ローレンツグループ

2つの慣性座標系（t、x、y、z）と（t ′、x ′、y ′、z ′）および2つの点P1、P2_を仮定すると、ローレンツ群は、2つの座標系間で光の伝播速度を_保存するすべての変換の集合である。

${\displaystyle c^{2}(\Delta t')^{2}-(\Delta x')^{2}-(\Delta y')^{2}-(\Delta z')^{2}=c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}}$

行列形式では、以下の条件を満たすすべての線形変換Λは次のようになります。

${\displaystyle \Lambda ^{\textsf {T}}\eta \Lambda =\eta \qquad \eta =\operatorname {diag} (1,-1,-1,-1)}$

これらはローレンツ変換と呼ばれます。

数学的には、ローレンツ群は、二次形式を保存する行列リー群である不定直交群O(1, 3)として記述できます。

${\displaystyle (t,x,y,z)\mapsto t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$

R ⁴上（この二次形式を備えたベクトル空間は、R ^{1,3と表記されることもある）。この二次形式は、行列形式（}古典直交群を参照）にすると、物理学ではミンコフスキー時空の計量テンソルとして解釈される。

ローレンツ群では、O(1, 3)とO(3, 1)の両方がよく使われます。前者は符号が (+−−−) の計量を保持する行列を指し、後者は符号が (−+++) の計量を指します。定義式では計量の全体的な符号は関係ないので、結果として得られる行列群は同一です。一部の分野では(3 , 1 )ではなく (1, 3) 表記を採用する現代的な動きがあるようですが、後者は現在の実務で依然として広く使われており、歴史的な文献の多くでも使用されています。この記事で説明されている内容はすべて、O(3, 1)表記にも同様に、必要に応じて適用されます。これらの考察は、関連する定義にも適用されます (例: SO ⁺ (1, 3) vs SO ⁺ (3, 1) )。

ローレンツ群は、連結していない6次元の非コンパクト非可換実リー群です。4 つの連結成分は単連結ではありません。^{[ 1 ]}ローレンツ群の恒等成分(つまり、恒等要素を含む成分) はそれ自体が群であり、制限ローレンツ群と呼ばれることが多く、SO ⁺ (1, 3)と表記されます。制限ローレンツ群は、空間の向きと時間の方向の両方を保存するローレンツ変換から構成されます。その基本群の位数は 2 であり、その普遍被覆である不定スピン群Spin(1, 3)は、特殊線形群SL(2, C )とシンプレクティック群Sp(2, C )の両方と同型です。これらの同型により、ローレンツ群は物理学にとって重要な多数の数学的構造、特にスピノルに作用することができます。したがって、相対論的量子力学や量子場理論では、 SL(2, C )をローレンツ群と呼ぶのが一般的であり、 SO ⁺ (1, 3)はその特定の表現 (ベクトル表現) であるという理解のもとで行われる。 

ミンコフスキー空間におけるローレンツ群の作用の再帰的表現は、合成代数を形成する双四元数を用いる。ローレンツ変換の等長性は、合成性質に従って成り立つ。${\displaystyle |pq|=|p|\times |q|}$⁠ .

ローレンツ群のもう一つの性質は、共形性、すなわち角度の保存性である。ローレンツブーストは時空平面の双曲回転によって作用し、このような「回転」は相対性理論で用いられる速度の尺度である双曲角を保存する。したがって、ローレンツ群は時空の共形群の部分群である。

この記事では、O(1, 3)を「ローレンツ群」、SO(1, 3)を「真のローレンツ群」、SO ⁺ (1, 3)を「制限付きローレンツ群」と呼んでいることに注意してください。多くの著者（特に物理学の分野）は、 O( 1, 3)ではなくSO(1, 3)（あるいは場合によってはSO ⁺ (1, 3) ）を「ローレンツ群」と呼んでいます。そのような著者の文章を読む際には、彼らが具体的にどの群を指しているのかを明確にしておくことが重要です。

ローレンツ群O(1, 3)はリー群であるため、群であると同時に、滑らかな多様体として位相的に記述されます。多様体として、4 つの連結成分を持ちます。直感的に言えば、これは位相的に分離された 4 つの部分から構成されていることを意味します。

