因果構造

数理物理学では、ローレンツ多様体の因果構造は多様体内の点間の 因果関係を記述します。

現代物理学（特に一般相対性理論）では、時空はローレンツ多様体によって表現されます。多様体内の点間の因果関係は、時空内のどのイベントが他のどのイベントに影響を与えるかを記述するものと解釈されます。

任意の（曲がっている可能性のある）ローレンツ多様体の因果構造は、曲率の存在によってさらに複雑になります。このような多様体の因果構造の議論は、点のペアを結ぶ滑らかな 曲線の観点から表現する必要があります。曲線の接線ベクトルの条件によって因果関係が定義されます。

がローレンツ多様体（多様体上の計量）である場合、多様体の各点における非ゼロの接ベクトルは 3 つの互いに素なタイプに分類できます。接ベクトルは次のとおりです。 ${\displaystyle \,(M,g)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$

• 時間的に${\displaystyle \,g(X,X)<0}$
• nullまたはlightlikeの場合${\displaystyle \,g(X,X)=0}$
• 宇宙的な場合${\displaystyle \,g(X,X)>0}$

ここでは、計量シグネチャを使用します。接線ベクトルがヌルまたは時間的である場合、 その接線ベクトルは非空間的であると言います。${\displaystyle (-,+,+,+,\cdots )}$

標準的なローレンツ多様体はミンコフスキー時空であり、ここでは平坦なミンコフスキー計量です。接ベクトルの名前は、このモデルの物理的性質に由来しています。ミンコフスキー時空内の点間の因果関係は、接空間も であるため、特に単純な形をとり、したがって接ベクトルを空間内の点と同一視することができます。4 次元ベクトルはの符号に従って分類されます。ここで は3 次元空間の直交座標、は普遍的な速度制限を表す定数、は時間です。空間内の任意のベクトルの分類は、計量の不変性のため、ローレンツ変換によって関連付けられるすべての参照フレームで同じになります(ただし、一般的なポアンカレ変換では、原点が移動する可能性があるため同じではありません)。 ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle X=(t,r)}$${\displaystyle g(X,X)=-c^{2}t^{2}+\|r\|^{2}}$${\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle t}$

時間的接線の各点において、その点の接線空間内のベクトルは 2 つのクラスに分けられます。これを行うには、まず時間的接線ベクトルのペアに同値関係を定義します。 ${\displaystyle M}$

および が点における 2 つの時間的接ベクトルである場合、 のとき、 と は同値 ( と表記)であると言えます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X\simY}$${\displaystyle \,g(X,Y)<0}$

すると、その点におけるすべての時間的接線ベクトルを含む2 つの同値類が存在する。これらの同値類の 1 つを (任意に)未来向き、もう 1 つを過去向きと呼ぶことができる。物理的には、未来向きおよび過去向きの時間的ベクトルの 2 つのクラスのこの指定は、その点における時間の矢印の選択に対応する。未来向きおよび過去向きの指定は、連続性によって点におけるヌル ベクトルに拡張できる。

ロレンツ多様体は、非空間的ベクトルに対して未来方向と過去方向の連続的な指定が多様体全体にわたって行える場合、 時間方向に向いている^{[1] 。}

内の経路は、 が 内の非退化区間（つまり、複数の点を含む連結集合）である連続写像です。滑らかな経路は適切な回数（通常は）微分可能であり、規則的な経路は導関数がゼロではないです。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \mu :\Sigma \to M}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle C^{\infty}}$

の曲線はパスの像、またはより正確には、再パラメータ化、つまりの同相写像または微分同相写像によって関連付けられたパス像の同値類です。 が時間有向である場合、パラメータの変化が単調 であることが要求されるなら、曲線は有向です。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle M}$

滑らかな正規曲線（またはパス）は、接線ベクトルに応じて分類できます。このような曲線は ${\displaystyle M}$

• 曲線上のすべての点で接線ベクトルが時間的である場合、時系列（または時間的）である。世界線とも呼ばれる。^[2]
• 曲線のすべての点で接線ベクトルが null の場合はnullです。
• 曲線のすべての点で接線ベクトルが空間的である場合、空間的になります。
• 曲線のすべての点で接線ベクトルが時間的またはヌルである場合、因果的（または非空間的）になります。

の正則性と非退化性の要件は、閉じた因果曲線（単一の点からなる曲線など）がすべての時空によって自動的に許容されないことを保証します。 ${\displaystyle \Sigma }$

