サブグループのインデックス

数学、特に群論において、群G内の部分群Hの指数は、 G内のHの左剰余類の数、または同等に、 G内のHの右剰余類の数である。指数はまたはまたは で表される。G は左剰余類の互いに素な和であり、各左剰余類はHと同じサイズであるため、指数は2つの群の 位数と次の式で関連付けられる。 ${\displaystyle |G:H|}$${\displaystyle [G:H]}$${\displaystyle (G:H)}$

${\displaystyle |G|=|G:H||H|}$

(量の一部が無限大である場合は基数として解釈します)。したがって、この指標はGとHの「相対的な大きさ」を測定します。 ${\displaystyle |G:H|}$

たとえば、 を加法による整数の群とし、 を偶数からなる部分群とします。すると には の 2 つの剰余類、つまり偶数集合と奇数集合があるため、指数は2 です。より一般的には、任意の正の整数nに対して となります。 ${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$${\displaystyle H=2\mathbb {Z} }$${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle |\mathbb {Z} :2\mathbb {Z} |}$${\displaystyle |\mathbb {Z} :n\mathbb {Z} |=n}$

Gが有限のとき、式は と書かれ、 を割り切るラグランジュの定理が成り立ちます。 ${\displaystyle |G:H|=|G|/|H|}$${\displaystyle |H|}$${\displaystyle |G|}$

Gが無限大の場合、は有限または無限大の非ゼロ基数です。たとえば、ですが、 は無限大です。 ${\displaystyle |G:H|}$${\displaystyle |\mathbb {Z} :2\mathbb {Z} |=2}$${\displaystyle |\mathbb {R} :\mathbb {Z} |}$

N がGの正規部分群である場合、の基礎集合はGにおけるNの剰余類の集合であるため、 は商群の位数に等しくなります。 ${\displaystyle |G:N|}$ ${\displaystyle G/N}$${\displaystyle G/N}$

• HがGの部分群であり、KがHの部分群である場合、

${\displaystyle |G:K|=|G:H|\,|H:K|.}$

• HとKがGの部分群である場合、

${\displaystyle |G:H\cap K|\leq |G:H|\,|G:K|,}$

の場合には等式が成立します。(が有限の場合、 の場合にのみ等式が成立します。)${\displaystyle HK=G}$${\displaystyle |G:H\cap K|}$${\displaystyle HK=G}$

• 同様に、HとKがGの部分群である場合、

${\displaystyle |H:H\cap K|\leq |G:K|,}$

の場合には等式が成立します。(が有限の場合、 の場合にのみ等式が成立します。)${\displaystyle HK=G}$${\displaystyle |H:H\cap K|}$${\displaystyle HK=G}$

• GとH が群で が準同型である場合、 Gにおけるの核のインデックスは像の位数に等しくなります。${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$${\displaystyle \varphi}$

${\displaystyle |G:\operatorname {ker} \;\varphi |=|\operatorname {im} \;\varphi |.}$

• G を集合Xに作用する群とし、x  ∈  Xとする。このとき、Gによるxの軌道の濃度はxの安定子のインデックスに等しい。

${\displaystyle |Gx|=|G:G_{x}|.\!}$

これは軌道安定定理として知られています。

• 軌道安定定理の特殊なケースとして、元の共役の数は Gにおけるxの中心化のインデックスに等しくなります。${\displaystyle gxg^{-1}}$${\displaystyle x\in G}$
• 同様に、 Gにおける部分群Hの共役の数は、GにおけるHの正規化子のインデックスに等しくなります。${\displaystyle gHg^{-1}}$
• H がGのサブグループである場合、 Hの正規核の指数は次の不等式を満たします。

${\displaystyle |G:\operatorname {Core} (H)|\leq |G:H|!}$

ここで、! は階乗関数を表します。これについては後ほど詳しく説明します。

• 結果として、 GにおけるHのインデックスが 2 の場合、または有限群に対してGの位数を割り切る最小の素数pの場合、 Hは正規です。これは、そのコアのインデックスもpである必要があるためであり、したがってH はそのコアに等しく、つまり正規です。
• 非素数位数の単純な群や、​​より一般的には完全な群などでは、最も小さい素数指数の部分群が存在しない可能性があることに注意してください。

• 交代群は 対称群の指数 2 を持ち、したがって正規です。${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle S_{n},}$
• 特殊直交群は 直交群において指数 2 を持ち、したがって正規群です。${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$
• 自由アーベル群には 指数2の部分群が3つあり、${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \{(x,y)\mid x{\text{ は偶数}}\},\quad \{(x,y)\mid y{\text{ は偶数}}\},\quad {\text{and}}\quad \{(x,y)\mid x+y{\text{ は偶数}}\}}$。

