初期の歴史 紀元前 に遡る円周率π の最もよく知られた近似値は小数点以下2桁の精度であった。これは特に中国の数学 において、1千年紀半ばまでに小数点以下7桁の精度にまで向上した。その後、中世後期までそれ以上の進歩は見られなかった。
一部のエジプト学者[ 3 ] は、 古代エジプト人が 古王国 時代（紀元前2700年頃～2200年頃）からπ の近似値として22/7 = 3.142857 [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]。
バビロニアの数学では、 π を 3 に近似するのが一般的で、当時の建築プロジェクトには十分でした (特にヘブライ語聖書 のソロモン神殿 の記述にも反映されています)。[ 7 ] スーサ近郊で発掘された古代バビロニアの数学的粘土板 (紀元前 19 世紀から 17 世紀のものとされています) には、 π のより良い近似値として25 ⁄ 8 [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]
ほぼ同時期に、エジプトのリンド数学パピルス （紀元前1600年頃の第二中間期に遡るとされているが、より古い 中王国時代の 文書の写しであるとされている）は、八角形 による近似によって円の面積を計算することで、πを 256/81 ≈ 3.16 を [ 5 ] [ 12 ]
シャタパタ・ブラーフマナ 339 / 108 ≈ 3.139 という分数近似が用いられている。[ 13 ]
マハーバーラタ（紀元前500年～紀元後300年）では、 ビシュマ・パルヴァの 詩6.12.40～45に示されている比率で3という近似値が示されている。[ 14 ]
...
月の直径は1万1千ヨージャナ と言い伝えられている。その外周を計算すると3万3千ヨージャナになる。 … 太陽の直径は8千ヨージャナと2千ヨージャナである。そこから、その外周は3万ヨージャナになる。
...
— ビーシュマ ・ パルヴァ 」
紀元前3世紀、アルキメデスは正 96 角形 を用いて、223 / 71 π < 22/7 という と 4× 10⁻⁴ ）。[ 15 ]
西暦2世紀、プトレマイオスは 377/120 という これ ） 。[ 16 ] 3 + 8 / 60 + 30 / 60 2 、 {\displaystyle 3+8/60+30/60^{2},} 60進 数で2桁の精度を持つ。
中国の数学者 劉徽は 西暦263年にπ を計算し、024 708 は 866 −5 )。彼はまた、3.14 は実用的な目的には十分な近似値であると示唆した。彼はまた、より後の、より正確な結果 π ≈ 3927 ⁄ 1250 −6 ) を出したとよく言われているが、一部の学者は、これは後の (5 世紀の) 中国の数学者祖崇之 によるものだと考えている。[ 17 ] π を 3.1415926 から 3.1415927 の間に計算したことが知られており、これは小数点以下 7 桁まで正確だった。彼はまた、π の他の 2 つの近似値 π ≈ 22 ⁄ 7 355 ⁄ 113 π の最良の有理数近似値である。祖崇之のこの結果は、ヘレニズム時代の数学で達成された精度を凌駕し、その後約1000年間、改善されることなく維持された。
グプタ朝時代 のインド(6 世紀) の数学者アリヤバータは 、
100に4を加え、8を掛け、62,000に足します。これは、直径が20,000の円の円周の「おおよそ」の値です。
π を 小数点以下 4 桁まで近似すると、π ≈ 62832 ⁄ 20000 [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] āsanna ニラカンタ・ソマヤジ （ケーララの天文学と数学の学派 ）は、この言葉は近似値であるだけでなく、その値が通約不可能（無理数）で あることを意味すると主張しています。[ 21 ]
中世 その後、14世紀まで約1000年間進展は見られなかったが、ケーララ天文学・数学学派 の創始者であるインドの数学者で天文学者のマダヴァ・オブ・サンガマグラーマが、アークタンジェントの マクローリン級数と π の2つの無限級数 を発見した。[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] マダヴァ・ライプニッツ級数 として知られており、π = 4 アークタン （ 1 ） : {\displaystyle \pi =4\arctan(1):}
π = 4 （ 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + ⋯ ） {\displaystyle \pi =4\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots \right)} もう一つはπ = 6 アークタン （ 1 / 3 ） : {\displaystyle \pi =6\arctan(1/{\sqrt {3}}):}