連結された4つの構成要素は、その要素が持つ2つの変換特性によって分類できる。

• 時間反転ローレンツ変換によって一部の要素は反転する。例えば、未来を指す時間的ベクトルは過去を指すベクトルに反転される。
• 一部の要素は、不適切なローレンツ変換によって向きが反転している。例えば、特定の四つ組（テトラッド）など。

時間の方向を保存するローレンツ変換は、正時変換。正時変換のサブグループは、しばしばO ⁺ (1, 3)。向きを保存するものは適切な、線形変換として行列式は+1。（不適切なローレンツ変換の行列式は−1、SO(1, 3) と表記されます。

向きと時間の方向の両方を保存するすべてのローレンツ変換の部分群は、真の正時ローレンツ群または制限ローレンツ群と呼ばれ、SO ⁺ (1, 3)と表記される。^{[ a ]}

4つの連結成分の集合は、商群O(1, 3) / SO ⁺ (1, 3)として群構造を与えることができ、これはクラインの4群と同型である。O (1, 3)のすべての要素は、適切な正時変換と離散群の要素の半直積として表すことができる。

{1, P , T , PT }

ここで、PとTはそれぞれパリティ演算子と時間反転演算子である。

P = diag(1, −1, −1, −1)

T = diag(−1, 1, 1, 1)。

したがって、任意のローレンツ変換は、適切な直交ローレンツ変換として指定でき、さらに4つの連結成分のうちの1つを選択する2ビットの情報が追加されます。このパターンは、有限次元リー群に典型的なものです。

一葉双曲面

共通円錐面

2葉双曲面

群Gが空間Vに作用する場合、曲面S ⊂ Vは、 SがGの下で不変である（すなわち、∀ g ∈ G、∀ s ∈ S : gs ∈ S ）場合、かつ任意の 2 点s ₁、s ₂ ∈ Sに対してgs ₁ = s ₂となるg ∈ Gが存在する場合に推移性を持つ曲面となる。ローレンツ群の定義により、二次形式が保存される。

${\displaystyle Q(x)=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}.}$

平坦な時空R ^1,3に作用する正時ローレンツ群O ⁺ (1, 3)、Q ( x ) = const.の推移面は次のとおりである: ^{[ 3 ]}

• Q ( x ) > 0、x ₀ > 0は、2 枚の葉を持つ双曲面の上の枝です。この葉上の点は、未来の時間的ベクトルによって原点から分離されています。
• Q ( x ) > 0、x₀ _< 0はこの双曲面の下側の枝です。この面上の点は過去の時間のようなベクトルです。
• Q ( x ) = 0、x ₀ > 0は光円錐の上側の枝、つまり未来の光円錐です。
• Q ( x ) = 0、x ₀ < 0は光円錐の下側の枝、つまり過去の光円錐です。
• Q ( x ) < 0は一葉双曲面です。この葉上の点は、原点から離れた空間的な位置にあります。
• 原点x ₀ = x ₁ = x ₂ = x ₃ = 0。

これらの曲面は3次元であるため、画像は忠実ではありませんが、O ⁺ (1, 2)に関する対応する事実については忠実です。完全なローレンツ群の場合、変換Tは双曲面 (円錐) の上側の枝を下側の枝に、またその逆も行うため、推移性を持つ曲面は 4 つだけです。

これらの観察は、誘導表現法を用いて、ローレンツ群、ひいてはポアンカレ群のすべての無限次元ユニタリ表現を見つけるための良い出発点となる。^{[ 4 ]}まず、推移性の各面に対応する「標準ベクトル」を用意し、次に、これらのベクトルを保存する部分群はどれかと問う。これらの部分群は物理学者によって小群と呼ばれている。問題は、本質的には小群の表現を見つけるというより簡単な問題に帰着する。例えば、2 枚のシートの双曲線の 1 つにおける標準ベクトルは( m , 0, 0, 0)と適切に選択できる。m ≠ 0の場合、ベクトルはちょうど 1 つのシートを貫通する。この場合、小群は回転群SO(3)であり、その表現はすべて既知である。粒子が変換する正確な無限次元ユニタリ表現は、その分類の一部である。すべての表現が物理的な粒子に対応できるわけではない (知られている限りでは)。一枚双曲線上の標準ベクトルはタキオンに対応する。光円錐上の粒子は光子であり、より仮説的な意味では重力子である。原点に対応する「粒子」は真空である。

