無限

ギリシャで記録された最も古い無限の概念は、ソクラテス以前のギリシャの哲学者アナクシマンドロス（紀元前610年頃 - 紀元前546年頃）のものかもしれない。彼は「アペイロン」という言葉を使ったが、これは「境界のない」「不定の」という意味で、おそらく「無限」と訳せるだろう。^{[ 1 ] [ 5 ]}

アリストテレス（紀元前350年）は、潜在的な無限と実際の無限を区別し、後者は様々なパラドックスを生み出すように見えるため不可能だと考えた。^{[ 6 ]}この見解に沿って、ヘレニズム時代のギリシャ人は「無限への恐怖」を持っていたと主張されている。 ^{[ 7 ] [ 8 ]}例えば、ユークリッド（紀元前300年頃）が素数は無限であるとは言わず、「素数は、割り当てられた素数の集合よりも多い」と言った理由を説明できるだろう。^{[ 9 ]}また、素数の無限性を証明する際に、ユークリッドは「無限への恐怖を最初に克服した」とも主張されている。^{[ 10 ]}ユークリッドの平行線公準についても同様の論争があり、次のように翻訳されることもある。

2本の直線に交わる直線が、同じ側で2つの直角より小さい内角をなす場合、その2本の直線を無限に延長すると、内角の和が2直角より小さい側で交わる。^{[ 11 ]}

しかし、他の翻訳者は「2本の直線を無限に伸ばせば…」という訳語を好む^{[ 12 ]。}こうすることで、ユークリッドが無限の概念に抵抗がなかったという含みを避けることができる。最後に、無限についての考察は「無限への恐怖」を引き起こすどころか、初期ギリシア哲学の根底にあり、アリストテレスの「潜在的無限」はこの時代の一般的な傾向からの逸脱であると主張されている^{[ 13 ] 。}

エレアのゼノン（紀元前 495年頃 -紀元前 430 年頃）は、無限に関する見解を提唱したわけではない。しかしながら、彼のパラドックス^{[ 14 ]} 、特に「アキレウスと亀」は、一般的な概念の不十分さを明らかにした点で重要な貢献となった。バートランド・ラッセルは、これらのパラドックスを「計り知れないほど巧妙で深遠」と評した^{[ 15 ] 。}

アキレスは亀と競争し、亀にハンデを与えた。

• ステップ1：アキレスは亀のスタート地点まで走り、亀は前進する。
• ステップ2：アキレスはステップ1の終わりに亀がいた場所まで進み、亀はさらに先へ進みます。
• ステップ3：アキレスはステップ2の終わりに亀がいた場所まで進み、亀はさらに先へ進みます。
• ステップ4：アキレスはステップ3の終わりに亀がいた場所まで進み、亀はさらに先へ進みます。

そしてこれは無限に続く。基本的に、

• ステップ #(n+1): アキレスはステップ #n の終わりに亀がいた場所まで進み、亀はさらに先に進みます。

どうやらアキレスは決して亀を追い越すことができないらしい。どれだけ歩を進めても、亀は常にアキレスより先に進んでいるからだ。

ゼノンは無限について何かを主張しようとしていたわけではない。運動を幻想とみなすエレア派の一員として、彼はアキレウスが走ることができたと考えること自体が誤りだと考えていた。後世の思想家たちはこの解決策を受け入れがたいと考え、2000年以上にわたってこの議論の別の弱点を探し求め続けた。

最後に、1821年にオーギュスタン＝ルイ・コーシーは、極限の満足のいく定義と、0 < x < 1の場合、^{[ 16 ]の証明を提供しました。}$${\displaystyle a+ax+ax^{2}+ax^{3}+ax^{4}+ax^{5}+\cdots ={\frac {a}{1-x}}.}$$

アキレスが毎秒 10 メートルで走り、亀が毎秒 0.1 メートルで歩き、亀が 100 メートルのリードを持っていると仮定します。追跡の所要時間は、a = 10 秒、x = 0.01のコーシーのパターンに適合します。アキレスは亀を追い越しますが、

${\displaystyle 10+0.1+0.001+0.00001+\cdots }$${\displaystyle ={\frac {10}{1-0.01}}={\frac {10}{0.99}}=10.10101\ldots {\text{秒}}.}$