π = 12 ∑ k = 0 ∞ （ − 3 ） − k 2 k + 1 = 12 ∑ k = 0 ∞ （ − 1 3 ） k 2 k + 1 = 12 （ 1 − 1 3 ⋅ 3 + 1 5 ⋅ 3 2 − 1 7 ⋅ 3 3 + ⋯ ） {\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-3)^{-k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-{\frac {1}{3}})^{k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\left(1-{1 \over 3\cdot 3}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)} 2つのマダヴァ級数（ √12 を π に関するいくつかの歴史的な無限級数の収束性を比較した図。S nは n 項まで計算した後の近似値です。各サブプロットは、網掛け部分を水平方向に10倍に拡大しています。（詳細を表示 するにはクリックしてください ）彼は最初の21項を使用して、π の近似値を小数点以下11桁まで正確に計算しました。592 653 59
彼はまた、arctan(1)に基づく式に修正を加えることで、式を改良した。
π / 4 ≈ 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + ⋯ − （ − 1 ） n 2 n − 1 ± n 2 + 1 4 n 3 + 5 n {\displaystyle \pi /4\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots -{\frac {(-1)^{n}}{2n-1}}\pm {\frac {n^{2}+1}{4n^{3}+5n}}} 彼がどのようにしてこの修正を思いついたのかは不明である。[ 23 ] これを用いて、 n = 75の場合、 π の近似値を小数点以下 13 桁の精度で求めた。
インドの数学者バースカラ2世 （12世紀）は、最大384辺の正多角形を使用してπの別の近似値を取得し、3.141666と計算しました。[ 25 ]
ペルシャの天文学者 で数学者の ジャムシード・アル＝カーシー （カーシャーニー）（15世紀）は、1424年に2πの小数部分を9桁の60進数で 正しく計算し[ 26 ] 、これ [ 27 ]
2 π ≈ 6.2831853071795864 、 {\displaystyle 2\pi \approx 6.2831853071795864,} これは、πの小数点以下16桁を正しく表しています。
π ≈ 3.1415926535897932 {\displaystyle \pi \approx 3.1415926535897932} 彼は3×2の28 辺を持つ正多角形 の周長を計算することで、このレベルの精度を達成した。 [ 28 ]
16世紀から19世紀 16世紀後半、フランスの数学者フランソワ・ヴィエトは、 π に収束する無限積 を発見し、これはヴィエトの公式 として知られている。
ドイツ系オランダ人の数学者ルドルフ・ファン・クーレン （ 1600年頃）は、 262 角形を用いてπ の小数点以下35桁を計算した。彼はこの業績を非常に誇りに思い、その数字を墓石 に刻ませた。[ 29 ]
ウィレブロルト・スネリウスは『 サイクロメトリクス』 （1621年）の中で、内接多角形の周長は対応する外接多角形の周長よりも2倍速く円周に収束することを示した。これは1654年にクリスティアーン・ホイヘンス によって証明された。スネリウスは96角形からπ の7桁目を得ることができた。 [ 30 ]
1656年、ジョン・ウォリスは ウォリス製品 を発表した。
π 2 = ∏ n = 1 ∞ 4 n 2 4 n 2 − 1 = ∏ n = 1 ∞ （ 2 n 2 n − 1 ⋅ 2 n 2 n + 1 ） = （ 2 1 ⋅ 2 3 ） ⋅ （ 4 3 ⋅ 4 5 ） ⋅ （ 6 5 ⋅ 6 7 ） ⋅ （ 8 7 ⋅ 8 9 ） ⋅ ⋯ {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots }
1706年、ジョン・マチンは グレゴリー級数 （アークタンジェント のテイラー級数 ）と恒等式 を使用した。1 4 π = 4 アークコット 5 − アークコット 239 {\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi =4\オペレーター名 {arccot} 5-\オペレーター名 {arccot} 239} π の100桁を計算する（§Machinのような公式を参照） 。 [ 31 ] [ 32 ] 1719 トーマス・ド・ラニーは 同様の公式を使用して127桁を計算した（そのうち112桁が正しかった）。1789年、スロベニアの数学者ユーリ・ベガは ジョン・マチン の公式を改良して最初の140桁を計算し、そのうち最初の126桁が正しかった。[ 33 ] ウィリアム・ラザフォードは 208桁を計算し、そのうち最初の152桁が正しかった。
光年）から1 プランク長 （1000万秒）以下の精度で計算できるという事実によって説明できます。× 10 −35 メートル π を 小数点以下 62 桁まで表して表した値です。[ 34 ]