ワイル表現またはスピノル写像は、SL(2, C )からSO ⁺ (1, 3)への全射準同型写像のペアである。これらはパリティ変換の下で一致するペアを形成し、左カイラルスピノルと右カイラルスピノルに対応する。

SL(2, C )のミンコフスキー時空への作用は、時空の点を次の形式の2×2エルミート行列として記述することによって定義できる。

${\displaystyle {\overline {X}}={\begin{bmatrix}ct+z&x-iy\\x+iy&ct-z\end{bmatrix}}=ct1\!\!1+x\sigma _{x}+y\sigma _{y}+z\sigma _{z}=ct1\!\!1+{\vec {x}}\cdot {\vec {\シグマ }}}$

パウリ行列の観点から。

このプレゼンテーション、ワイルプレゼンテーションは、

${\displaystyle \det \,{\overline {X}}=(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

したがって、エルミート行列の空間（実ベクトル空間として4次元）をミンコフスキー時空と同一視し、エルミート行列の行列式はミンコフスキー時空における対応するベクトルの長さの2乗となるようにした。要素S ∈ SL(2, C )は、エルミート行列の空間に作用する。

${\displaystyle {\overline {X}}\mapsto S{\overline {X}}S^{\dagger }~,}$

どこ${\displaystyle S^{\dagger }}$はSのエルミート転置です。この作用は行列式を保存するため、SL(2, C )はミンコフスキー時空に（線形）等長変換によって作用します。上記のパリティ反転形式は

${\displaystyle X=ct1\!\!1-{\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}}$

これは次のように変化する

${\displaystyle X\mapsto \left(S^{-1}\right)^{\dagger }XS^{-1}}$

これが正しい変換であることは、次の点に注目することでわかる。

${\displaystyle {\overline {X}}X=\left(c^{2}t^{2}-{\vec {x}}\cdot {\vec {x}}\right)1\!\!1=\left(c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}\right)1\!\!1}$

上記の2つの変換の下で不変のままである。

これらの写像は全射であり、どちらの写像の核も2要素部分群± Iである。第一同型定理により、商群PSL(2, C ) = SL(2, C ) / {± I }はSO ⁺ (1, 3)と同型である。

パリティ写像はこれら2つの被覆を入れ替えます。これは、エルミート共役がSL(2, C )の自己同型であることに対応します。これら2つの異なる被覆は、ローレンツ群のスピノルに対する2つの異なるカイラル作用に対応します。上線のない形式は、右巻きスピノルが次のように変換されることに対応します。${\displaystyle \psi _{R}\mapsto S\psi _{R}}$⁠、一方、上線形式は左巻きスピノルが次のように変換されることに対応します。$\displaystyle \psi _{L}\mapsto \left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{L}}$⁠ . ^{[ b ]}

この一対の被覆は量子化によって失われることに注意することが重要です。量子化されると、カイラル異常という特異な現象が生じます。ローレンツ群の古典的な（つまり量子化されていない）対称性は量子化によって破られます。これがアティヤ・シンガー指数定理の内容です。

物理学では、ローレンツ変換Λ ∈ SO ⁺ (1, 3)を次のように表すのが慣例である。${\displaystyle {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }}$⁠ 、したがって、時空インデックスμ、ν = 0、1、2、3を持つ行列を示します。4次元ベクトルは、パウリ行列から 2 つの異なる方法で作成できます。${\displaystyle \sigma ^{\mu }=(I,{\vec {\sigma }})}$そして、${\displaystyle {\overline {\sigma }}^{\mu }=\left(I,-{\vec {\sigma }}\right)}$2つの形式はパリティ変換によって関連付けられています。注意してください。${\displaystyle {\overline {\sigma }}_{\mu }=\sigma ^{\mu }}$⁠ .

