キリングベクトルフィールド

数学において、キリング ベクトル場(キリング場とも呼ばれる) は、ヴィルヘルム キリングにちなんで名付けられ、計量を保存するリーマン多様体(または擬リーマン多様体)上のベクトル場です。キリング場は等長変換の無限小生成元です。つまり、キリング場によって生成されるフローはその多様体の連続等長変換です。簡単に言えば、フローは対称性を生成します。つまり、オブジェクトの各点をキリング ベクトルの方向に同じ距離移動しても、オブジェクト上の距離は変わりません。

具体的には、ベクトル場は、計量のリー微分がゼロである場合にキリング場となる：^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=0\,.}$

レヴィ＝チヴィタ接続に関して言えば、これは

${\displaystyle g\left(\nabla _{Y}X,Z\right)+g\left(Y,\nabla _{Z}X\right)=0\,}$

すべてのベクトルおよびに対してである。局所座標では、これはキリング方程式^{[2]に相当する。}${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \nabla _{\mu }X_{\nu }+\nabla _{\nu }X_{\mu }=0\,.}$

この条件は共変形式で表現されます。したがって、すべての座標系でこの条件が成立するようにするには、優先座標系でこの条件を確立するだけで十分です。

反時計回りを向き、各点で長さが同じである円上のベクトル フィールドは、キリング ベクトル フィールドです。これは、このベクトル フィールドに沿って円上の各点を移動すると、円が回転するだけだからです。

キリング ベクトル場の簡単な例は、ポアンカレ計量を備えた上半平面 上にあります。このペアは一般に双曲面と呼ばれ、キリング ベクトル場を持ちます(標準座標を使用)。共変微分は、ベクトル場によって生成された積分曲線 (そのイメージは x 軸に平行) に沿って計量を運ぶため、これは直感的に明らかです。 ${\displaystyle M=\mathbb {R} _{y>0}^{2}}$ ${\displaystyle g=y^{-2}\left(dx^{2}+dy^{2}\right)}$${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle \partial _{x}}$${\displaystyle \nabla _{\partial _{x}}g}$

さらに、このメトリックは、この記事の以下の結果のいずれかを使用して、それがキリング フィールドである とすぐに結論付けることができるものから独立しています。${\displaystyle x}$${\displaystyle \partial _{x}}$

上半平面モデルの等長変換群（または、恒等関数に連結された成分）は（ポアンカレ半平面モデルを参照）、他の2つのキリング場は上半平面上の生成子の作用を考慮することで導出できる。他の2つの生成キリング場は膨張と特殊共形変換である。 ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle D=x\partial _{x}+y\partial _{y}}$ ${\displaystyle K=(x^{2}-y^{2})\partial _{x}+2xy\partial _{y}}$

2次元球面、またはより一般的には-球面のキリング場は、通常の直感から明らかであるはずです。回転対称性を持つ球面は、任意の軸の周りの回転を生成するキリング場を持つはずです。つまり、 3D回転群SO(3)の作用下で対称性を持つと予想されます。つまり、球面をユークリッド空間に埋め込むことができるという事前の知識を使用することで、キリング場の形状をすぐに推測できます。 ${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle S^{2}}$

直交座標に埋め込まれた2次元球面の従来のチャートは次のように表される。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle x=\sin \theta \cos \phi ,\qquad y=\sin \theta \sin \phi ,\qquad z=\cos \theta }$

つまり、高さをパラメータ化し、軸周りの回転をパラメータ化します。 ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle z}$

標準直交座標の引き戻しにより、球面上の標準座標が得られる。 ${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$

${\displaystyle ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$。

直感的に、任意の軸の周りの回転は等長回転になるはずです。この図では、 -軸の周りの回転を生成するベクトル場は次のようになります。 ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \phi }}.}$

これらの座標では、メトリック成分はすべて から独立しており、 がキリング フィールドであることがわかります。 ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \partial _{\phi }}$