イギリスのアマチュア数学者ウィリアム・シャンクスは、1853年1月に πを 小数点以下530桁まで計算し、最初の527桁は正しかった（最後の数桁は丸め誤差のためにおそらく間違っていた）。[ 1 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 1 ] [ 37 ] [ 1 ] πの最も長い拡張であった。 [ 38 ]
20世紀と21世紀 1910年、インドの数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンは、 π の急速に収束する無限級数をいくつか発見した。
1 π = 2 2 9801 ∑ k = 0 ∞ （ 4 k ） ! （ 1103 + 26390 k ） （ k ! ） 4 396 4 k {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}} この数列は、各項でπ の小数点以下8桁までを計算します。彼の数列は現在、 πを 計算するために現在使用されている最速のアルゴリズムの基礎となっています。最初の項だけを評価すると、小数点以下7桁まで正確な値が得られます。
π ≈ 9801 2206 2 ≈ 3.14159273 {\displaystyle \pi \approx {\frac {9801}{2206{\sqrt {2}}}}\approx 3.14159273} ラマヌジャン-佐藤級数を 参照。
20世紀半ば以降、πの計算におけるすべての改良は、 電卓 やコンピュータ の助けを借りて行われてきた。
1944年から1945年にかけて、DF Fergusonは機械式卓上計算機 を用いて、William Shanksが 528桁目の小数点で間違いを犯し、それ以降の桁もすべて間違っていることを発見した。[ 35 ] [ 39 ]
コンピュータの初期の頃、π の展開は万桁の π の は 1961 年 、シャンクス と 彼のチームは、 π の桁を計算するために2つの異なるべき級数を使用しました。一方のべき級数では、誤差があっても値がわずかに高くなることが知られており、もう一方のべき級数では、誤差があっても値がわずかに低くなることが知られていました。したがって、2つの級数が同じ桁数を生成する限り、それらが正しいという確信度は非常に高かったのです。πの最初の100,265桁は1962 年に発表されました。[ 40 ] : 著者らは、 πを 100万桁まで計算するために必要なことを概説し、その作業は当時の技術では不可能だが、5年から7年後には可能になると結論付けました。[ 40 ] :
1989年、チュドノフスキー兄弟は、 スーパーコンピュータ IBM 3090上で、ラマヌジャンの π の無限級数の以下の変形を用いて、πを 10億桁以上の小数点以下まで計算した。
1 π = 12 ∑ k = 0 ∞ （ − 1 ） k （ 6 k ） ! （ 13591409 + 545140134 k ） （ 3 k ） ! （ k ! ） 3 640320 3 k + 3 / 2 。 {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}.} それ以降の記録はすべてチュドノフスキーアルゴリズム を使用して達成された。1999年、東京大学 の金田康正氏 とそのチームは、ラマヌジャンのπ の無限級数の別の変形を使用して、スーパーコンピュータHITACHI SR8000/MPP （128ノード）で π を2000億桁以上まで計算した。2002年11月、金田康正氏と他の9人のチームは、 1テラバイトのメインメモリを持つ64ノードのスーパーコンピュータであるHitachi SR8000 を使用して、約600時間（25日間）でπを 約1.24兆桁まで計算した。[ 41 ]
実用的な近似値 計算の目的に応じて、π は 計算を容易にするために分数を使用して近似することができます。そのような近似の中で最も注目すべきものは22 ⁄ 7 相対誤差 約 4·10 −4 ) と355 ⁄ 113 −8 ) です。[ 59 ] [ 60 ] [ 61 ] 中国の数学では、分数 22/7 と 355/113 は、それぞれ Yuelü (约率 ; yuēlǜ ; 「 近似比 」 ) とMilü (密率 ; mìlǜ ; 「 近似比 」 ) として知られています。
π の非数学的な「定義」注目すべきものとしては、 1897年の「インディアナ州円周率法 」のように「直径と円周の比率は4分の5対4である」（これは「π = 3.2 」を意味する）と規定した法律文書や歴史文書、そして π = 3 を示唆するヘブライ語聖書 の一節などがある
インディアナ州の法案 1897年のいわゆる「インディアナ円周率法」は、「円周率の値を法律で定める」試みとして特徴づけられることが多い。しかし実際には、この法案は幾何学的に「円積 問題」を解決するための試みであった。[ 62 ]
この法案は米国インディアナ州議会 で可決寸前までいったが、 πの値がいくつも異なることを示唆していると主張されている 。 π = 16/5 となり 無期限に延期した 。
聖書的価値とみなされる ヘブライ語聖書は 「πは 3に等しい」ことを示唆しているエルサレムの神殿 の前にあった円形の水盤 の直径が10キュビト 、円周が30キュビトであると記されている箇所に基づいている。