ローレンツ変換が与えられた場合${\displaystyle x^{\mu }\mapsto x^{\prime \mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }}$⁠ 、上記のS ∈ SL(2, C )による直交ローレンツ群の二重被覆は次のように書ける。

${\displaystyle x^{\prime \mu }{\overline {\sigma }}_{\mu }={\overline {\sigma }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }=Sx^{\nu }{\overline {\sigma }}_{\nu }S^{\dagger }}$

落とす${\displaystyle x^{\mu }}$これは次の形式をとります

${\displaystyle {\overline {\sigma }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=S{\overline {\sigma }}_{\nu }S^{\dagger }}$

パリティ共役形は

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

シンプレクティック群Sp(2, C )はSL(2, C )と同型である。この同型は、 C ²上のシンプレクティック双線形形式を保存するように、すなわち、ローレンツ変換の下で形式を不変に保つように構成されている。これは次のように表現できる。シンプレクティック群は次のように定義される。

${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbf {C} )=\left\{S\in \operatorname {GL} (2,\mathbf {C} ):S^{\textsf {T}}\omega S=\omega \right\}}$

どこ

${\displaystyle \omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}$

その他の一般的な表記法は次のとおりです。${\displaystyle \omega =\epsilon }$この要素については、Jが使用されることもありますが、これは、変換の仕方が異なるため同じではない、ほぼ複雑な構造という概念との混同を招く可能性があります。

一対のワイルスピノル（2成分スピノル）が与えられた場合

${\displaystyle u={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{bmatrix}}~,\quad v={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}}$

不変双線形形式は慣例的に次のように記述される。

${\displaystyle \langle u,v\rangle =-\langle v,u\rangle =u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}=u^{\textsf {T}}\omega v}$

この形式はローレンツ群の下で不変であるため、S ∈ SL(2, C )に対して次の式が成り立つ。

${\displaystyle \langle Su,Sv\rangle =\langle u,v\rangle }$

これはスピノルの「スカラー積」の一種を定義するもので、ラグランジアンにおけるローレンツ不変質量項を定義するためによく用いられます。物理学にとって重要な注目すべき性質がいくつかあります。その一つは、${\displaystyle \omega ^{2}=-1}$など${\displaystyle \omega ^{-1}=\omega ^{\textsf {T}}=\omega ^{\dagger }=-\omega }$

定義関係は次のように書ける。

${\displaystyle \omega S^{\textsf {T}}\omega ^{-1}=S^{-1}}$

これはローレンツ群の定義関係に非常によく似ている。

${\displaystyle \eta \Lambda ^{\textsf {T}}\eta ^{-1}=\Lambda ^{-1}}$

どこ${\displaystyle \eta =\operatorname {diag} (+1,-1,-1,-1)}$はミンコフスキー空間の計量テンソルであり、もちろん、${\displaystyle \Lambda \in \operatorname {SO} (1,3)}$以前と同様。

SL(2, C )の楕円要素は

${\displaystyle P_{1}={\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {i}{2}}\theta \right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {i}{2}}\theta \right)\end{bmatrix}}}$

そして、 ξ = 0, ∞という固定点を持つ。作用をX ↦ P ₁ X P ₁ ^†と書き、項をまとめると、スピノル写像はこれを（制限付き）ローレンツ変換に変換する。

${\displaystyle Q_{1}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&\sin(\theta )&0\\0&-\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\right)~.}$

この変換は、 z軸を中心とした回転、exp( iθJ _z ) を表します。生成される1パラメータ部分群は、θを定数ではなく回転角である実変数とすることで得られます。

天球の対応する連続変換（恒等変換を除く）はすべて、北極と南極という同じ2つの固定点を共有しています。これらの変換は、他のすべての点を緯度円の周りを移動させるため、このグループはθが増加するにつれてz軸を中心とした連続的な反時計回りの回転を生み出します。スピノルマップに見られる角度の倍増は、スピノル二重被覆の特徴的な性質です。

SL(2, C )の双曲要素は

${\displaystyle P_{2}={\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {\eta }{2}}\right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {\eta }{2}}\right)\end{bmatrix}}}$

そして、 ξ = 0、∞という固定点を持つ。リーマン球面からユークリッド平面への立体射影の下では、このメビウス変換の効果は原点からの拡大となる。

スピノル写像はこれをローレンツ変換に変換する。

${\displaystyle Q_{2}={\begin{bmatrix}\cosh(\eta )&0&0&\sinh(\eta )\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh(\eta )&0&0&\cosh(\eta )\end{bmatrix}}=\exp \left(\eta {\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}\right)~.}$

この変換は、 z軸に沿った速度ηのブーストを表します。この変換によって生成される1パラメータ部分群は、ηを定数ではなく実変数とすることで得られます。天球の対応する連続変換（恒等変換を除く）はすべて同じ固定点（北極と南極）を共有し、経度に沿って他のすべての点を南極から北極に向かって移動させます。

