スピノル束

微分幾何学では、次元の向き付け可能なリーマン多様体上のスピン構造が与えられた場合、スピノル束は、上のスピンフレームの対応する主束と、スピノル空間上の構造群のスピン表現に関連付けられた複素ベクトル束として定義されます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (M,g),\,}$ ${\displaystyle \pi _{\mathbf {S} }\colon {\mathbf {S} }\to M\,}$ ${\displaystyle \pi _{\mathbf {P} }\colon {\mathbf {P} }\to M\,}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathrm {スピン} }(n)\,}$ ${\displaystyle \Delta _{n}}$

スピノル束 の断面はスピノル場と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathbf {S} }\,}$

をリーマン多様体上のスピン構造、つまりスピン群による特殊直交群の二重被覆に関する方向付けられた正規直交フレームバンドルの同変リフトとします。 ${\displaystyle ({\mathbf {P} },F_{\mathbf {P} })}$ ${\displaystyle (M,g),\,}$ ${\displaystyle \mathrm {F} _{SO}(M)\to M}$${\displaystyle \rho \colon {\mathrm {スピン} }(n)\to {\mathrm {SO} }(n)}$

スピノルバンドルは、 スピン表現を介してスピン構造 に関連付けられた複素ベクトルバンドルとして定義されます^[1]。ここで、はヒルベルト空間に作用するユニタリ演算子のグループを表します。スピン表現は、グループの忠実でユニタリな表現です^[2]${\displaystyle {\mathbf {S} }\,}$ $${\displaystyle {\mathbf {S} }={\mathbf {P} }\times _{\kappa }\Delta _{n}\,}$$ ${\displaystyle {\mathbf {P} }}$ ${\displaystyle \kappa \colon {\mathrm {Spin} }(n)\to {\mathrm {U} }(\Delta _{n}),\,}$${\displaystyle {\mathrm {U} }({\mathbf {W} })\,}$ ${\displaystyle {\mathbf {W} }.\,}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle {\mathrm {スピン} }(n).}$

• クリフォードバンドル
• クリフォードモジュールバンドル
• 正規直交フレームバンドル
• スピンジオメトリ
• スピノール
• スピノル表現

• ローソン、H.ブレイン;ミシェルソン、マリー・ルイーズ（1989）。スピンジオメトリ。プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-691-08542-5。
• フリードリヒ、トーマス（2000）、リーマン幾何学におけるディラック演算子、アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-2055-1

|