ジャイナ教の数学書『スーリヤ・プラジュニャプティ』（紀元前4世紀～3世紀頃）では、すべての数を列挙可能数、列挙不可能数、無限数の3つの集合に分類しています。これらのそれぞれはさらに3つの位に細分化されています。^{[ 17 ]}

• 列挙可能: 最低、中間、最高
• 数えきれないほど：ほぼ数えきれないほど、本当に数えきれないほど、そして数えきれないほど数えきれないほど
• 無限：ほぼ無限、真に無限、無限に無限

17世紀、ヨーロッパの数学者たちは無限数と無限式を体系的に使い始めた。1655年、ジョン・ウォリスは初めて記法を用いた。${\displaystyle \infty }$彼の『円錐分割論』 [ ^{18 ]では}そのような数について言及し、領域を幅がオーダーの微小な帯に分割することで面積計算に利用した。${\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}.}$^{[ 19 ]}しかし、 Arithmetica infinitorum(1656)では^{、 [ 20 ]}彼はいくつかの項や因数を書き出し、その後に「&c.」を付加することで、無限級数、無限積、無限連分数を示しています。例えば、「1, 6, 12, 18, 24, &c.」のようにです。 ^{[ 21 ]}

1699 年、アイザック ニュートンは、著書『De Analysi per aequationes numero terminorum infinitas』で無限の項を含む方程式について書きました。^{[ 22 ]}

実解析では、記号${\displaystyle \infty }$「無限大」と呼ばれる記号は、無限の限界を表すために使われます。^{[ 30 ]}これは実数ではありません。${\displaystyle x\rightarrow \infty }$つまり ${\displaystyle x}$際限なく増加し、${\displaystyle x\to -\infty }$つまり ${\displaystyle x}$無限に減少します。たとえば、${\displaystyle f(t)\geq 0}$すべての ${\displaystyle t}$、それから^{[ 31 ]}

• ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,dt=\infty }$つまり${\displaystyle f(t)}$有限領域を境界付けない${\displaystyle a}$に${\displaystyle b.}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\infty }$下の領域${\displaystyle f(t)}$無限です。
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=a}$総面積は${\displaystyle f(t)}$は有限であり、${\displaystyle a.}$

無限は、以下のように無限級数を表すためにも使用できます。

• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=a}$これは、無限級数の和が何らかの実数値に収束することを意味する。${\displaystyle a.}$
• $\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=\infty }$これは、無限級数の和が、部分和が際限なく増加するという意味で、真に無限に発散することを意味する。 ^{[ 32 ]}

無限大は限界を定義するだけでなく、拡張実数系における値としても使用できます。${\displaystyle +\infty }$そして${\displaystyle -\infty }$実数の位相空間に加えることで、実数の2点コンパクト化が得られます。これに代数的性質を加えると、拡張実数が得られます。^{[ 33 ]}また、 を扱うこともできます。${\displaystyle +\infty }$そして${\displaystyle -\infty }$同様であり、実数の一点コンパクト化、すなわち実射影線につながる。^{[ 34 ]}射影幾何学は、平面幾何学における無限遠の直線、3次元空間における無限遠の平面、および一般次元における無限遠の超平面も指し、それぞれ無限遠の点から構成される。^{[ 35 ]}

複素解析では、記号${\displaystyle \infty }$「無限大」と呼ばれるこの式は、符号なしの無限大を表します。${\displaystyle x\rightarrow \infty }$大きさ ${\displaystyle |x|}$の ${\displaystyle x}$割り当てられた値を超えて成長する。${\displaystyle \infty }$複素平面に位相空間として追加することができ、複素平面の一点コンパクト化をもたらします。この操作を行うと、結果として得られる空間は、拡張複素平面またはリーマン球と呼ばれる一次元複素多様体、またはリーマン面になります。^{[ 36 ]}拡張実数に対して上記で説明したのと同様の算術演算も定義できますが、符号の区別はありません（そのため、無限大をそれ自身に加えることはできないという例外があります）。一方、この種の無限大はゼロによる除算を可能にします。${\displaystyle z/0=\infty }$任意の非ゼロ複素数に対して ${\displaystyle z}$この文脈では、有理型関数を、値をとるリーマン球面への写像として考えることがしばしば有用である。${\displaystyle \infty }$極では、複素数値関数の定義域は無限遠点も含むように拡張できます。このような関数の重要な例の1つは、メビウス変換のグループです（メビウス変換§概要を参照）。