SL(2, C )のロクソドロミック要素は

${\displaystyle P_{3}=P_{2}P_{1}=P_{1}P_{2}={\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {1}{2}}(\eta +i\theta )\right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {1}{2}}(\eta +i\theta )\right)\end{bmatrix}}}$

そして、 ξ = 0, ∞という固定点を持つ。スピノル写像はこれをローレンツ変換に変換する。

${\displaystyle Q_{3}=Q_{2}Q_{1}=Q_{1}Q_{2}={\begin{bmatrix}\cosh(\eta )&0&0&\sinh(\eta )\\0&\cos(\theta )&\sin(\theta )&0\\0&-\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\\sinh(\eta )&0&0&\cosh(\eta )\end{bmatrix}}=\exp {\begin{bmatrix}0&0&0&\eta \\0&0&\theta &0\\0&-\theta &0&0\\\eta &0&0&0\end{bmatrix}}~.}$

この方法で生成される1パラメータ部分群は、η + i θ をこの複素定数の任意の実数倍に置き換えることによって得られます。（ηとθ が独立に変化する場合は、z軸を中心とした同時回転とz軸に沿ったブーストからなる2次元アーベル部分群が得られます。これに対し、ここで議論する1次元部分群は、ブーストの速さと回転の角度の比率が固定されているような、この2次元部分群の要素から構成されます。）

天球の対応する連続変換（恒等変換を除く）はすべて、同じ2つの固定点（北極と南極）を共有します。これらの変換は、他のすべての点を南極から遠ざけ、北極に近づける（またはその逆）ように、ロクソドロームと呼ばれる曲線群に沿って移動させます。各ロクソドロームは、それぞれの極の周りを無限回螺旋状に回ります。

SL(2, C )の放物線要素は

${\displaystyle P_{4}={\begin{bmatrix}1&\alpha \\0&1\end{bmatrix}}}$

そして、リーマン球面上に唯一の固定点ξ = ∞を持つ。立体投影では、実軸に沿った通常の平行移動として現れる。

スピノル写像はこれを行列（ローレンツ変換を表す）に変換する。

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{4}&={\begin{bmatrix}1+{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&-{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}\\\operatorname {Re} (\alpha )&1&0&-\operatorname {Re} (\alpha )\\-\operatorname {Im} (\alpha )&0&1&\operatorname {Im} (\alpha )\\{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&1-{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=\exp {\begin{bmatrix}0&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&0\\\operatorname {Re} (\alpha )&0&0&-\operatorname {Re} (\alpha )\\-\operatorname {Im} (\alpha )&0&0&\operatorname {Im} (\alpha )\\0&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&0\end{bmatrix}}~.\end{aligned}}}$

これにより、 αを定数ではなく複素変数とみなすことで得られる2パラメータアーベル部分群が生成されます。天球の対応する連続変換（恒等変換を除く）は、北極で特定の大円に接する円の族に沿って点を移動させます。北極自体以外のすべての点は、これらの円に沿って移動します。

放物線型ローレンツ変換は、しばしばヌル回転と呼ばれます。これらは、4種類の非恒等ローレンツ変換（楕円型、双曲型、等角航路型、放物線型）の中で最も馴染みの薄いものと思われるため、ここでは放物線型ローレンツ変換の例がミンコフスキー時空に及ぼす影響をどのように判定するかを説明します。

上記の行列は変換を与える。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}+\operatorname {Re} (\alpha )\;{\begin{bmatrix}x\\t-z\\0\\x\end{bmatrix}}-\operatorname {Im} (\alpha )\;{\begin{bmatrix}y\\0\\z-t\\y\end{bmatrix}}+{\frac {\vert \alpha \vert ^{2}}{2}}\;{\begin{bmatrix}t-z\\0\\0\\t-z\end{bmatrix}}.}$

ここで、一般性を失うことなく、Im( α ) = 0とします。この変換を、実数群パラメータαに関して微分し、 α = 0で評価すると、対応するベクトル場 (1 階線形偏微分演算子) が得られます。

${\displaystyle x\,\left(\partial _{t}+\partial _{z}\right)+(t-z)\,\partial _{x}.}$

