線]

罪_{[ ⁠1/2⁠ ]} ( x ) = rin( x ) = qin(qin( x ))[オレンジ色の曲線]、これは一意ではありませんが、その逆、つまり rin はsin = rin ∘ rinの解でもあります。

罪_{[ ⁠1/4⁠ ]} ( x ) = qin( x )[オレンジ色の曲線の上の黒い曲線]

sin _[–1] ( x ) = arcsin( x ) [破線]

（参照^[6]表記については[1] Archived 2022-12-05 at the Wayback Machineを参照。）