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数学において、 3次元の特殊直交群、別名回転群SO(3)は、多様体の自然な例である。SO (3)上の様々な図表は、競合する座標系を設定する。この場合、回転を記述する好ましいパラメータのセットがあるとは言えない。自由度は3つあるため、SO(3)の次元は3である。多くの応用において、いずれかの座標系が使用され、与えられたシステムから別のシステムへの変換方法という問題が生じる。
幾何学において、回転群は、合成演算による3 次元ユークリッド空間R 3の原点周りのすべての回転の群です。[ 1 ]定義により、原点周りの回転は、ベクトルの長さを保存する(等長変換である)線形変換であり、空間の向き(つまり、左右対称性) を保存します。長さを保存する変換で向きを反転するものは、不適切回転と呼ばれます。3 次元ユークリッド空間のすべての不適切回転は、回転の後に原点を通る平面での反射が続きます。
2つの回転を合成すると別の回転が得られます。すべての回転には一意の逆回転が存在し、恒等写像は回転の定義を満たします。上記の性質により、すべての回転の集合は合成に関して群となります。さらに、回転群は群演算が滑らかな自然な多様体構造を持ち、実際にはリー群です。回転群は、後述する理由からSO(3)と表記されることがよくあります。
回転空間は、回転演算子の集合および行列式が+1の正規直交行列の集合と同型です。また、内部積を持つ四元数の集合、および回転ベクトルの集合とも密接に関連しています（ただし、回転ベクトルの集合との関係は説明が難しいため、詳細は後述します）。内部合成演算は、それらの等価な行列の積によって与えられます。
回転ベクトル表記は、3次元空間における任意の回転は、ある軸を中心としたある角度の回転によって記述できるというオイラーの回転定理に由来します。これを考慮すると、これらの回転の軸を2つの角度で指定でき、ベクトルの大きさを用いて回転角度を指定できます。これらのベクトルは、特異なトポロジーを持つ3次元空間の球体を表します。
この3次元の立体球は、4次元円盤の表面と等価であり、4次元円盤もまた3次元の一種である。この等価性を実現するためには、この4次元に埋め込まれた表面の回転をどのように表現するかを定義する必要がある。
空間を、4次元ユークリッド空間における円盤の境界である3次元球面S3として考えるのは興味深い。そのためには、この4次元に埋め込まれた曲面を用いて回転をどのように表現するかを定義する必要がある。
半径を用いて回転角度を指定する方法は単純ではありません。これは、北極が明確に定義された球面上の緯線と関連付けることができ、以下のように説明されます。
3次元空間における球の北極から始め、北極の点を恒等回転を表す点として指定します。恒等回転の場合、回転軸は定義されず、回転角（0度）は関係ありません。回転軸がxy平面内にあり、回転角が非常に小さい回転は、 xy平面に平行で北極のごく近くを通る球の断面によって指定できます。この断面によって定義される円は非常に小さく、回転角が小さいことに対応します。回転角が大きくなるにつれて、断面は南に移動し、円は大きくなり、球の赤道に達すると、回転角が180度になります。さらに南に進むと、円の半径は小さくなります（回転角の絶対値が負の値として扱われることに対応します）。最後に、南極に達すると、円は再び縮小して恒等回転になり、これは南極の点としても指定されます。この視覚化によって、このような回転とその表現の多くの特徴がわかることに注目してください。
回転の空間は連続的であり、各回転にはほぼ同じ回転の近傍が存在し、近傍が縮小するにつれてこの近傍は平坦になる。
また、各回転は実際には球面上の2つの対蹠点によって表され、それらは球の中心を通る線の両端に位置します。これは、各回転が何らかの軸を中心とした回転、またはそれと同等に反対方向を指す軸を中心とした負の回転（いわゆる二重被覆）として表せるという事実を反映しています。特定の回転角を表す円の「緯度」は、その回転によって表される角度の半分になります。これは、点が北極から南極に移動すると、緯度は0度から180度まで変化するのに対し、回転角は0度から360度まで変化するためです。（この場合、点の「経度」は特定の回転軸を表します。）ただし、この回転の集合は合成に関して閉じていないことに注意してください。
xy平面上の軸を持つ2つの連続した回転は、必ずしも軸がxy平面上にある回転を与えるとは限らず、したがって球面上の点として表現することはできません。これは、3次元空間における一般的な回転には当てはまらず、合成によって閉じた集合を形成します。
