複合フェルミオン

複合フェルミオンは、電子と偶数の量子化された渦の位相的束縛状態であり、視覚的には電子とそれに付随する偶数の磁束量子の束縛状態として描かれることもある。^{[1] [2] [3]複合フェルミオンは、もともと}分数量子ホール効果の文脈で構想されたが、^[4]その後、独自の進化を遂げ、他の多くの結果や現象を示すようになった。

渦は位相欠陥の一例であり、他の状況でも発生します。量子化された渦は、アブリコソフ渦と呼ばれるタイプ II 超伝導体に見られます。古典的な渦は、2 次元XY モデルにおけるベレゼンスキー - コスターリッツ - サウレス転移に関連しています。

電子が2次元に閉じ込められ、非常に低い温度に冷却され、強い磁場にさらされると、ランダウ準位の量子化により運動エネルギーが消滅します。このような条件下での電子の挙動はクーロン反発力のみによって支配され、強く相関した量子液体を生成します。実験では、^{[1] [2] [3]}電子は量子化された渦を捕獲して複合フェルミオンになることで相互作用を最小限に抑えることを示しました。^[5]複合フェルミオン自体の間の相互作用は、良好な近似では無視できることが多いため、複合フェルミオンはこの量子液体の物理的準粒子になります。

このシステムの予想外の挙動の原因である複合フェルミオンの特徴的な性質は、電子よりもはるかに小さい磁場を経験することである。複合フェルミオンが受ける磁場は次のように与えられる。

${\displaystyle B^{*}=B-2p\rho \phi _{0},}$

ここで、 は外部磁場、は複合フェルミオンに束縛された渦の数 (複合フェルミオンの渦度または渦電荷とも呼ばれる)、は 2 次元の粒子密度、 は「磁束量子」と呼ばれます (超伝導磁束量子とは 2 倍異なります)。有効磁場は複合フェルミオンの存在を直接示すものであり、電子と複合フェルミオンの基本的な違いを体現しています。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle 2p}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \phi _{0}=hc/e}$

電子は磁束量子をそれぞれ「飲み込んで」複合フェルミオンに変化し、複合フェルミオンは残留磁場を経験すると言われることがあります 。より正確には、電子に束縛された渦は独自の幾何学的位相を生成し、外部磁場によるアハロノフ・ボーム位相を部分的に打ち消し、有効磁場におけるアハロノフ・ボーム位相としてモデル化できる正味の幾何学的位相を生成します。${\displaystyle 2p}$${\displaystyle B^{*}.}$${\displaystyle B^{*}.}$

複合フェルミオンの挙動は、有効磁場中の電子の挙動に似ている。電子は磁場中でランダウ準位を形成し、満たされたランダウ準位の数は充填係数と呼ばれ、次の式で与えられる。複合フェルミオンは、有効磁場中でランダウのような準位を形成し、複合フェルミオンランダウ準位または準位と呼ばれる。複合フェルミオンの充填係数は次のように定義される。 これにより、電子と複合フェルミオンの充填係数の間に次の関係が与えられる。 ${\displaystyle B^{*}.}$${\displaystyle \nu =\rho \phi _{0}/B.}$${\displaystyle B^{*},}$${\displaystyle \Lambda}$${\displaystyle \nu ^{*}=\rho \phi _{0}/|B^{*}|.}$

${\displaystyle \nu ={\frac {\nu ^{*}}{2p\nu ^{*}\pm 1}}.}$

マイナス符号は、有効磁場が印加磁場と反平行であるときに発生します。これは、渦からの幾何学的位相がアハラノフ・ボーム位相を過剰に補償するときに発生します。

複合フェルミオン理論の中心的な主張は、磁場（または充填係数）で強く相関した電子が、磁場（または複合フェルミオン充填係数）で弱く相互作用する複合フェルミオンに変化するというものである。これにより、電子間の相互作用が複合フェルミオンの有効運動エネルギーとして現れるため、複雑な多体挙動を実質的に単一粒子で説明できる。複合フェルミオンから生じる現象のいくつかを以下に示す：^{[1] [2] [3]}${\displaystyle B}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle B^{*}}$${\displaystyle \nu^{*}}$

複合フェルミオンの有効磁場は に対してゼロとなり、電子の充填率は となる。ここで、複合フェルミオンはフェルミ海を形成する。^[6]このフェルミ海は、フェルミ波数ベクトルも測定する多くの実験において、半分充填されたランダウ準位で観測されている。^{[7] [8] [9] [10]}${\displaystyle B=2p\rho \phi _{0}}$${\displaystyle \nu =1/2p}$