これを関数f ( t , x , y , z )に適用し、不変であることを要求する。つまり、この変換によって消滅する。結果として得られる一次線形偏微分方程式の解は、次の形式で表すことができる。

${\displaystyle f(t,x,y,z)=F\left(y,\,t-z,\,t^{2}-x^{2}-z^{2}\right),}$

ここで、Fは任意の滑らかな関数です。F の引数は、点(イベント) がこの放物線変換の下でどのように移動するかを記述する3 つの有理不変量を与えます。点 (イベント) 自体は移動しません。

${\displaystyle y=c_{1},~~~~t-z=c_{2},~~~~t^{2}-x^{2}-z^{2}=c_{3}.}$

右辺の定数に実数値を指定すると、3つの条件が得られ、それによってミンコフスキー時空における曲線が特定される。この曲線は変換の軌道である。

有理不変量の形式から、これらの流れ線（軌道）は単純な記述で表せることがわかる。すなわち、不要な座標 y を省略すると、各軌道はヌル平面 t = z + c 2_と双曲面t 2 ⁻ x ² − z ² = c ₃の交点となる。c 3 = 0の場合_、双曲面は光円錐に退化し、軌道は対応するヌル平面上にある放物線となる。

光円錐上にある特定のヌル線は不変のままです。これは、前述のリーマン球面上の唯一の（二重）固定点に対応します。原点を通る他のヌル線は、変換によって「円錐の周りを回転」します。αが増加するにつれて、そのようなヌル線の1つの動きを追跡することは、前述のように、天球上の円形流線に沿った点の動きを追跡することに対応します。

代わりにRe( α ) = 0を選択すると、 xとyの役割が入れ替わった同様の軌道が生成されます。

放物線変換は、ヘリシティ| h | ≥ 1の質量のない粒子 (光子 など)のゲージ対称性をもたらします。上記の具体的な例では、 z方向に運動する質量のない粒子 (4 次元運動量P = ( p , 0, 0, p )は、その運動の「小群」において、以下で定義されるxブーストとy回転の組み合わせK _x − J _yの影響を全く受けません。これは、議論した具体的な変換法則から明らかです。任意の光のようなベクトルと同様に、P自体は不変です。つまり、αの痕跡や影響はすべて消えています。議論した特殊なケースでは、 c ₁ = c ₂ = c ₃ = 0となります。(他の同様の生成子K _y + J _xと、それとJ _{z は}、 E (2)と同型な光のようなベクトルの小群を構成します。)

この同型性により、リーマン球面のメビウス変換は、ローレンツ変換が「固定星」に対して相対論的速度で移動する観測者から見た夜空の見え方を変化させる方法を表すことになる。

仮に「恒星」がミンコフスキー時空に存在し、天球上の点によってモデル化されるとします。すると、天球上の特定の点は、リーマン球面上の点に対応する複素数ξ = u + ivと関連付けられ、ミンコフスキー空間におけるヌルベクトル（光のようなベクトル）と同一視できます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u^{2}+v^{2}+1\\2u\\-2v\\u^{2}+v^{2}-1\end{bmatrix}}}$

または、ワイル表現（スピノル写像）では、エルミート行列

${\displaystyle N=2{\begin{bmatrix}u^{2}+v^{2}&u+iv\\u-iv&1\end{bmatrix}}.}$

この零ベクトルの実数スカラー倍の集合は、原点を通る零線と呼ばれ、特定の場所と時間（ミンコフスキー時空の原点と同一視できる任意の事象）にいる観測者から、星などの様々な遠方の物体への視線を表します。そして、天球上の点（あるいは視線）は、特定のエルミート行列と同一視されます。

標準基底行列は次のようにインデックス付けできます。${\displaystyle M^{\mu \nu }}$どこ${\displaystyle \mu ,\nu }$値は{0, 1, 2, 3}のいずれかになります。これらは、${\displaystyle a,b,\cdots ,f}$1 と 0 を順に割り当てます。コンポーネントは次のように記述できます。

${\displaystyle {(M^{\mu \nu })^{\rho }}_{\sigma }=\eta ^{\nu \sigma }{\delta ^{\rho }}_{\mu }-\eta ^{\mu \sigma }{\delta ^{\rho }}_{\nu }}$。

交換関係は

${\displaystyle [M^{\mu \nu },M^{\rho \sigma }]=M^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }-M^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+M^{\nu \rho }\eta ^{\mu \sigma }-M^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }.}$