この視覚化は、3次元空間における一般的な回転にも拡張できます。恒等回転は点として表され、ある軸を中心とした小さな回転角は、半径の小さい球面上の点として表すことができます。回転角が大きくなるにつれて球面も大きくなり、回転角が180度に達すると球面は縮小し始め、360度（または負の方向から0度）に近づくにつれて点になります。このように拡大と縮小を繰り返す球面の集合は、4次元空間における超球面（3次元球面）を表しています。
上記のより単純な例と同様に、超球面上の点として表される各回転は、その超球面上の対蹠点に対応付けられます。超球面上の「緯度」は対応する回転角の半分となり、任意の点の近傍は、近傍が縮小するにつれて「平坦化」します（つまり、3次元ユークリッド空間の点として表されます）。
この挙動は、単位四元数のセットによって再現されます。一般的な四元数は4次元空間内の点を表しますが、その大きさを1に制限すると、超球の表面に相当する3次元空間が得られます。単位四元数の大きさは1となり、これは半径1の超球に対応します。
単位四元数のベクトル部分は、回転軸に対応する2次元球面の半径を表し、その大きさは回転角の半分の正弦に相当します。各回転は符号が反対の2つの単位四元数で表され、3次元回転空間と同様に、2つの単位四元数の積は単位四元数になります。また、単位四元数の空間は、与えられた単位四元数の任意の微小近傍において「平坦」です。
回転空間をパラメータ化する方法はいくつかありますが、必ず退化が生じます。例えば、3つの角度（オイラー角）を用いる場合、このようなパラメータ化は超球面上のいくつかの点で退化し、ジンバルロックの問題を引き起こします。これを回避するには、w² + x² + y² + z² = 1 を満たす4つのユークリッド座標w、x、y、zを用いると良いでしょう。点 ( w、x、y、z ) は、ベクトル ( x、y、z )で方向付けられる軸を中心とした角度だけの回転を表します。
この問題は、緯度と経度といった2つの座標を用いて球面の2次元表面をパラメータ化する問題と類似しています。緯度と経度は、北極と南極では不規則な挙動（退化）を示しますが、これらの極は球面上の他の点と本質的に異なるわけではありません。極（緯度+90°と -90°）では、経度は意味をなさなくなります。このような退化を回避できる2パラメータ座標系は存在しないことが示されています。
パラメータ化の候補としては、以下のものが考えられます。
これらを局所チャート以上のものとして使用することには、その多価性や特異点といった問題があります。つまり、チャートの定義においては、何よりもまず微分同相写像のみを扱うように注意しなければなりません。SO(3) は実射影空間P 3 ( R ) と微分同相であり、P 3 ( R ) は対蹠点を同一視することによってS 3の商空間となるため、このような問題は避けられません。チャートはR 3を使用して多様体をモデル化しようとします。
これは、例えばオイラー角が3次元トーラス内の変数を表し、単位四元数が3次元球面内の変数を表すように見える理由を説明する。オイラー角による表現の一意性は、いくつかの点で破綻する（ジンバルロックを参照）が、四元数による表現は常に二重カバーであり、qと-qは同じ回転を表す。
歪対称行列を使用する場合、すべての 3 × 3 歪対称行列は 3 つのパラメータによって決定されるため、一見するとパラメータ空間はR 3です。このような行列を指数化すると、行列式 1 の直交 3 × 3 行列、つまり回転行列が得られますが、これは多対一の写像です。これは被覆写像ではないことに注意してください。原点付近では局所的な同相写像ですが、180 度の回転では被覆写像ではありません。これらの行列をR 3内の原点の周りの球に制限して、回転が 180 度を超えないようにすることは可能であり、境界S 2に対応する 180 度の回転を除いて、これは 1 対 1 になります。これらの回転は対蹠点を特定します。これがカット 軌跡です。この境界の特定を持つ 3 次元球はP 3 ( R ) です。同様の状況は、歪対称行列にケイリー変換を適用する場合にも当てはまります。
軸の角度はS 2 × S 1のパラメータを与えます。単位ベクトルを実際の回転軸に置き換えると、nと − n が同じ軸線を与えるため、軸の集合は実射影平面P 2 ( R )になります。しかし、nと − nを中心とした回転は θ の反対の値でパラメータ化されるため、結果はP 2 ( R ) 上のS 1バンドルとなり、これはP 3 ( R )になります。