• より一般的には、pが素数の場合、 は非自明な準同型に対応するインデックスpの部分群を持ちます。^{[引用が必要]}${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle (p^{n}-1)/(p-1)}$${\displaystyle (p^{n}-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$
• 同様に、自由群には インデックスpの部分群があります。${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle (p^{n}-1)/(p-1)}$
• 無限二面体群には指数2 の巡回部分群があり、これは必然的に正規群になります。

H がGに無限個の剰余類を持つ場合、GにおけるHのインデックスは無限であると言われます。この場合、インデックスは実際には基数です。たとえば、HがGに可算個の剰余類を持つかどうかによって、GにおけるHのインデックスは可算または不可算になります。 Hのインデックスは最大でもG の位数であり、これは自明な部分群、または実際にはGの基数よりも小さい無限基数の任意の部分群Hに対して実現されることに注意してください。${\displaystyle |G:H|}$

有限または無限の群G内の有限インデックスの部分群Hには、有限インデックスの正規部分群N ( G ) が必ず含まれます。実際、H がインデックスn を持つ場合、 Nのインデックスはnの約数であり、 nの倍数になります。実際、N は、 GからHの左 (または右) 剰余類の置換群への自然準同型の核と見なすことができます。右剰余類を使用して、これをさらに詳しく説明します。

すべての剰余類を同じにするGの元はグループを形成します。

この群をAと呼ぶことにします。B をHの剰余類に対して与えられた順列を実行するGの元の集合とします。するとB はAの右剰余類になります。

これまで述べてきたことは、 Hのインデックスが有限か無限かに関係なく適用されます。ここで、それが有限数nであると仮定します。剰余類の可能な順列の数は有限、つまりn ! なので、 Bのような集合は有限個しか存在できません。( Gが無限大であれば、そのような集合はすべて無限大です。) これらの集合の集合は順列群の部分集合と同型な群を形成するので、これらの集合の数はn ! を割り切れる必要があります。さらに、 Hの各剰余類にはAの剰余類が同じ数含まれるので、それはnの倍数でなければなりません。最後に、あるc ∈ Gおよびa ∈ Aについてca = xc が成り立つ場合、任意のd ∈ G について dca = dxc が成り立ちますが、あるh ∈ H ( Aの定義により) についてdca = hdc も成り立つので、hd = dxです。これは任意のdに対して真であるため、x はA のメンバーでなければなりません。したがって、ca = xc はcac ⁻¹ ∈ Aを意味し、したがってA は正規部分群です。

正規部分群のインデックスはn !の約数であるだけでなく、他の条件も満たす必要があります。正規部分群は H の部分群であるため、 G におけるそのインデックスは H 内のそのインデックスの n 倍でなければなりません。また、Gにおけるそのインデックスは、n個のオブジェクトの順列のグループである対称群S _nの部分群に対応している必要があります。したがって、たとえばnが 5 の場合、 5 ! を割り切れるにもかかわらず、インデックスは 15 にはなりません。これは、 S ₅に位数 15 の部分群が存在しないためです。

n = 2の場合、これは、インデックス 2 の部分群H が正規部分群であるというかなり明白な結果をもたらします。なぜなら、Hの正規部分群はGでインデックス 2 を持つ必要があり、したがってHと同一であるからです。(この事実は、 Hに含まれないGのすべての要素がHの右剰余類と左剰余類も構成するため、2つは同一であることに注目することによっても得られます。) より一般的には、インデックスpの部分群( pはGの位数の最小の素因数です( Gが有限の場合)) は、 Nのインデックスがp を割り切るため、必ずp に等しく、他の素因数がないため、必然的に正規になります。たとえば、位数 21 の非アーベル群の部分群Z _{7は正規です (「}小さな非アーベル群の一覧とフロベニウス群#例」を参照)。

インデックスが最低の素数pの部分群が正規群であるという結果の別の証明と、素数インデックスの部分群のその他の特性は、(Lam 2004) に示されています。

カイラル八面体対称性の群Oには24 個の元があります。この群には、位数 8 の二面体D ₄部分群 (実際には 3 つあります) があり、したがってOの指数は 3 です。これをHと呼びます。この二面体群には 4 要素の D _{2部分群があり、これを}Aと呼ぶことができます。H の右剰余類の任意の要素に A の要素を右側で乗算すると、Hの同じ剰余類の要素が得られます ( Hca = Hc )。 A は O で正規です。 A の剰余類は6個あり、対称群S 3の₆つの要素に対応します。 Aの特定の剰余類のすべての要素は、Hの剰余類の同じ順列を実行します。

