プランク単位

素粒子物理学および物理宇宙論において、プランク単位は、c、G、ħ、kB_の4 つの普遍的な物理定数のみで定義される測定単位のシステムです。これらの物理定数のいずれかをプランク単位で表すと、数値は1になります。プランク単位は、選択されたプロトタイプオブジェクトの性質ではなく、自然の基本的性質(特に自由空間の性質) を使用して定義される自然単位のシステムです。もともとは 1899 年にドイツの物理学者マックス・プランクによって提案され、量子重力などの統一理論の研究に関連しています。

プランクスケールという用語は、空間、時間、エネルギー、その他の単位のうち、対応するプランク単位と大きさが似ている量を指します。この領域は、粒子エネルギーが約10 ¹⁹  GeVまたは10 ⁹  J、約​10 ⁻⁴³ 秒、長さは約10⁻³⁵ ^m  （それぞれプランク質量、プランク時間、プランク長にほぼ相当するエネルギー）。プランクスケールでは、標準模型、量子場理論、一般相対性理論の予測は適用されないと考えられ、重力の量子効果が支配的になると予想されます。その一例として、約138億年前のビッグバン後の宇宙の最初の10⁻⁴³^秒間の状態が挙げられます。

定義上、これらの単位で表したときに数値が1となる4つの普遍定数は以下のとおりです。

• cは真空中の光速です。
• G、重力定数、
• ħは換算プランク定数であり、
• k _Bはボルツマン定数です。

プランク単位の基本概念には様々なバリエーションが存在し、例えば、正規化方法の選択肢を変えることで、上記の4つの定数のうち1つ以上に異なる数値を与えることができる。

測定システムには、相互に独立した一連の基本量とそれに関連する基本単位が割り当てられ、そこから他のすべての量と単位が導出されます。たとえば、国際単位系では、 SI の基本量には長さとそれに関連する単位であるメートルが含まれます。プランク単位系では、同様の一連の基本量とそれに関連する単位が選択され、それに基づいて他の量と一貫性のある単位が表現されます。^{[ 1 ] [ 2 ] : 1215}プランク長さの単位はプランク長として知られており、プランク時間の単位はプランク時間として知られていますが、この命名法はすべての量に適用されるものとして確立されていません。

プランク単位はすべて、システムを定義する次元普遍物理定数から導出され、これらの単位を省略する慣例（つまり、無次元値1を持つものとして扱う）では、これらの定数は、それらが現れる物理方程式から消去されます。たとえば、ニュートンの万有引力の法則、

$${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}=\left({\frac {F_{\text{P}}l_{\text{P}}^{2}}{m_{\text{P}}^{2}}}\right){\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}},}$$

次のように表現できます。

$${\displaystyle {\frac {F}{F_{\text{P}}}}={\frac {\left({\dfrac {m_{1}}{m_{\text{P}}}}\right)\left({\dfrac {m_{2}}{m_{\text{P}}}}\right)}{\left({\dfrac {r}{l_{\text{P}}}}\right)^{2}}}.}$$どちらの式も次元的に整合性があり、どの単位系でも同様に有効ですが、 Gが存在しない 2 番目の式は、同じ次元の 2 つの量の比は無次元量であるため、無次元量のみを関連付けています。簡略化された慣例により、各物理量が、整合性のあるプランク単位との対応する比 (または「プランク単位で表された」) であると理解されている場合、上記の比は、対応する単位で明示的にスケーリングすることなく、物理量の記号のみで表すことができます。 $${\displaystyle F'={\frac {m_{1}'m_{2}'}{r'^{2}}}.}$$この最後の式（Gなし）は、 F ′、m ₁ ′、m ₂ ′、およびr ′が標準量に対応する 無次元比量である場合に有効であり、例えばF ′ ≘ FまたはF ′ = F / F _Pと表記されますが、量の直接的な等価性としては有効ではありません。量の対応関係が等価であると考えると、これは「定数c、Gなどを 1 に設定する」ように見えるかもしれません。このため、プランク単位やその他の自然単位は慎重に使用する必要があります。「 G = c = 1」について、ポール S. ウェッソンは次のように書いています。「数学的には、これは労力を節約できる許容できるトリックです。物理的には、これは情報の損失を表し、混乱を招く可能性があります。」^{[ 3 ]}

自然単位の概念は、1874 年にジョージ・ジョンストン・ストーニーが電気電荷が量子化されていることに着目し、長さ、時間、質量の単位を導き出し、後に彼の名誉を称えてストーニー単位と名付けた時に導入されました。ストーニーは、G、c、および電子電荷e が数値的に 1 に等しくなるように単位を選択しました。 ^{[ 4 ]} 1899 年、量子論の出現の 1 年前に、マックス・プランクは後にプランク定数として知られるようになるものを導入しました。^{[ 5 ] [ 6 ]}論文の最後に、彼は後に彼の名誉を称えて名付けられた基本単位を提案しました。プランク単位は、通常プランク定数と呼ばれる作用量子に基づいており、これは黒体放射のウィーン近似に現れます。プランクは、新しい単位系の普遍性を強調し、次のように書いています。^{[ 5 ]}