多様体が時間的に方向付け可能である場合、非空間的曲線は時間に関する方向に応じてさらに分類できます。

時系列、ヌル、因果曲線は ${\displaystyle M}$

• 曲線上のすべての点について、接線ベクトルが未来方向に向いている場合、未来方向に向いています。
• 曲線上のすべての点について、接線ベクトルが過去方向である場合、過去方向です。

これらの定義は因果的（時系列またはヌル）曲線にのみ適用されます。これは、時間的またはヌル接線ベクトルにのみ時間に関する方向を割り当てることができるためです。

• 閉じた時間的曲線は、どこでも未来指向の時間的（またはどこでも過去指向の時間的）である閉じた曲線です。
• 閉じたヌル曲線は、どこでも未来指向ヌル（またはどこでも過去指向ヌル）である閉じた曲線です。
• 閉じたヌル測地線の周りのアフィンパラメータの変化率の比のホロノミーは、赤方偏移係数です。

多様体 内の点との間にはいくつかの因果関係があります。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle x}$ からまでの未来に向かう時系列（時間的）曲線が存在する場合、 は時系列的に先行します（ と表記されることが多い） 。${\displaystyle y}$${\displaystyle \,x\ll y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$
• ${\displaystyle x}$ からへの未来に向かう因果曲線（非空間的）が存在する場合、 は厳密に因果的に先行します（ と表記されることが多い） 。${\displaystyle y}$${\displaystyle x<y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$
• ${\displaystyle x}$ が厳密に因果的にまたはに先行する場合、 は因果的に(または と表記されることが多い)に先行します。${\displaystyle y}$${\displaystyle x\prec y}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x=y}$
• ${\displaystyle x}$ horismos ^[3]（またはと表記されることが多い）またはからへの未来指向のヌル曲線が存在する場合（または 同等に、および） ^[4]。${\displaystyle y}$${\displaystyle x\to y}$${\displaystyle x\nearrow y}$${\displaystyle x=y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x\prec y}$${\displaystyle x\not \ll y}$

これらの関係は次の特性を満たします。

• ${\displaystyle x\ll y}$を意味する（これは定義から自明である）^[5]${\displaystyle x\prec y}$
• ${\displaystyle x\ll y}$^は[5]を意味する。${\displaystyle y\prec z}$${\displaystyle x\ll z}$
• ${\displaystyle x\prec y}$^は[5]を意味する。${\displaystyle y\ll z}$${\displaystyle x\ll z}$
• ${\displaystyle \ll}$、、は推移的である。^[5]は推移的ではない。^[6]${\displaystyle <}$${\displaystyle \prec}$ ${\displaystyle \to}$
• ${\displaystyle \prec}$、反射的である^[4]${\displaystyle \to}$

多様体上の点に対して^[5]を定義する。${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$

• の時系列未来は、が時系列的に先行する内の点すべての集合として表されます。${\displaystyle x}$${\displaystyle \,I^{+}(x)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle \,I^{+}(x)=\{y\in M|x\ll y\}}$

• の過去は、 がより前となる内の点すべての集合として表されます。${\displaystyle x}$${\displaystyle \,I^{-}(x)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \,I^{-}(x)=\{y\in M|y\ll x\}}$

同様に定義する

• の因果的未来（絶対未来とも呼ばれる）は、 が因果的に に先行するような内のすべての点の集合として表されます。${\displaystyle x}$${\displaystyle \,J^{+}(x)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle \,J^{+}(x)=\{y\in M|x\prec y\}}$

• の因果過去（絶対過去とも呼ばれる）は、 が因果的に に先行するような内のすべての点の集合として表されます。${\displaystyle x}$${\displaystyle \,J^{-}(x)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \,J^{-}(x)=\{y\in M|y\prec x\}}$

• の将来のヌル円錐は、となる 内のすべての点の集合として表されます。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x\to y}$
• の過去のヌル錐は、となる 内のすべての点の集合として表されます。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M}$${\displaystyle y\to x}$
• の光円錐は、未来と過去のヌル円錐を合わせたものである。^[7]${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$
• 他の場所では、光円錐、因果的未来、因果的過去にない点として。^[7]

たとえば、に含まれる点には、未来に向かう時間的曲線によって から到達できます。 点には、たとえば、 に含まれる点から未来に向かう非空間的曲線によって到達できます。 ${\displaystyle \,I^{+}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \,J^{-}(x)}$