一方、ピリトヘドロン対称性のグループ T _hにも 24 個のメンバーと指数 3 のサブグループ (今回は D _2hプリズム対称グループです。3次元の点群を参照) がありますが、この場合はサブグループ全体が正規サブグループです。特定のコセットのすべてのメンバーは、これらのコセットの同じ置換を実行しますが、この場合は、 6 メンバー S ₃対称グループ内の3 要素交代グループのみを表します。

素数冪指数の正規部分群はp群への射影写像の核であり、焦点部分群定理: 部分群で説明され、焦点部分群定理で詳しく説明されているように、興味深い構造を持っています。

素数指数の重要な正規サブグループは 3 つあり、それぞれが特定のクラス内の最小の正規サブグループです。

• E ^p ( G )はすべての指数p の正規部分群の共通部分です。G / E ^p ( G ) は基本アーベル群であり、G が射影する最大の基本アーベルp群です。
• A ^p ( G ) は、 G / Kがアーベルp群であるようなすべての正規部分群Kの共通部分です(つまり、K は導来群を含むインデックス正規部分群です)。G / A ^p ( G ) は、 G が全射する最大のアーベルp群 (必ずしも基本的ではない)です。${\displaystyle p^{k}}$${\displaystyle [G,G]}$
• O ^p ( G ) は、G / Kが（非可換の場合もある）p群（つまり、Kが指数正規部分群）であるような、 Gのすべての正規部分群Kの共通部分である。G / O ^p ( G ) は、 G が射影する最大のp群（必ずしも可換ではない）である。O ^p ( G ) は、${\displaystyle p^{k}}$p残差サブグループ。

これらはグループKに対するより弱い条件なので、包含関係は

${\displaystyle \mathbf {E} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {A} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {O} ^{p}(G).}$

これらの群は、そこで議論されているように、シロー部分群および転送準同型性 と重要な関係があります。

基本的な観察は、対称差の補集合が3番目の部分群を生み出すため、指数2の部分群は正確に2つは存在しないということである。これは、上記の議論（すなわち、基本アーベル群のベクトル空間構造の射影化）の単純な帰結である。

${\displaystyle G/\mathbf {E} ^{p}(G)\cong (\mathbf {Z} /p)^{k}}$、

さらに、G はこの幾何学には作用せず、非アーベル構造も反映しません (どちらの場合も商がアーベルであるため)。

しかし、これは基本的な結果であり、具体的には次のように見ることができる。与えられた指数pの正規部分群の集合は射影空間、すなわち射影空間 を形成する。

${\displaystyle \mathbf {P} (\operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p))。}$

詳細には、 Gから位数p の（巡回）群への準同型写像の空間は、有限体上のベクトル空間である。このような写像は、指数p の正規部分群を核として持ち、その写像に（ pを法とする非ゼロ数）の元を乗じても核は変化しない。したがって、 ${\displaystyle \operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p),}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{p}=\mathbf {Z} /p.}$${\displaystyle (\mathbf {Z} /p)^{\times }}$

${\displaystyle \mathbf {P} (\operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p)):=(\operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p))\setminus \{0\})/(\mathbf {Z} /p)^{\times }}$

正規インデックスp の部分群への写像。逆に、インデックスpの正規部分群は、どの剰余類がどの剰余類に写像するかを選択することで、この写像が全単射であることを示すまでの、非自明な写像を決定します。 ${\displaystyle \mathbf {Z} /p}$${\displaystyle 1\in \mathbf {Z} /p,}$

結果として、指数pの正規部分群の数は

${\displaystyle (p^{k+1}-1)/(p-1)=1+p+\cdots +p^{k}}$

あるk に対して、指数 pの正規部分群は存在しない。さらに、指数p の 2 つの異なる正規部分群が与えられた場合、そのような部分群からなる射影直線が得られる。 ${\displaystyle k=-1}$${\displaystyle p+1}$

2 つの異なるインデックス 2 サブグループ (必ず正規分布する) の対称差は、これらのサブグループを含む射影直線上の 3 番目の点を与え、グループにはインデックス 2 サブグループが含まれている必要があります。たとえば、正確に 2 つまたは 4 つのインデックス 2 サブグループを含めることはできません。 ${\displaystyle p=2,}$${\displaystyle 0,1,3,7,15,\ldots }$

• 事実上
• 共次元

• PlanetMathにおける素数インデックスのサブグループの正規性。
• 「最小素数指数の部分群は正規群である」Groupprops、The Group Properties Wiki