ベクトル場

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}}$

はキリング フィールドではありません。座標はメトリックに明示的に表示されます。によって生成される流れは北から南へ向かいます。北極のポイントは広がり、南極のポイントは集まります。ポイントを近づけたり遠ざけたりする変換は等長変換にはなりません。したがって、このような動きを生成するものはキリング フィールドにはなり得ません。 ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \partial _{\theta }}$

発電機は軸 周りの回転として認識される${\displaystyle \partial _{\phi }}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle Z=x\partial _{y}-y\partial _{x}=\sin ^{2}\theta \,\partial _{\phi }}$

2番目のジェネレータは、-軸周りの回転に対して、 ${\displaystyle x}$

${\displaystyle X=z\partial _{y}-y\partial _{z}}$

3番目のジェネレータは、-軸周りの回転に対して、 ${\displaystyle y}$

${\displaystyle Y=z\partial _{x}-x\partial _{z}}$

これら3つの生成子の線形結合によって与えられる代数は閉じており、次の関係に従う。

${\displaystyle [X,Y]=Z\quad [Y,Z]=X\quad [Z,X]=Y.}$

これがリー代数です。 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

とを球座標で 表すと、${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle X=\sin ^{2}\theta \,(\sin \phi \partial _{\theta }+\cot \theta \cos \phi \partial _{\phi })}$

そして

${\displaystyle Y=\sin ^{2}\theta \,(\cos \phi \partial _{\theta }-\cot \theta \sin \phi \partial _{\phi })}$

これら 3 つのベクトル場が実際にキリング場であることは、2 つの異なる方法で判断できます。1 つは明示的な計算です。と chug の明示的な式を代入するだけで、 であることがわかります。これは価値のある演習です。あるいは、とがユークリッド空間の等長変換の生成元であることを認識でき、球面上の距離はユークリッド空間の距離から継承されるため、等長変換も継承されます。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g={\mathcal {L}}_{Y}g={\mathcal {L}}_{Z}g=0.}$${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle Z}$

これら 3 つのキリング フィールドは、代数用の完全な生成子セットを形成します。これらは一意ではありません。つまり、これら 3 つのフィールドの任意の線形結合は、依然としてキリング フィールドです。

この例には注意すべき微妙な点がいくつかあります。

• 3 つの場は全体的にゼロではない。実際、場は北極と南極で消え、同様に赤道上の反対側でも消える。これを理解する 1 つの方法は、「毛玉定理」の結果として理解することである。この禿げた部分の性質は、カルタン分解における対称空間の一般的な性質である。多様体上の各点において、キリング場の代数は自然に 2 つの部分に分割され、1 つは多様体に接し、もう 1 つは (分解が行われる点で) 消える部分である。${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$
• 3 つのフィールドとの長さは単位ではありません。3 つの式すべてに現れる共通の因数で割ることで正規化できます。ただし、その場合、フィールドは滑らかではなくなります。たとえば、北極と南極では、フィールドは特異 (微分不可能) になります。${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$${\displaystyle \partial _{\phi }=X/\sin ^{2}\theta }$
• 3 つのフィールドは点ごとに直交していません。実際、任意の点において、接平面は 2 次元ですが、ベクトルは 3 つあるため、直交することはできません。球面上の任意の点が与えられた場合、 と の非自明な線形結合が存在し、これはゼロになります。これらの 3 つのベクトルは、その点における 2 次元接平面の過剰完全基底です。${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle Z}$
• 球はユークリッド空間に埋め込むことができ、したがってこの埋め込みからメトリックを継承するという事前知識は、予想されるキリング フィールドの正確な数に関する混乱した直感につながります。このような埋め込みがなければ、直感では、線形独立生成子の数は接線バンドルの次元よりも大きくならないと示唆される可能性があります。結局のところ、多様体上の任意の点を固定すると、接線方向にしか移動できません。2 球の接線バンドルの次元は 2 ですが、3 つのキリング フィールドが見つかります。繰り返しますが、この「驚き」は対称空間の一般的な特性です。