分数線形変換では、ad − bcがゼロでないという条件の下で、4 つの複素パラメータa、b、c、dを使用します。4 つのパラメータすべてに同じ複素数を掛けてもパラメータは変わらないため、 ad − bc = 1 とすることができます。これは、( a、b、c、d ) を、行列式 1 の 2 × 2 複素行列、つまり特殊線形群 SL(2, C ) の要素として書くことを示唆しています。しかし、このような行列すべてが回転を生成するわけではありません。S 2上の等角写像も含まれます。回転のみを得るには、d がaの複素共役であり、c がbの複素共役の負であるとします。すると、| a | 2 +| b | 2 = 1を満たす2 つの複素数aとbが得られます。a + bjと書くと、これは単位長の四元数になります。
最終的に、R 3はP 3 ( R )ではないため、これらのアプローチのそれぞれに問題が生じます。場合によっては、特定のパラメータ値が同じ回転をもたらすことを覚えておく必要があり、この問題を解消するには境界を設定する必要がありますが、その場合、R 3のこの領域を通るパスは、境界を越えると突然別の領域にジャンプする必要があります。ジンバル ロックは、マップの導関数がフル ランクでない場合に問題になります。これは、オイラー角とテイト ブライアン角で発生しますが、他の選択肢では発生しません。クォータニオン表現にはこれらの問題はありません (どこでも 2 対 1 のマッピングであるため) が、条件 (単位長) を持つ 4 つのパラメータがあり、利用可能な 3 自由度を確認するのが難しくなる場合があります。
これらの考察が何らかの形で必然的に生じる領域の一つが、剛体の運動学である。定義として、 3次元ユークリッド空間のユークリッド群E (3)における曲線の概念を、単位元（初期位置）から始めるとすることができる。E (3) の並進部分群Tは正規部分群であり、直接等長変換のみの部分群E + ( 3) を見ると、商は SO(3) となる（これは運動学では妥当である）。標準的なニュートン運動学では、重心の運動と、重心を中心とした剛体の回転を考慮することで、並進部分を回転部分から分離することができる。したがって、並進部分を除外すると、剛体のあらゆる運動は直接 SO(3) につながる。
これらの識別は、SO(3) が連結しているが、単純連結ではないことを示している。後者については、対蹠点が識別された球において、「北極」から中心をまっすぐ通り南極まで伸びる経路を考えてみよう。北極と南極が識別されているため、これは閉じたループである。このループは、ループをどのように変形しても、始点と終点が対蹠点のままでなければならず、そうでなければループが「開いてしまう」ため、一点に縮小することはできない。回転の観点から言えば、このループは、恒等回転で始まり恒等回転で終わるz軸周りの連続した回転のシーケンスを表している（つまり、φ が 0 から 2π まで変化する角度 φ を回る一連の回転）。
驚くべきことに、経路を2回たどる、つまり北極から南極まで下りて北極に戻るようにしてφを0から4πまで変化させると、一点に縮小できる閉ループが得られます。まず、経路を球の表面まで連続的に移動させ、北極と南極を2回接続します。次に、経路の後半部分を反対側に鏡像反転させ、経路自体を全く変更しません。これで、球の表面上に、北極とそれ自身を大円で結ぶ通常の閉ループが得られます。この円は問題なく北極に縮小できます。バリの皿トリックや同様のトリックは、これを実際に示しています。
同様の議論は一般にも適用でき、SO(3) の基本群が位数 2 の巡回群であることを示しています。物理学の応用では、基本群の非自明性により、スピノルと呼ばれる対象の存在が可能になり、スピン統計定理の発展において重要なツールとなります。
SO(3) の普遍被覆は、Spin(3) と呼ばれるリー群です。群Spin ( 3 ) は、特殊ユニタリ群SU(2) と同型です。また、単位3 球面S 3とも微分同相であり、単位四元数(つまり絶対値が1 のもの)の群として理解できます。コンピュータグラフィックスでよく利用される四元数と回転の関係については、 「四元数と空間回転」で説明されています。S 3から SO(3) への写像で、S 3の対蹠点を識別するものは、核{±1}を持つリー群の全射準同型です。位相的には、この写像は 2 対 1 の被覆写像です。