この問題はタルムード やラビ文学 で議論されている。[ 63 ]
ラビ・ネヘミアは、紀元150年頃の ミシュナト ・ハ・ミドット （幾何学に関する現存する最古のヘブライ語 文献）の中で、直径は外側の 縁から測り、円周は内側の 縁に沿って測ると説明している。この解釈によれば、縁の厚さは約0.225キュビット（または、18インチの「キュビット」を仮定すると約4インチ）、つまり1と3分の1の「手幅」に相当する（ NRSVおよびNRSV参照）。 マイモニデス は（紀元1168年頃）π は近似的にしか知ることができないため、宗教的な目的には3という値が十分な精度であると述べている。一部の人々[ 64 ] はこれをπ が無理数であるという最も初期の主張とみなしている。聖書学ではこの箇所についてまだ議論が続いている。[ 65 ] [ 66 ] [ 67 ] ユリの 花やティーカップ を示唆している。
円を多角形で近似する アルキメデスは著書『円の測定』 の中で、円 に内接する任意の（凸）多角形の周長は円周よりも小さく、円周は外接する任意の多角形の周長よりも小さいという考えに基づいて、πを計算する最初のアルゴリズムを作成しました。彼はまず、周長が容易に求められる正六角形の内接と外接から始めました。次に、同じ円に内接および外接する辺の数が2倍の正多角形の周長を計算する方法を示しました。これは、今日では次のように説明される再帰的な手順です。p k P k を、 それぞれ同じ円に内接および外接する k
P 2 n = 2 p n P n p n + P n 、 p 2 n = p n P 2 n 。 {\displaystyle P_{2n}={\frac {2p_{n}P_{n}}{p_{n}+P_{n}}},\quad \quad p_{2n}={\sqrt {p_{n}P_{2n}}}.} アルキメデスはこれを利用して、P 12 、p 12 、P 24 、p 24 、P 48 、p 48 、P 96 p 96 [ 68 ]
3 10 71 < π < 3 1 7 。 {\displaystyle 3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}.} アルキメデスがなぜ96角形で計算を止めたのかは不明である。計算を延長するには忍耐力さえあればよい。ヘロンは著書 『メトリカ』 （紀元60年頃）の中で、アルキメデスが現在失われた書物の中で計算を続けたと報告しているが、その後、彼に誤った値を帰している。[ 69 ]
アルキメデスはこの計算に三角法を用いておらず、この方法の難しさは、関係する平方根の適切な近似値を得ることにある。円の弦の長さの表という形での三角法は、おそらくアレクサンドリアのクラウディオス・プトレマイオスが『 アルマゲスト 』（紀元150年頃）に記されたπ の値を得るために用いたものと思われる。[ 70 ]
π の近似(方法が既知の場合) の進歩は、計算に使用される多角形の辺の数を増やすことによって達成されました。ウィレブロルド・スネル (1621) による三角法の改良により、多角形法から得られた一対の境界からより良い境界が得られました。 そのため、辺の数が少ない多角形からより正確な結果が得られました。[ 71 ] 1593 年にフランソワ・ヴィエト によって発表されたヴィエトの公式は 、ヴィエトが密接に関連する多角形法を使用して導出したものですが、辺の数が 2 のべき乗である多角形の周囲ではなく面積を使用しています。[ 72 ]
この方法でπを 計算する最後の主要な試みは、1630年にグリーエンベルガーによって行われ、彼はスネルの改良法を用いてπ の39桁を計算した。[ 71 ]
高速計算には、マチンの式 などの公式を使用することができます。
π 4 = 4 アークタン 1 5 − アークタン 1 239 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}} 関数arctan ( x ) の テイラー級数 展開と合わせて、この式は複素数 の極座標 を用いると最も簡単に検証でき、次の式が得られます。
（ 5 + 私 ） 4 ⋅ （ 239 − 私 ） = 2 2 ⋅ 13 4 （ 1 + 私 ） 。 {\displaystyle (5+i)^{4}\cdot (239-i)=2^{2}\cdot 13^{4}(1+i).}
（（x ),( y 2 } は、 ペル方程式 x 2 − 2 y 2 = −1の解です 。
この種の公式は、マチン式 として知られています。マチンの特定の公式は、 π の桁数の記録を計算するためにコンピュータ時代まで使用されていましたが、[ 40 ]
例えば、シャンクスとそのチームは1961年に、 π の最初の10万桁を計算するために、マチンに似た以下の公式を使用しました。[ 40 ]
π 4 = 6 アークタン 1 8 + 2 アークタン 1 57 + アークタン 1 239 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=6\arctan {\frac {1}{8}}+2\arctan {\frac {1}{57}}+\arctan {\frac {1}{239}}} そして彼らは別のマチン式に似た公式を使用し、