アイザック・ニュートンとゴットフリート・ライプニッツによる微積分学の原型は、微積分量を用いていました。20世紀後半には、この扱いが、滑らかな微積分解析や非標準解析など、さまざまな論理体系を通して厳密な基盤の上に築けることが示されました。後者では、微積分は可逆であり、その逆数は無限大です。この意味での無限大は超実数体の一部であり、カントールの超限数のようにそれらの間に等価性はありません。たとえば、H がこの意味で無限大である場合、H + H = 2H と H + 1 は異なる無限大です。この非標準解析学へのアプローチは、 Keisler (1986)で完全に展開されています。       

カントールの最も重要な成果の1つは、連続体の濃度が${\displaystyle \mathbf {c} }$自然数よりも大きい$\displaystyle {\aleph _{0}}}$つまり、実数Rの数は自然数Nの数よりも多いということである。具体的には、カントールは次のように示した。$\displaystyle \mathbf {c} =2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}}$[ ^{42 ]​}

連続体仮説は、実数の濃度と自然数の濃度の間に基数は存在しない、つまり、${\displaystyle \mathbf {c} =\aleph _{1}=\beth _{1}}$。

この仮説は、選択公理を仮定したとしても、広く受け入れられているツェルメロ・フレンケル集合論の中では証明も反証もできない。^{[ 43 ]}

基数算術を用いると、実数直線上の点の数がその直線の任意の区間上の点の数に等しいだけでなく、平面上の点の数、ひいては任意の有限次元空間上の点の数にも等しいことを示すことができる。^{[ 44 ]}

これらの結果の最初のものは、例えば、区間( − ⁠ π / 2 ⁠ , ⁠ π / 2 ⁠ ) とRの間に1 対 1 の対応を提供する正接関数を考慮することで明らかになります。

2番目の結果は 1878年にカントールによって証明されましたが、 1890年にジュゼッペ・ペアノが空間充填曲線、つまり任意の正方形、立方体、超立方体、または有限次元空間全体を埋め尽くすほど十分にねじれた曲線を導入したときに初めて直感的に明らかになりました。これらの曲線は、正方形の一辺上の点と正方形内の点との間の1対1の対応を定義するために使用できます。^{[ 45 ]}

古典幾何学に現れるベクトル空間は常に有限次元（一般的には2次元または3次元）を持つ。しかし、これはベクトル空間の抽象的な定義から必然的に導かれるものではなく、無限次元のベクトル空間も考えられる。これは関数解析において典型的に見られるケースであり、関数空間は一般的に無限次元のベクトル空間である。

位相幾何学において、無限次元の位相空間を生成できる構成が存在する。特に、反復ループ空間はその一例である。

フラクタルオブジェクトの構造は、拡大しても繰り返されます。フラクタルは、構造を失って「滑らか」になることなく無限に拡大できます。フラクタルは無限の周長を持ち、面積は無限または有限になります。無限の周長と有限の面積を持つフラクタル曲線の1つがコッホ雪片です。^{[ 46 ]}

物理学では、連続的な測定には実数の近似値が使用され、離散的な測定（つまり、計数）には自然数が使用される。無限平面波のような無限の概念は存在するが、それらを生成する実験的な手段はない。^{[ 49 ]}

IEEE浮動小数点規格（IEEE 754）では、正の無限大と負の無限大（および不定値）が規定されています。これらは、算術オーバーフロー、ゼロ除算、およびその他の例外的な演算の結果として定義されます。^{[ 59 ]}

Java ^{[ 60 ]}やJ [ ^{61 ]}などの一部のプログラミング言語では、プログラマーが言語定数として正と負の無限大値に明示的にアクセスできます。これらは、それぞれ他のすべての値よりも大きいか小さいかを比較するため、最大要素と最小要素として使用できます^。これらは、ソート、検索、ウィンドウ処理を含むアルゴリズムの番兵値として使用されます。

最大要素と最小要素を持たないものの、関係演算子のオーバーロードを許可する言語では、プログラマーが最大要素と最小要素を作成することが可能です。プログラムの初期状態からこれらの値に明示的にアクセスできないものの、浮動小数点データ型を実装する言語では、特定の演算の結果として無限大の値にアクセスして使用できる場合があります。

プログラミングにおいて、無限ループとは、終了条件が決して満たされないループであり、したがって無限に実行されるループのことである。