ミンコフスキー空間のキリングフィールドは、3つの空間変換、時間変換、3つの回転生成器（小群）および3つのブースト生成器である。これらは、

• 時間と空間の翻訳

  ${\displaystyle \partial _{t}~,\qquad \partial _{x}~,\qquad \partial _{y}~,\qquad \partial _{z}~;}$

• 3つの回転を生成するベクトル場（J生成器と呼ばれることが多い）

  ${\displaystyle -y\partial _{x}+x\partial _{y}~,\qquad -z\partial _{y}+y\partial _{z}~,\qquad -x\partial _{z}+z\partial _{x}~;}$

• 3つのブーストを生成するベクトル場、Kジェネレータ、

  ${\displaystyle x\partial _{t}+t\partial _{x}~,\qquad y\partial _{t}+t\partial _{y}~,\qquad z\partial _{t}+t\partial _{z}.}$

ブーストと回転によりローレンツ群が生成されます。これは時空変換とともにポアンカレ群のリー代数を形成します。

ここでは、一般的な平坦空間のキリング場を導出する。キリング方程式と共ベクトルのリッチ恒等式から、 ${\displaystyle K_{a}}$

${\displaystyle \nabla _{a}\nabla _{b}K_{c}-\nabla _{b}\nabla _{a}K_{c}=R^{d}{}_{cab}K_{d}}$

(抽象インデックス表記法を使用) がリーマン曲率テンソルである場合、キリング場 に対して次の恒等式が証明される可能性があります。 ${\displaystyle R^{a}{}_{bcd}}$${\displaystyle X^{a}}$

${\displaystyle \nabla _{a}\nabla _{b}X_{c}=R^{d}{}_{acb}X_{d}.}$

基底多様体が平坦空間、つまりユークリッド空間または擬ユークリッド空間（ミンコフスキー空間の場合）である場合、これらの座標系ではレヴィ・チヴィタ接続、したがってリーマン曲率がどこでも消えるような大域平坦座標を選ぶことができ、次の式が得られます。 ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \partial _{\mu }\partial _{\nu }X_{\rho }=0.}$

キリング方程式を積分して適用すると、一般解は次のよう に書ける。${\displaystyle X_{\rho }}$

${\displaystyle X^{\rho }=\omega ^{\rho \sigma }x_{\sigma }+c^{\rho }}$

ここで は反対称である。およびの適切な値を取ることで、平坦空間の等長変換の 一般化ポアンカレ代数の基底が得られる。${\displaystyle \omega ^{\mu \nu }=-\omega ^{\nu \mu }}$${\displaystyle \omega ^{\mu \nu }}$${\displaystyle c^{\rho }}$

${\displaystyle M_{\mu \nu }=x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\partial _{\mu }}$

${\displaystyle P_{\rho }=\partial _{\rho }.}$

これらはそれぞれ疑似回転（回転とブースト）と変換を生成します。直感的に、これらは各ポイントで（疑似）メトリックを保持します。

全次元の（擬）ユークリッド空間では、生成元は全部で存在し、平坦空間は最大対称となる。この数は最大対称空間の一般的な数である。最大対称空間は、平坦空間の部分多様体とみなすことができ、一定の固有距離の面として生じる。 ${\displaystyle n(n+1)/2}$

${\displaystyle \{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{p,q}:\eta (\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=\pm {\frac {1}{\kappa ^{2}}}\}}$

O( p ,  q )対称性を持ちます。部分多様体の次元が の場合、この対称性群は（リー群として）期待される次元を持ちます。 ${\displaystyle n}$

発見的に、キリング場代数の次元を導くことができます。 キリング方程式をの 2 階微分方程式のシステムとして恒等式とともに扱うことで、点 における初期データが与えられた場合、任意の点におけるの値を決定できます。 初期データはおよび を指定しますが、キリング方程式では共変微分が反対称であることを強制します。 全体として、これらは初期データの独立した値です。 ${\displaystyle \nabla _{a}X_{b}+\nabla _{b}X_{a}=0}$${\displaystyle \nabla _{a}\nabla _{b}X_{c}=R^{c}{}_{bad}X_{c}.}$${\displaystyle X_{a}}$${\displaystyle X_{a}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X_{a}(p)}$${\displaystyle \nabla _{a}X_{b}(p)}$${\displaystyle n^{2}-n(n-1)/2=n(n+1)/2}$