π 4 = 12 アークタン 1 18 + 8 アークタン 1 57 − 5 アークタン 1 239 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{18}}+8\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}} チェックとして。
2002年12月時点での東京大学の金田康正氏の記録は1,241,100,000,000桁であった。これには以下のMachinに似た数式が用いられた。
π 4 = 12 アークタン 1 49 + 32 アークタン 1 57 − 5 アークタン 1 239 + 12 アークタン 1 110443 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}} K.高野（1982）。
π 4 = 44 アークタン 1 57 + 7 アークタン 1 239 − 12 アークタン 1 682 + 24 アークタン 1 12943 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}} FCM ストルマー (1896)。
π の推定値を計算するために使用されるその他の式には、以下のようなものがあります。
劉慧（ ヴィエトの公式 も参照）：
π ≈ 768 2 − 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 ≈ 3.14159046323。 {\displaystyle {\begin{aligned}\pi &\approx 768{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+1}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\&\approx 3.14159046323.\end{aligned}}} マダヴァ ：
π = 12 ∑ k = 0 ∞ （ − 3 ） − k 2 k + 1 = 12 ∑ k = 0 ∞ （ − 1 3 ） k 2 k + 1 = 12 （ 1 1 ⋅ 3 0 − 1 3 ⋅ 3 1 + 1 5 ⋅ 3 2 − 1 7 ⋅ 3 3 + ⋯ ） {\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-3)^{-k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-{\frac {1}{3}})^{k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\left({1 \over 1\cdot 3^{0}}-{1 \over 3\cdot 3^{1}}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)} ニュートン /オイラー収束変換: [ 73 ]
アークタン x = x 1 + x 2 ∑ k = 0 ∞ （ 2 k ） ! ! x 2 k （ 2 k + 1 ） ! ! （ 1 + x 2 ） k = x 1 + x 2 + 2 3 x 3 （ 1 + x 2 ） 2 + 2 ⋅ 4 3 ⋅ 5 x 5 （ 1 + x 2 ） 3 + ⋯ π 2 = ∑ k = 0 ∞ k ! （ 2 k + 1 ） ! ! = ∑ k = 0 ∞ 2 k k ! 2 （ 2 k + 1 ） ! = 1 + 1 3 （ 1 + 2 5 （ 1 + 3 7 （ 1 + ⋯ ） ） ） {\displaystyle {\begin{aligned}\arctan x&={\frac {x}{1+x^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k)!!\,x^{2k}}{(2k+1)!!\,(1+x^{2})^{k}}}={\frac {x}{1+x^{2}}}+{\frac {2}{3}}{\frac {x^{3}}{(1+x^{2})^{2}}}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 5}}{\frac {x^{5}}{(1+x^{2})^{3}}}+\cdots \\[10mu]{\frac {\pi }{2}}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\cfrac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)\end{aligned}}} ここで、m!! は二重階乗、つまり m までの同じ偶奇性 を持つ正の整数の積です。 オイラー ：
π = 20 アークタン 1 7 + 8 アークタン 3 79 {\displaystyle {\pi }=20\arctan {\frac {1}{7}}+8\arctan {\frac {3}{79}}} （前述のarctanに関する級数を用いて評価した。 ） ラマヌジャン ：