... Die Möglichkeit gegeben ist, Einheiten für Länge, Masse, Zeit und Temperatur aufzustellen, welche, unabhängig von speciellen Körpern oder Substanzen, ihre Bedeutung für alle Zeiten und für alle, auch ausserirdische und aussermenschliche Culturen nothwendig behalten und welche daher als »natürliche Maasseinheiten« bezeichnet werden können。

[…長さ、質量、時間、温度の単位を設定することは可能であり、これらの単位は特定の物体や物質に依存しず、必然的にあらゆる時代、あらゆる文明（地球外生命体や非人間文明を含む）においてその意味を保持する。これらは「自然測定単位」と呼ぶことができる。]

プランクは普遍定数に基づく単位のみを考慮した。${\displaystyle G}$、${\displaystyle h}$、${\displaystyle c}$、 そして${\displaystyle k_{\text{B}}}$長さ、時間、質量、温度の自然単位に到達するため。^{[ 6 ]}彼の定義は現代の定義とは係数で異なっている。${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}$現代の定義では${\displaystyle \hbar }$それよりも${\displaystyle h}$[ ^{5 ] [ 6 ]​}

国際単位系とは異なり、プランク単位系の定義を定める公式な機関は存在しない。一部の著者は、質量、長さ、時間を基本プランク単位と定義し、温度の追加単位は不要であると考えている。^{[ a ]}他の表では、温度の単位に加えて電荷の単位も追加されており、クーロン定数が${\displaystyle k_{\text{e}}}$^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}または真空の誘電率$\displaystyle \varepsilon _{0}}$^{[ 15 ]}は1に正規化されている。したがって、著者の選択に応じて、この電荷単位は次のように与えられる。 $${\displaystyle q_{\text{P}}={\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}\hbar c}}=e/{\sqrt {\alpha }}\approx 1.875546\times 10^{-18}{\text{ C}}\approx 11.7\ e}$$ （どこ${\displaystyle \alpha }$は微細構造定数です。${\displaystyle k_{\text{e}}=1}$、 または $${\displaystyle q'_{\text{P}}={\sqrt {\varepsilon _{0}\hbar c}}=e/{\sqrt {4\pi \alpha }}\approx 5.290818\times 10^{-19}{\text{ C}}\approx 3.3\ e}$$ のために$\displaystyle \varepsilon _{0}=1}$これらの表の中には、その際に質量をエネルギーに置き換えるものもある。^{[ 15 ]} 前者は、この電荷と1プランク質量の2つの粒子が平衡した静電気力と重力を受けるという意味で上記の表と一致するが、後者は合理化されたプランク単位と一致する。SI単位では、_{c、h、e、kB}の値は正確であり、 SI単位におけるε0とGの値はそれぞれ相対不確実性を持つ_。1.6 × 10 ^{−10 ‍ [16 ]}および2.2 × 10 ⁻⁵。^{[ 17 ]}したがって、プランク単位の SI 値の不確実性は、ほぼ完全にGの SI 値の不確実性に由来します。

ストーニー単位と比較すると、プランク基本単位はすべて1倍大きい。$\textstyle {\sqrt {{1}/{\alpha }}}\approx 11.7}$[ ^{18 ]​}

あらゆる測定システムにおいて、多くの物理量の単位は基本単位から導出できます。表2は、導出されたプランク単位の例を示していますが、その中にはほとんど使用されていないものもあります。基本単位と同様に、これらの単位の使用は主に理論物理学に限られています。なぜなら、それらのほとんどは経験的または実用的な用途には大きすぎたり小さすぎたりし、値に大きな不確実性があるからです。

時間や長さなどのプランク単位の中には、実用上は桁違いに大きすぎたり小さすぎたりするものがあり、そのためプランク単位系は通常、理論物理学にのみ関係する。場合によっては、プランク単位は、現在の物理学の理論が適用される物理量の範囲の限界を示唆することがある。 ^{[ 19 ]}例えば、ビッグバンに関する我々の理解は、宇宙がプランク時間未満であったプランク時代まで及んでいない。プランク時代の宇宙を記述するには、量子効果と一般相対性理論の両方をそれぞれの適用領域で説明できる量子重力理論が必要となる。そのような理論はまだ存在しない。

プランク質量のように、大きさが「極端」ではない量もいくつかあります。プランク質量は約22マイクログラムで、素粒子と比べると非常に大きく、生物の質量範囲内です。^{[ 20 ] : 872}同様に、エネルギーと運動量の関連単位も、日常的な現象の範囲内です。

プランク単位には人間中心的な恣意性はほとんどないが、定義定数に関しては依然として多少の恣意的な選択が含まれている。歴史的な理由からSI単位系の基本単位として存在するメートルや秒とは異なり、プランク長とプランク時間は根本的な物理レベルで概念的に結びついている。したがって、自然単位は物理学者が問題を再構成するのに役立つ。フランク・ウィルチェックはそれを簡潔に述べている。