具体的な例としては、平坦空間 (ミンコフスキー空間) と最大対称空間 (球面、双曲空間) の例を以下で参照してください。

キリング場は、一般相対性理論における等長性（重力場によって歪んだ時空の幾何学を4 次元擬似リーマン多様体とみなす）を議論するために使用されます。時間とともに何も変化しない静的構成では、時間ベクトルはキリングベクトルになり、したがってキリング場は時間における前進方向を指します。たとえば、シュワルツシルト計量には 4 つのキリング場があります。計量は とは独立しているため、時間のようなキリング場です。他の 3 つは、上で説明した 3 つの回転生成子です。回転するブラックホールのカー計量には、時間のような場と、ブラックホールの回転軸の周りの回転を生成する場の 2 つのキリング場しかありません。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle \partial _{t}}$

ド・ジッター空間と反ド・ジッター空間は最大対称空間であり、それぞれの - 次元バージョンはキリング場を持ちます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$

ある座標基底における計量係数が座標の1つから独立している場合、 はキリングベクトルであり、 はクロネッカーデルタである。^[3]${\displaystyle g_{\mu \nu }\,}$${\displaystyle dx^{a}\,}$${\displaystyle x^{\kappa }\,}$${\displaystyle K^{\mu }=\delta _{\kappa }^{\mu }\,}$${\displaystyle \delta _{\kappa }^{\mu }\,}$

これを証明するには、 と仮定します。すると、${\displaystyle g_{\mu \nu },_{0}=0\,}$${\displaystyle K^{\mu }=\delta _{0}^{\mu }\,}$${\displaystyle K_{\mu }=g_{\mu \nu }K^{\nu }=g_{\mu \nu }\delta _{0}^{\nu }=g_{\mu 0}\,}$

さて、殺害条件を見てみましょう

${\displaystyle K_{\mu ;\nu }+K_{\nu ;\mu }=K_{\mu ,\nu }+K_{\nu ,\mu }-2\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }K_{\rho }=g_{\mu 0,\nu }+g_{\nu 0,\mu }-g^{\rho \sigma }(g_{\sigma \mu ,\nu }+g_{\sigma \nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,\sigma })g_{\rho 0}\,}$

とからなります。Killing条件は次のようになります。 ${\displaystyle g_{\rho 0}g^{\rho \sigma }=\delta _{0}^{\sigma }\,}$

${\displaystyle g_{\mu 0,\nu }+g_{\nu 0,\mu }-(g_{0\mu ,\nu }+g_{0\nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,0})=0\,}$

つまり、これは真です。 ${\displaystyle g_{\mu \nu ,0}=0}$

• 物理的な意味は、例えば、メトリック係数のいずれも時間の関数でない場合、多様体は自動的に時間のようなキリング ベクトルを持つ必要があるということです。
• 平たく言えば、物体が時間の経過とともに（時間が経過しても）変形または「進化」しない場合、時間の経過によって物体の大きさが変わることはありません。このように定式化すると、結果は同義語のように聞こえますが、この例は非常に不自然であることを理解する必要があります。キリング フィールドは、はるかに複雑で興味深いケースにも適用されます。

逆に、計量がキリング場 を許容する場合、 となる座標を構築できます。これらの座標は、が に接しないような超曲面を取ることによって構築されます。上の座標を取り、上のに基づくの積分曲線に沿ったパラメータを表す局所座標を定義します。これらの座標では、リー微分は座標微分に簡約され、次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {g} }$${\displaystyle X^{a}}$${\displaystyle \partial _{0}g_{\mu \nu }=0}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle X^{a}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle x^{i}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle (t,x^{i})}$${\displaystyle t}$${\displaystyle X^{a}}$${\displaystyle (x^{i})}$${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g_{\mu \nu }=\partial _{0}g_{\mu \nu }}$