1 π = 2 2 9801 ∑ k = 0 ∞ （ 4 k ） ! （ 1103 + 26390 k ） （ k ! ） 4 396 4 k {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}} デビッド・チュドノフスキー とグレゴリー・チュドノフスキー ：
1 π = 12 ∑ k = 0 ∞ （ − 1 ） k （ 6 k ） ! （ 13591409 + 545140134 k ） （ 3 k ） ! （ k ! ） 3 640320 3 k + 3 / 2 {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}} ラマヌジャンの研究は、2000年代初頭の時点でπを計算するために使用されていた最速のアルゴリズムである チュドノフスキーアルゴリズム の基礎となっている。
現代のアルゴリズム π の非常に長い小数展開は、通常、ガウス・ルジャンドルアルゴリズム やボルウェインアルゴリズム のような反復式を用いて計算されます。後者は、1985年にジョナサン とピーター・ボルウェイン によって発見されたもので、非常に速く収束します。
のためにy 0 = 2 − 1 、 1 0 = 6 − 4 2 {\displaystyle y_{0}={\sqrt {2}}-1,\ a_{0}=6-4{\sqrt {2}}}
y k + 1 = （ 1 − f （ y k ） ） / （ 1 + f （ y k ） ） 、 1 k + 1 = 1 k （ 1 + y k + 1 ） 4 − 2 2 k + 3 y k + 1 （ 1 + y k + 1 + y k + 1 2 ） {\displaystyle y_{k+1}=(1-f(y_{k}))/(1+f(y_{k}))~,~a_{k+1}=a_{k}(1+y_{k+1})^{4}-2^{2k+3}y_{k+1}(1+y_{k+1}+y_{k+1}^{2})} どこf （ y ） = （ 1 − y 4 ） 1 / 4 {\displaystyle f(y)=(1-y^{4})^{1/4}} 1 / 1 k {\displaystyle 1/a_{k}} 4 次収束して π になり、3 ステップで約 100 桁、20 ステップ後には 1 兆桁以上になります。Chudnovsky 級数は線形収束するだけですが、Chudnovsky アルゴリズムは実際には反復アルゴリズムよりも高速になる可能性があります。これは、メモリ サイズやアクセス時間 などの技術的要因に依存します。[ 74 ]
π と1 / π プロジェクト・グーテンベルク から入手可能です。[ 75 ] [ 76 ] 東京大学 の金田康正氏 による以前の計算記録（2002年12月）は1.24兆桁で、これは2002年9月に1テラバイトのメインメモリを持つ64ノードの日立 スーパーコンピュータ で計算されました。このスーパーコンピュータは毎秒2兆回の演算を実行でき、以前の記録（2060億桁）に使用されたコンピュータのほぼ2倍です。これには、次のMachinのような数式が使用されました。
π 4 = 12 アークタン 1 49 + 32 アークタン 1 57 − 5 アークタン 1 239 + 12 アークタン 1 110443 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}} 高野 喜久雄 （1982））π 4 = 44 アークタン 1 57 + 7 アークタン 1 239 − 12 アークタン 1 682 + 24 アークタン 1 12943 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}} F. C. M. ストルマー （1896））これらの近似値は桁数が非常に多いため、新しいスーパーコンピュータのテストを除いて、実用的な用途はもはやありません。[ 77 ] π 正規性 などの特性は、有限の計算ではなく、常に末尾の無限の桁数に依存します。
その他の近似値 数式や近似式などに加えて、22 7 {\displaystyle {\tfrac {22}{7}}} 355 113 {\displaystyle {\tfrac {355}{113}}} この記事の他の箇所で説明されているように、 πを 推定するために以下の式が使用されています。
3桁の精度：2 + 3 = 3.146 + 。 {\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}=3.146^{+}.} カール・ポパーは、 プラトンは この式を知っていて、それが正確にπ であると信じていたと推測し、これがプラトンの幾何学の普遍的な力に対する自信の一部と、プラトンが二等辺三角形または 正三角形 の半分である特別な直角三角形 について繰り返し議論した理由であると推測した。[ 78 ] 4桁の精度：1 + e − γ = 3.1410 + 、 {\displaystyle 1+e-\gamma =3.1410^{+},} e {\displaystyle e} 自然対数の底 であり、γ {\displaystyle \gamma } オイラー定数 であり、[ 79 ] 31 3 = 3.1413 + 。 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{31}}=3.1413^{+}.