磁場が からわずかに離れると、複合フェルミオンは半古典的なサイクロトロン軌道を実行します。これらは、表面音波との結合、^[7]アンチドット超格子の共鳴ピーク、^[8]および磁気収束^{[9] [10] [11]}によって観測されています。 サイクロトロン軌道の半径は有効磁場と一致し、外部から印加された磁場 での電子のサイクロトロン軌道の半径よりも1桁以上大きい場合があります。また、が に反平行である場合、観測される軌道の方向は電子の方向と逆になります。 ${\displaystyle B^{*}=0}$${\displaystyle B^{*}=0}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B^{*}}$${\displaystyle B}$

サイクロトロン軌道に加えて、複合フェルミオンのサイクロトロン共鳴も光ルミネセンスによって観測されている。^[12]

磁場が から遠ざかるにつれて、で周期的な量子振動が観測される。これらは複合フェルミオンのシュブニコフ・ド・ハース振動である。 ^{[13] [14]}これらの振動は、複合フェルミオンの半古典的サイクロトロン軌道が複合フェルミオンのランダウ準位に量子化されることによって生じる。シュブニコフ・ド・ハース実験の解析から、複合フェルミオンの有効質量と量子寿命を推定することができる。 ${\displaystyle B^{*}=0}$${\displaystyle 1/B^{*}.}$

温度と無秩序性がさらに増加または減少すると、複合フェルミオンは整数量子ホール効果を示す。^[5]複合フェルミオンの整数充填は、電子の充填に対応する。 ${\displaystyle |B^{*}|}$${\displaystyle \nu^{*}=n}$

${\displaystyle \nu ={\frac {n}{2pn\pm 1}}.}$

組み合わせて

${\displaystyle \nu =1-{\frac {n}{2pn\pm 1}},}$

これらは、最低ランダウ準位のホールに渦を付着させることによって得られるもので、顕著に観察される分数の列を構成します。例としては、

${\displaystyle {n \over 2n+1}={1 \over 3},\,{2 \over 5},\,{3 \over 7},\,{4 \over 9},\,{5 \over 11},\cdots }$

${\displaystyle {n \over 2n-1}={2 \over 3},\,{3 \over 5},\,{4 \over 7},\,{5 \over 9},\,{6 \over 11},\cdots }$

${\displaystyle {n \over 4n+1}={1 \over 5},\,{2 \over 9},\,{3 \over 13},\,{4 \over 17},\cdots }$

電子の分数量子ホール効果は、複合フェルミオンの整数量子ホール効果として説明される。^[5] その結果、分数量子化されたホールプラトーが

${\displaystyle R_{H}={h \over \nu e^{2}},}$

は上記の量子化された値によって 与えられます。これらのシーケンスは複合フェルミオンのフェルミ海で終了します。分数の分母が奇数であることに注意してください。これは複合フェルミオンの渦度が偶数であることに起因します。 ${\displaystyle \nu}$

上記のシーケンスは、観測された分数のほとんどを占めますが、すべてではありません。他の分数も観測されており、複合フェルミオン間の弱い残留相互作用から生じるため、より繊細です。^[15] これらのうちいくつかは、複合フェルミオンの分数量子ホール効果として理解されています。たとえば、複合フェルミオンの分数量子ホール効果は、分数4/11を生成しますが、これは主要なシーケンスには属しません。^[16]${\displaystyle \nu^{*}=4/3}$

偶数分母分数が観測されている。^[17] ここで第 2 ランダウ準位は半分満たされているが、フェルミ海はギャップレスであり量子ホール効果を示さないため、この状態は複合フェルミオンのフェルミ海にはなり得ない。この状態は複合フェルミオンの「超伝導体」と見なされ、^{[18] [19]}この充填率での複合フェルミオン間の弱い引力相互作用から生じる。複合フェルミオンのペアリングによりギャップが開き、分数量子ホール効果が生じる。 ${\displaystyle \nu =5/2,}$

様々な分数量子ホール状態の中性励起は複合フェルミオンの励起子、つまり複合フェルミオンの粒子正孔対である。^{[20]これらの励起子のエネルギー分散は光散乱[21] [22]とフォノン散乱[23]}によって測定されている。

