退縮マトリックス

数学において、対合行列とは、自身の逆行列である正方行列のことです。つまり、行列による乗算は、${\displaystyle {\mathbf {A}}_{n\times n}}$は、以下の場合に限り対合である。${\displaystyle {\mathbf {A}}^{2}={\mathbf {I}},}$どこ${\displaystyle {\mathbf {I}}}$は${\displaystyle n\times n}$単位行列。対合行列はすべて単位行列の平方根です。これは、可逆行列にその逆行列を掛けると単位行列になるという事実の結果です。 ^{[ 1 ]}

の$2×2$実数行列${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}}$帰結的であるのは、${\displaystyle a^{2}+bc=1.}$^{[ 2 ]}

パウリ行列は​${\displaystyle M(2,\mathbb {C} )}$退化的である： $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}=\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\\\sigma _{2}=\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\\\sigma _{3}=\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$

基本行列の3つのクラスのうちの1つは、行交換基本行列という形で対合行列です。別の基本行列のクラスの特殊なケースである、行または列に-1を乗じた行列も対合行列です。これは実際には署名行列の自明な例であり、署名行列はすべて対合行列です。

以下に、対合行列の簡単な例をいくつか示します。

$${\displaystyle {\begin{array}{cc}\mathbf {I} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}};&\mathbf {I} ^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\\\\mathbf {R} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}};&\mathbf {R} ^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\\\\\mathbf {S} ={\begin{pmatrix}+1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}};&\mathbf {S} ^{-1}={\begin{pmatrix}+1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\\\end{array}}}$$ どこ

• Iは 3 × 3 の単位行列です (これは自明に不対合です)。
• Rは、行が2つ入れ替わった3×3の単位行列である。
• Sは署名行列です。

対合行列から構成されるブロック対角行列は、ブロックの線形独立性の結果として、すべて対合行列となる。

対称行列でもある対合行列は直交行列であり、したがって等長変換（ユークリッド距離を保存する線形変換）を表します。逆に、すべての直交対合行列は対称です。^{[ 3 ]} この特殊なケースとして、すべての反射行列と 180°回転行列は対合行列です。

対合は欠陥がなく、各固有値は${\displaystyle \pm 1}$したがって、対合はシグネチャ行列に対角化されます。

通常の対合は、エルミート（複素数）または対称（実数）であり、かつユニタリ（複素数）または直交（実数）である。

任意の体上の対合行列の行列式は±1である。^{[ 4 ]}

Aがn × n行列である場合、Aが対合的であるのは、${\displaystyle {\mathbf {P}}_{+}=({\mathbf {I}}+{\mathbf {A}})/2}$は冪等行列である。この関係は、対合行列と冪等行列の間に全単射を与える。 ^{[ 4 ]}同様に、Aが対合行列であるのは、次の場合に限る。${\displaystyle {\mathbf {P}}_{-}=({\mathbf {I}}-{\mathbf {A}})/2}$は冪等である。これら2つの演算子は、対称射影と反対称射影を形成する。${\displaystyle v_{\pm }={\mathbf {P}}_{\pm }v}$ベクトルの${\displaystyle v=v_{+}+v_{-}}$対合Aに関して、${\displaystyle {\mathbf {A}}v_{\pm }=\pm v_{\pm }}$、 または${\displaystyle {\mathbf {AP}}_{\pm }=\pm {\mathbf {P}}_{\pm }}$同様の構成は、複素共役（実部と虚部）、転置（対称行列と反対称行列）、エルミート随伴（エルミート行列と歪エルミート行列）などの任意の対合関数にも適用されます。

A がの対合行列である場合${\displaystyle M(n,\mathbb {R} ),}$これは実数上の行列代数であり、 AはIのスカラー倍ではないので、部分代数は${\displaystyle \{x{\mathbf {I}}+y{\mathbf {A}}:xy\in \mathbb {R} \}}$Aによって生成されるものは、分割複素数と同型である。

AとBが互いに可換な2つの対合行列（つまりAB = BA）である場合、 ABも対合行列である。

Aが対合行列である場合、 Aのすべての整数乗は対合行列になります。実際、nが奇数の場合はA ^nはAに等しく、nが偶数の場合はIに等しくなります。

• アフィン対合