} 4桁（または5桁の有効数字 ）まで正確：[ 80 ] 7 + 6 + 5 = 3.1416 + 。 {\displaystyle {\sqrt {7+{\sqrt {6+{\sqrt {5}}}}}}=3.1416^{+}.} ラマヌジャン による近似値（4桁（または5桁の有効数字）まで正確）：[ 81 ] 9 5 + 9 5 = 3.1416 + 。 {\displaystyle {\frac {9}{5}}+{\sqrt {\frac {9}{5}}}=3.1416^{+}.} 5桁の精度：7 7 4 9 = 3.14156 + 、 {\displaystyle {\frac {7^{7}}{4^{9}}}=3.14156^{+},} 306 5 = 3.14155 + 、 {\displaystyle {\sqrt[{5}]{306}}=3.14155^{+},} コハンスキー による）40 3 − 2 3 = 3.14153 + 。 {\displaystyle {\sqrt {{40 \over 3}-2{\sqrt {3}}\ }}=3.14153^{+}.} 6桁まで正確: [ 82 ] （ 2 − 2 2 − 2 2 2 ） 2 = 3.14159 6 + 。 {\displaystyle \left(2-{\frac {\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}{2^{2}}}\right)^{2}=3.14159\ 6^{+}.} 8桁の精度： （ 58 4 − 37 2 33 ） − 1 = 66 2 33 29 − 148 = 3.14159 263 + {\displaystyle \left({\frac {\sqrt {58}}{4}}-{\frac {37{\sqrt {2}}}{33}}\right)^{-1}={\frac {66{\sqrt {2}}}{33{\sqrt {29}}-148}}=3.14159\ 263^{+}} [ 83 ] これはラマヌジャンの近似式（22）からは得られないケースである。[ 81 ] 3 4 + 2 4 + 1 2 + （ 2 3 ） 2 4 = 2143 22 4 = 3.14159 2652 + {\displaystyle {\sqrt[{4}]{3^{4}+2^{4}+{\frac {1}{2+({\frac {2}{3}})^{2}}}}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.14159\ 2652^{+}} これはラマヌジャン によるもので、彼は夢の中でナマギリの女神が現れ、 π の真の値を教えてくれたと主張したとされている。一方で、彼は巧妙な幾何学的構成によってこの近似値を得る方法も説明している。[ 81 ] 10桁（または11桁の有効数字）まで正確：10 100 11222.11122 193 = 3.14159 26536 + {\displaystyle {\sqrt[{193}]{\frac {10^{100}}{11222.11122}}}=3.14159\ 26536^{+}} この近似は、1/ π の 193 乗が 1122211125... という数列を生み出すという観察に基づいています。5を 2 に置き換えると、 π の正しい桁数を減らすことなく対称性が完了し、中央に小数点を挿入すると、付随する大きさが 10 100 に固定されるという驚くべき事実があります。[ 84 ] 小数点以下12桁まで正確： （ 163 6 − 181 10005 ） − 1 = 3.14159 26535 89 + {\displaystyle \left({\frac {\sqrt {163}}{6}}-{\frac {181}{\sqrt {10005}}}\right)^{-1}=3.14159\ 26535\ 89^{+}} これはチュドノフスキー級数から得られる（級数（1.4）[ 85 ] E 6 ( τ 163 ) 2 / E 4 ( τ 163 ) 3 2510613731736 2 1130173253125 = 3.14159 26535 89793 9 + {\displaystyle {\frac {2510613731736{\sqrt {2}}}{1130173253125}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 9^{+}} 165707065 52746197 = 3.14159 26535 89793 4 + {\displaystyle {\frac {165707065}{52746197}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 4^{+}} （ 253 4 − 643 11 903 − 223 172 ） − 1 = 3.14159 26535 89793 2387 + {\displaystyle \left({\frac {\sqrt {253}}{4}}-{\frac {643{\sqrt {11}}}{903}}-{\frac {223}{172}}\right)^{-1}=3.14159\ 26535\ 89793\ 