ミンコフスキー時空では、集合はにおける未来の光円錐の内部です。集合は、円錐自体も含めた における完全な未来の光円錐です。${\displaystyle \,I^{+}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \,J^{+}(x)}$${\displaystyle x}$

の すべての に対して定義されたこれらの集合は、まとめての因果構造と呼ばれます。 ${\displaystyle \,I^{+}(x),I^{-}(x),J^{+}(x),J^{-}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

のサブセットに対して^[5]を定義する。${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle I^{\pm }[S]=\bigcup _{x\in S}I^{\pm }(x)}$

${\displaystyle J^{\pm }[S]=\bigcup _{x\in S}J^{\pm }(x)}$

の2つの部分集合について定義する ${\displaystyle S,T}$${\displaystyle M}$

• に対するの時系列未来${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$、はの部分多様体として考えられたの時系列未来です。これは とは全く異なる概念であることに注意して下さい。は から始まる未来志向の時間的曲線によって到達できる の点の集合を与えます。最初のケースでは曲線は になければなりませんが、2 番目のケースでは にありません。Hawking と Ellis を参照してください。${\displaystyle I^{+}[S;T]}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle I^{+}[S]\cap T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$
• に対するの因果的未来${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$、は、の部分多様体として考えられたの因果的未来です。これは、から始まる未来指向因果曲線によって到達できる 内の点の集合を与える とはまったく異なる概念であることに注意してください。最初のケースでは曲線は 内にある必要がありますが、2 番目のケースではそうではありません。Hawking と Ellis を参照してください。${\displaystyle J^{+}[S;T]}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle J^{+}[S]\cap T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$
• 未来集合は時系列未来に関して閉じた集合です。
• 過去集合は時系列過去で閉じた集合です。
• 分解不可能な過去集合( IP) は、2 つの異なる開いた過去の適切な部分集合の和集合ではない過去集合です。
• 内のどの点の過去とも一致しない IP は、終端分解不可能な過去集合(TIP)と呼ばれます。${\displaystyle M}$
• 適切な分解不可能な過去集合( PIP) は、TIP ではない IP です。は、適切な分解不可能な過去集合 (PIP) です。${\displaystyle I^{-}(x)}$
• の未来のコーシー展開は、を通る過去の有向延長不可能な因果曲線のすべてが少なくとも 1 回交差するすべての点の集合です。過去のコーシー展開についても同様です。コーシー展開は、未来のコーシー展開と過去のコーシー展開の和集合です。コーシー展開は、決定論の研究にとって重要です。${\displaystyle S}$${\displaystyle D^{+}(S)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$
• となるようなが存在しないとき、または同等に、が と互いに素であるとき、サブセットは非時的である。${\displaystyle S\subset M}$${\displaystyle q,r\in S}$${\displaystyle r\in I^{+}(q)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle I^{+}[S]}$

• コーシー面は、コーシー展開が である閉じた非時的集合です。${\displaystyle M}$
• 計量は、コーシー面によって葉状化できる場合、大域的に双曲的です。
• 年代順守違反集合は、閉じた時間的曲線が通過する点の集合です。
• 因果律違反集合は、閉じた因果曲線が通過する点の集合です。
• 因果律を破る集合の境界はコーシー地平線です。コーシー地平線が閉じたヌル測地線によって生成される場合、それぞれに赤方偏移係数が関連付けられます。
• 因果曲線 の場合、因果ダイヤモンドは（ここでは、曲線が単なる点の集合である緩い定義の「曲線」を使用しています）、の因果過去の点です。言葉で言うと、粒子の世界線の因果ダイヤモンドは、のある点の過去と のある点の未来の両方にあるすべてのイベントの集合です。離散バージョンでは、因果ダイヤモンドはから に接続するすべての因果パスの集合です。${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle J^{+}(\gamma (t_{1}))\cap J^{-}(\gamma (t_{2}))}$${\displaystyle \gamma (t_{1})}$${\displaystyle \gamma (t_{2})}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma (t_{2})}$${\displaystyle \gamma (t_{1})}$

ペンローズ（1972）p13を参照。

• 点が内にある場合、かつ が内にある場合に限ります。${\displaystyle x}$${\displaystyle \,I^{-}(y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \,I^{+}(x)}$
• ${\displaystyle x\prec y\implies I^{-}(x)\subset I^{-}(y)}$
• ${\displaystyle x\prec y\implies I^{+}(y)\subset I^{+}(x)}$
• ${\displaystyle I^{+}[S]=I^{+}[I^{+}[S]]\subset J^{+}[S]=J^{+}[J^{+}[S]]}$
• ${\displaystyle I^{-}[S]=I^{-}[I^{-}[S]]\subset J^{-}[S]=J^{-}[J^{-}[S]]}$
• horismos はヌル測地線合同によって生成されます。