高磁場では複合フェルミオンのスピンは凍結されるが、比較的低磁場では観測可能である。複合フェルミオンのランダウ準位の扇形図は輸送によって決定されており、スピンアップとスピンダウンの両方の複合フェルミオンのランダウ準位を示している。^[24]分数量子ホール状態と複合フェルミオンのフェルミ海も、比較的低磁場では部分的にスピン偏極している。^{[24] [25] [26]}

複合フェルミオンの有効磁場は、分数量子ホール効果と整数量子ホール効果の類似性、半分満たされたランダウ準位でのフェルミ海の観測、およびサイクロトロン半径の測定によって確認されています。

複合フェルミオンの質量は、複合フェルミオンの有効サイクロトロンエネルギー、^{[27] [28]}シュブニコフ・ド・ハース振動の温度依存性、^{[13] [14]}サイクロトロン共鳴のエネルギー、^[12]フェルミ海のスピン偏極、^[26]異なるスピン偏極を持つ状態間の量子相転移の測定から決定されています。^{[24] [25]} GaAs システムにおけるその典型的な値は、真空中の電子質量のオーダーです。 （これは、真空中の電子質量の 0.07 である GaAs の電子バンド質量とは無関係です。）

実験的現象の多くは、有効磁場における複合フェルミオンの定性的な描写から理解できます。さらに、複合フェルミオンは、この量子液体の詳細かつ正確な微視的理論にもつながります。2 つのアプローチが有用であることが証明されています。

以下の試行波動関数^[5]は複合フェルミオン物理学を具体化している。

${\displaystyle \Psi _{\nu }^{\rm {FQHE}}=P\;\;\Psi _{\nu ^{*}}^{\rm {IQHE}}\prod _{1\leq j<k\leq N}(z_{j}-z_{k})^{2p}}$

ここで は充填率 で相互作用する電子の波動関数です。は で弱く相互作用する電子の波動関数です。は電子または複合フェルミオンの数です。 は番目の粒子の座標です。 は波動関数を最低のランダウ準位に投影する演算子です。 これにより、整数量子ホール効果と分数量子ホール効果の間の明示的なマッピングが提供されます。 を乗算すると、各電子に渦が付加され、電子が複合フェルミオンに変換されます。 したがって、右辺は充填率 での複合フェルミオンを記述するものと解釈されます。 上記のマッピングは、分数量子ホール状態の基底状態と励起状態の両方の波動関数を、積分量子ホール状態に対応する既知の波動関数で表します。 後者には の調整可能なパラメータが含まれないため、FQHE 波動関数には での調整可能なパラメータが含まれません。 ${\displaystyle \Psi _{\nu }^{\rm {FQHE}}}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \Psi _{\nu ^{*}}^{\rm {IQHE}}}$${\displaystyle \nu^{*}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle z_{j}=x_{j}+iy_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \prod _{j<k=1}^{N}(z_{j}-z_{k})^{2p}}$${\displaystyle 2p}$${\displaystyle \nu^{*}}$${\displaystyle \nu^{*}=n}$${\displaystyle \nu =n/(2pn\pm 1)}$

厳密な結果との比較から、これらの波動関数は定量的に正確であることが分かる。これらは、励起ギャップや励起子分散、スピンを持つ複合フェルミオンの相図、複合フェルミオンの質量など、多くの測定可能な量を計算できる。これらは、充填率でラフリン波動関数^[29]に還元される。 ${\displaystyle \nu^{*}=1}$${\displaystyle \nu =1/(2p+1)}$

複合フェルミオン物理学のもう一つの定式化はチャーン・サイモンズ場理論によるもので、この理論では磁束量子が特異ゲージ変換によって電子に付加される。^{[6] [30]}平均場近似では、有効場における自由フェルミオンの物理学が再現される。ランダム位相近似レベルの摂動論は、複合フェルミオンの多くの特性を捉えている。^[31]

• 複合ボソン
• 整数量子ホール効果
• 分数量子ホール効果

• ノーベル賞講演：「分数量子ホール効果」HL ストーマー
• 「複合フェルミオン: 分数量子ホール効果における新しい粒子」、H. Störmer および D. Tsui 著、Physics News in 1994、アメリカ物理学会、1995 年、33 ページ。
• ペンシルベニア州立大学の複合フェルミオン
• 複合フェルミオン -マックス・プランク研究所のフォン・クリッツィング部門
• 「複合フェルミオンは実在する」アメリカ物理学会の物理学ニュースアップデート
• 「半分満たされたランダウ準位は興味深いデータと理論を生み出す」Physics Today
• 「複合フェルミオン：量子粒子とその量子流体」Physics Today