問題は「なぜ重力はこんなに弱いのか？」ではなく、「なぜ陽子の質量はこんなに小さいのか？」であることがわかる。なぜなら、自然（プランク）単位では、重力の強さは単純に基本量であり、陽子の質量は[1/(13京)]という非常に小さな数だからである。^{[ 21 ]}

確かに、自由空間に単独で存在する2つの陽子間の静電反発力は、同じ2つの陽子間の重力引力を大きく上回りますが、これは2つの基本的な力の相対的な強さの話ではありません。

プランクが自身の単位を提案したとき、その目的は、単一の単位を測定する量に特別な意味を与えることなく、対象を測定する普遍的な（「自然な」）方法を確立することだけであった。1950年代には、レフ・ランダウやオスカー・クラインを含む複数の著者が、プランクスケールのオーダーの量が量子場理論の妥当性の限界を示していると主張した。ジョン・アーチボルド・ホイーラーは1955年に、時空の量子ゆらぎがプランクスケールで重要になると提案したが、当時彼はプランク単位を知らなかった。^{[ 22 ] [ 23 ]}

素粒子物理学および物理宇宙論において、プランクスケールはエネルギー尺度である。1.22 × 10 ²⁸ eV  (プランクエネルギー、プランク質量に相当するエネルギー) 、2.176 45 × 10 ⁻⁸  kg ) では、重力の量子効果が顕著になります。このスケールでは、現在の理論における重力の見かけ上の非繰り込み可能性の影響により、量子場理論による素粒子相互作用の現在の記述と理論は破綻し、不十分になります。^{[ 19 ]}

異なる次元を持つ物理量（時間と長さなど）は、数値的に等しくても等しくすることはできません（例えば、1秒は1メートルとは異なります）。しかし、理論物理学では、無次元化と呼ばれるプロセスによって、この制約を回避できます。その結果、プランク単位を定義するために使用される定数の一部を含む物理学の多くの基本方程式は、これらの定数が1に置き換えられた方程式になります。

例としては、エネルギーと運動量の関係が挙げられる。${\displaystyle E^{2}=(mc^{2})^{2}+(pc)^{2}}$（${\displaystyle E^{2}=m^{2}+p^{2}}$）とディラック方程式${\displaystyle (i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc)\psi =0}$（${\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0}$)

既に述べたように、プランク単位は、特定の基本定数の数値を1に「正規化」することによって導出されます。これらの正規化は、可能な唯一の方法でも、必ずしも最良の方法でもありません。さらに、物理学の基本方程式に現れる因子の中から、どの因子を正規化すべきかという選択は自明ではなく、プランク単位の値は、この選択に影響を受けやすいのです。

係数 4πは理論物理学において遍在する。なぜなら、3 次元空間では、半径rの球の表面積は4πr²^だからである。これは、フラックスの概念とともに、逆二乗法則、ガウスの法則、およびフラックス密度に適用される発散演算子の基礎となっている。例えば、点物体によって生成される重力場と静電場は球対称性を持つため、点電荷の周りの半径rの球を通過する電気束はその球全体に均一に分布する。このことから、クーロンの法則の分母に、合理化された形で4πr²という係数が^現れることがわかる。^{[ 30 ] : 214–15} （空間が高次元であれば、数値因子とrへの依存性のべき乗の両方が変化する。正しい式は高次元球の幾何学から導き出すことができる。^{[ 11 ] : 51}）同様に、ニュートンの万有引力の法則についても、重力ポテンシャルと物質の分布を関連付けるポアソン方程式には、 4πという因子が自然に現れる。^{[ 11 ] : 56}

したがって、プランクの 1899 年の論文以降に発展した物理理論のかなりの部分は、Gではなく4 π G (または 8 π G ) を 1 に正規化することを提案している。そうすると、万有引力の法則の無次元化された形式に 1 / 4 π (または 1 / 8 π ) の係数が導入され、真空の誘電率によるクーロンの法則の現代的な合理化された定式化と一致する。実際、代替の正規化では、クーロンの法則の無次元化された形式でも 1 / 4 πの係数が保持されることが多く、電磁気学と重力電磁気学の無次元化されたマクスウェル方程式はどちらも 4 πの係数を持たない SI の電磁気学の方程式と同じ形式になる。

これを電磁定数ε ₀に適用すると、この単位系は「合理化された」単位系と呼ばれます。さらに重力とプランク単位に適用すると、これらは合理化されたプランク単位^{[ 54 ]}と呼ばれ、高エネルギー物理学で見られます。^{[ 55 ]}

_{このような合理化されたプランク単位は、}c = 4πG = ħ = ε0 = kB ₌ 1となるように定義される。これにより、次の単位系が得られる。

• cGh物理学
• 次元解析
• 二重特殊相対性理論
• 超プランク問題
• 零点エネルギー

• 米国国立標準技術研究所（NIST）が報告した、プランク単位を含む基本定数の値。
• プランクスケール：相対性理論と量子力学と重力が出会う（ニューサウスウェールズ大学の「アインシュタイン・ライト」より）