慣例にはさまざまな選択肢がある。物理学では、係数を含めるのが一般的である。${\displaystyle i}$基本要素を用いると、${\displaystyle i}$交換関係において。

それから${\displaystyle M^{0i}}$ブーストを生成し、${\displaystyle M^{ij}}$回転を生成する。

ローレンツ代数の構造定数は、交換関係から読み取ることができる。これらの関係を満たす任意の基底要素の集合は、ローレンツ代数の表現を構成する。

ローレンツ群はR ⁴の微分同相群の部分群と考えることができ、したがってそのリー代数はR ⁴上のベクトル場と同一視できる。特に、空間上で等長変換を生成するベクトルはキリングベクトルであり、これはリー代数を計算するための左不変ベクトル場の便利な代替手段となる。6 つの生成元を書き出すことができる。

• R ⁴上のベクトル場は3 つの回転i Jを生成します。

  ${\displaystyle -y\partial _{x}+x\partial _{y}\equiv iJ_{z}~,\qquad -z\partial _{y}+y\partial _{z}\equiv iJ_{x}~,\qquad -x\partial _{z}+z\partial _{x}\equiv iJ_{y}~;}$

• R ⁴上のベクトル場が3 つのブーストi Kを生成します。

  ${\displaystyle x\partial _{t}+t\partial _{x}\equiv iK_{x}~,\qquad y\partial _{t}+t\partial _{y}\equiv iK_{y}~,\qquad z\partial _{t}+t\partial _{z}\equiv iK_{z}.}$

係数iは、回転の生成子がエルミートであることを保証しているように思われる。

ここで、1階線形偏微分演算子の形式で記述されたベクトル場から1パラメータ群を取得する方法を簡単に思い出しておくと役立つかもしれません。

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-y\partial _{x}+x\partial _{y}.}$

対応する初期値問題（${\displaystyle r=(x,y)}$スカラーの関数${\displaystyle \lambda }$そして解決する${\displaystyle \partial _{\lambda }r={\mathcal {L}}r}$いくつかの初期条件付きで）

${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=-y,\;{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}=x,\;x(0)=x_{0},\;y(0)=y_{0}.}$

解は次のように書ける

${\displaystyle x(\lambda )=x_{0}\cos(\lambda )-y_{0}\sin(\lambda ),\;y(\lambda )=x_{0}\sin(\lambda )+y_{0}\cos(\lambda )}$

または

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\lambda )&-\sin(\lambda )&0\\0&\sin(\lambda )&\cos(\lambda )&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t_{0}\\x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\end{bmatrix}}}$

ここで、z軸を中心とした回転の1パラメータ行列群exp( iλJ _z )を容易に認識できます。

群パラメータλに関して微分し、その結果をλ =0とすると、標準行列が復元される。

${\displaystyle iJ_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}~,}$

これは、最初に用いたベクトル場に対応します。これは、リー代数の要素の行列表現とベクトル場表現の間をどのように変換するかを示しています。指数写像は、ローレンツ群だけでなく、一般のリー群においてもこの特別な役割を果たします。

前のセクションの手順を逆に行うと、6 つのジェネレーターに対応するメビウス変換は、それぞれη /2 (3 つのブーストの場合) またはiθ /2 (3 つの回転の場合) を 3 つのパウリ行列に掛けて指数関数化することによって得られることがわかります。

${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\;\;\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},\;\;\sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.}$

別の生成セットは、メビウス群への同型写像によって生じます。次の表は、6 つの生成元を示しています。

• 最初の列は、メビウス作用による流れの生成子（リーマン球面からの立体投影後）をユークリッド平面上の実ベクトル場として示している。
• 2列目には、対応する1パラメータのメビウス変換の部分群が示されています。
• 3列目には、対応する1パラメータのローレンツ変換部分群（前の1パラメータ部分群の準同型写像による像）が示されています。
• 第4列には、ミンコフスキー時空上の実ベクトル場として、ローレンツ作用の下での流れの対応する生成子が示されている。

ジェネレーターは以下で構成されていることに注意してください。

• 2つの放物線（零回転）
• 双曲線（${\displaystyle \partial _{z}}$方向）
• 3つの楕円（それぞれx軸、y軸、z軸を中心とした回転）