そしてキリングフィールドの定義により、左側は消えます。

キリング フィールドは、ある点のベクトルとその勾配 (つまり、その点におけるフィールドの すべての共変微分) によって一意に決定されます。

2 つのキリング場のリー括弧は、やはりキリング場です。多様体M上のキリング場は、したがってM上のベクトル場のリー部分代数を形成します。これは、 Mが完備である場合、多様体の等長変換群のリー代数です。等長変換の推移群を持つリーマン多様体は、同次空間です。

コンパクトマニホールド 用

• 負のリッチ曲率は、非自明な (ゼロでない) キリング フィールドが存在しないことを意味します。
• 非正のリッチ曲率は、任意のキリング場が平行であることを意味します。つまり、任意のベクトル場に沿った共変微分は常にゼロです。
• 断面曲率が正で、 Mの次元が偶数の場合、キリング フィールドはゼロになります。

すべてのキリング ベクトル フィールドの 共変発散は消滅します。

がキリングベクトル場であり、が調和ベクトル場である場合、 は調和関数です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle g(X,Y)}$

がキリングベクトル場であり、が調和p形式である場合、${\displaystyle X}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =0\,.}$

各キリング ベクトルは、測地線に沿って保存される量に対応します。この保存量は、キリング ベクトルと測地線接線ベクトル間の距離積です。接線ベクトルを持つアフィン パラメータ化された測地線に沿って、キリング ベクトルが与えられると、量は保存されます。 ${\displaystyle U^{a}}$${\displaystyle X_{b}}$${\displaystyle U^{b}X_{b}}$

${\displaystyle U^{a}\nabla _{a}(U^{b}X_{b})=0}$

これは対称性を持つ時空における運動を解析的に研究するのに役立ちます。^[4]

保存された対称テンソル、つまり、応力エネルギーテンソルに典型的な性質である、およびを満たすテンソル、およびキリングベクトルが与えられた場合、次を満たす 保存量を構築することができる。${\displaystyle T^{ab}}$${\displaystyle T^{ab}=T^{ba}}$${\displaystyle \nabla _{a}T^{ab}=0}$${\displaystyle X_{b}}$${\displaystyle J^{a}:=T^{ab}X_{b}}$

${\displaystyle \nabla _{a}J^{a}=0.}$

上で述べたように、 2 つのキリング場のリー括弧は依然としてキリング場です。多様体上のキリング場は、多様体上のすべてのベクトル場のリー部分代数を形成します。点を選択すると、代数は2 つの部分に分解できます。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle M.}$${\displaystyle p\in M~,}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {h}}=\{X\in {\mathfrak {g}}:X(p)=0\}}$

そして

${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\{X\in {\mathfrak {g}}:\nabla X(p)=0\}}$

ここで は共変微分です。これら 2 つの部分は自明に交差しますが、一般に を分割することはありません。たとえば、 がリーマン同次空間である場合、がリーマン対称空間である場合に限り が成り立ちます。^[5]${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle M}$

直感的には、 の等長変換は局所的に全空間の部分多様体を定義し、キリング場はその部分多様体に沿って「スライド」する方法を示します。 等長変換は、その部分多様体の接空間を張ります。 接空間は、その点で効果的に作用する等長変換と同じ次元を持つ必要があります。 つまり、 が期待されます。しかし、一般に、キリング場の数は、その接空間の次元よりも大きくなります。 なぜそうなるのでしょうか。 答えは、「余分な」キリング場が冗長であるということです。 すべてを合わせると、これらの場は、選択された特定の点での接空間の過剰完備基底を提供します。 線形結合をその特定の点で消滅させることができます。 これは、2 球面上のキリング場の例で見られました。 3 つのキリング場があり、任意の特定の点で、2 つがその点での接空間を張り、3 つ目は他の 2 つの線形結合です。任意の2つを選択すると、残りの退化した線形結合が直交空間を定義します。${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle T_{p}N}$${\displaystyle T_{p}N\cong {\mathfrak {m}}~.}$${\displaystyle {\mathfrak {m}};}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}.}$