位相特性:

• ${\displaystyle I^{\pm }(x)}$は、 のすべてのポイントでオープンしています。${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]}$すべてのサブセットに対してオープンです。${\displaystyle S\subset M}$
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]=I^{\pm }[{\overline {S}}]}$すべての部分集合 に対して です。これが部分集合 の閉包です。${\displaystyle S\subset M}$${\displaystyle {\overline {S}}}$${\displaystyle S}$
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]\subset {\overline {J^{\pm }[S]}}}$

2つの計量とは、共形因子と呼ばれる実関数 に対して共形関係にある^[8]。(共形写像 を参照)。 ${\displaystyle \,g}$${\displaystyle {\hat {g}}}$${\displaystyle {\hat {g}}=\Omega ^{2}g}$${\displaystyle \Omega }$

どの接ベクトルが時間的、ヌル、空間的であるかの定義を見ると、またはを使用してもそれらは変わらないことがわかります。例として、 が計量に関する時間的接ベクトルであるとします。これは であることを意味します。すると となり、もに関する時間的接ベクトルとなります。 ${\displaystyle \,g}$${\displaystyle {\hat {g}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \,g}$${\displaystyle \,g(X,X)<0}$${\displaystyle {\hat {g}}(X,X)=\Omega ^{2}g(X,X)<0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\hat {g}}}$

このことから、ローレンツ多様体の因果構造は共形変換の影響を受けないことがわかります。

ヌル測地線は、等角再スケーリングの下で​​もヌル測地線のままです。

無限計量は、無限の長さ/固有時間の測地線を許容します。ただし、無限に近づくにつれて 0 に十分速く減少して多様体の共形境界を得る共形因子を使用して、計量の共形再スケーリングを行うことができる場合があります。共形境界の位相構造は、因果構造に依存します。

• 未来に向かう時間的測地線は、未来の時間的無限大 に到達します。${\displaystyle i^{+}}$
• 過去方向の時間的測地線は、過去時間的無限大 に到達します。${\displaystyle i^{-}}$
• 未来に向かうヌル測地線は、未来のヌル無限大である^{ℐ +}に到達します。
• 過去に向かうヌル測地線は、過去のヌル無限大であるℐ ⁻に到達します。
• 空間的測地線は空間的無限大に到達します。

さまざまなスペースで:

• ミンコフスキー空間:は点、ℐ ^±はヌルシート、空間的無限大は余次元 2 を持ちます。${\displaystyle i^{\pm }}$
• 反ド・ジッター空間: 時間的無限大やヌル無限大は存在せず、空間的無限大は余次元 1 を持ちます。
• ド・ジッター空間: 未来と過去の時間的無限は余次元 1 を持ちます。

測地線が有限のアフィンパラメータの後で終了し、多様体を拡張して測地線を拡張できない場合、特異点が発生します。

• ブラックホールの場合、未来の時間的境界は、いくつかの場所では特異点で終わります。
• ビッグバンの場合、過去の時間的境界も特異点です。

絶対事象の地平線は、未来の時間的無限の過去のヌル円錐です。これは、レイショードリ光学方程式に従うヌル測地線によって生成されます。

• 因果動的三角測量(CDT)
• 因果関係の条件
• 因果集合
• コーシー面
• 閉じた時間曲線
• 宇宙検閲仮説
• 大域的双曲多様体
• マラメント・ホガース時空
• ヌル無限
• ペンローズ図
• ペンローズ-ホーキング特異点定理
• 時空

• ホーキング、SW、エリス、GFR（1973）、時空の大規模構造、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-20016-4
• ホーキング、SW、イスラエル、W.（1979）、一般相対性理論、アインシュタイン生誕100周年記念調査、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-22285-0
• ペンローズ、R. (1972)、相対性理論における微分位相幾何学の技法、SIAM、ISBN 0898710057
• サード、RD (1970)。相対論的力学 - 特殊相対論と古典粒子動力学。ニューヨーク：WAベンジャミン。ISBN 978-0805384918。

• チューリングマシン因果ネットワーク、Enrique Zeleny、Wolframデモンストレーションプロジェクト
• Weisstein、Eric W.「因果ネットワーク」。MathWorld。