カルタン反転は、測地線の方向の鏡映または反転として定義されます。その微分は、測地線への接線の方向を反転します。これはノルム 1 の線形演算子であり、固有値 +1 と -1 の 2 つの不変部分空間を持ちます。これらの 2 つの部分空間は、それぞれとに対応します。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}},}$

これをより正確に表すことができる。点を固定して、を通る測地線を考える。このとき、反転は次のように定義される。 ${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \to M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \gamma (0)=p~.}$ ${\displaystyle \sigma _{p}}$

${\displaystyle \sigma _{p}(\gamma (\lambda ))=\gamma (-\lambda )}$

この地図は反転であり、キリング フィールドに沿った測地線に限定すると、明らかに等長地図でもあります。一意に定義されます。 ${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=1~.}$

キリングフィールドによって生成される等長変換の群を とする。定義される 関数は${\displaystyle G}$${\displaystyle s_{p}:G\to G}$

${\displaystyle s_{p}(g)=\sigma _{p}\circ g\circ \sigma _{p}=\sigma _{p}\circ g\circ \sigma _{p}^{-1}}$

は の準同型である。その無限小は ${\displaystyle G}$${\displaystyle \theta _{p}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \theta _{p}(X)=\left.{\frac {d}{d\lambda }}s_{p}\left(e^{\lambda X}\right)\right|_{\lambda =0}}$

カルタン反転はリー代数準同型であり、

${\displaystyle \theta _{p}[X,Y]=\left[\theta _{p}X,\theta _{p}Y\right]}$

に対して の 部分空間はカルタン反転の下で奇偶性を持ち、一方 は偶偶 性を持つ。つまり、点 におけるカルタン反転を と表記すると、${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}~.}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle \theta _{p}}$

${\displaystyle \left.\theta _{p}\right|_{\mathfrak {m}}=-Id}$

そして

${\displaystyle \left.\theta _{p}\right|_{\mathfrak {h}}=+Id}$

ここでは恒等写像である。このことから、部分空間はのリー部分代数であり、 となる。 これらは偶奇パリティ部分空間なので、リー括弧は分割され、 となる 。 ${\displaystyle Id}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle [{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}}]\subset {\mathfrak {h}}~.}$${\displaystyle [{\mathfrak {h}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle [{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {h}}~.}$

上記の分解は対称空間のすべての点で成り立ちます。証明はJostにあります。^[6]これらはより一般的な設定でも成り立ちますが、多様体のすべての点で必ずしも成り立つわけではありません。^[要出典]${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle M}$

対称空間の特殊なケースでは、キリング場が対称空間の接空間全体に広がることが明示的に成り立ちます。同様に、曲率テンソルは局所対称空間上で共変定数であるため、局所的に平行化できます。これがカルタン・アンブローズ・ヒックスの定理です。 ${\displaystyle T_{p}M\cong {\mathfrak {m}};}$

• キリング ベクトル場は、何らかのスカラーに対して によって定義される共形キリング ベクトル場へと一般化できます。共形写像の 1 つのパラメータ族の導関数は、共形キリング場です。${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g\,}$${\displaystyle \lambda .}$
• キリングテンソル場は対称テンソル場Tであり、対称化のトレースフリー部分が消滅する。キリングテンソルを持つ多様体の例としては、回転ブラックホールやFRW宇宙論などがある。^[7]${\displaystyle \nabla T\,}$
• キリングベクトル場は、等長写像群の代わりに任意のリー群G を作用させると、任意の多様体M （計量なしでも可）上で定義することもできます。 ^{[8]このより広い意味では、キリングベクトル場は、群作用による}G上の右不変ベクトル場の押し出しです。群作用が有効であれば、キリングベクトル場の空間はGの リー代数と同型です。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• アフィンベクトル場
• 曲率共線
• 相似ベクトル場
• 殺害形態
• キリングホライズン
• スピノールを殺す
• 物質の共線性
• 時空の対称性