2387^{+}} これはラマヌジャンの論文[ 81 ] のn 3949122332 2 1777729635 = 3.14159 26535 89793 2382 + {\displaystyle {\frac {3949122332{\sqrt {2}}}{1777729635}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 2382^{+}} 2286635172367940241408 2 1029347477390786609545 = 3.14159 26535 89793 23846 2649 + {\displaystyle {\frac {2286635172367940241408{\sqrt {2}}}{1029347477390786609545}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 2649^{+}} 1 10 ln （ 2 21 （ 5 4 − 1 ） 24 + 24 ） = 3.14159 26535 89793 23846 26433 9 + {\displaystyle {\frac {1}{10}}\ln \left({\frac {2^{21}}{({\sqrt[{4}]{5}}-1)^{24}}}+24\right)=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 9^{+}} これはラマヌジャンのクラス不変量g 100 = 2 5/8 /(5 1/4 − 1)[ 81 ] 1.8656436928143307 × 1.6839188885261840 = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 + {\displaystyle 1.8656436928143307\times 1.6839188885261840=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 83279^{+}} 乗数と被乗数は、FMA関数で使用するために、 IEEE 754 倍精度浮動小数点数に収まる必要があります。 24111373508318876 7674888557167847 = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 5 + {\displaystyle {\frac {24111373508318876}{7674888557167847}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 83279\ 5^{+}} 分子と分母は、 IEEE 754 規格の倍精度浮動小数点数に収まる。ln （ 640320 3 + 744 ） 163 = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 + {\displaystyle {\frac {\ln(640320^{3}+744)}{\sqrt {163}}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 83279^{+}} ラマヌジャン定数 が整数 640320 3 +744 に近いことから導き出されます。これは整数では明らかな一般化を許容しません。なぜなら、クラス番号 h (− d ) = 1のヒーグナー数 と負の判別式 d は 絶対値 で最大のものだからです。ln （ （ 640320 3 + 744 ） 2 − 393768 ） 2 163 = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69 + {\displaystyle {\frac {\ln((640320^{3}+744)^{2}-393768)}{2{\sqrt {163}}}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 83279\ 50288\ 41971\ 69^{+}} ln （ 5280 3 （ 236674 + 30303 61 ） 3 + 744 ） 427 {\displaystyle {\frac {\ln(5280^{3}(236674+30303{\sqrt {61}})^{3}+744)}{\sqrt {427}}}} 上記のものと同様に、j不変量 の結果である。クラス番号2の負の判別式の中で、このdは 絶対値が最も大きい。 ln （ 2 − 30 （ （ 3 + 5 ） （ 5 + 7 ） （ 7 + 11 ） （ 11 + 3 ） ） 12 − 24 ） 5 7 11 {\displaystyle {\frac {\ln(2^{-30}((3+{\sqrt {5}})({\sqrt {5}}+{\sqrt {7}})({\sqrt {7}}+{\sqrt {11}})({\sqrt {11}}+3))^{12}-24)}{{\sqrt {5}}{\sqrt {7}}{\sqrt {11}}}}} これはラマヌジャンのクラス不変量G 385 [ 81 ] ラマヌジャン定数の第3高調波（小数点以下60桁まで正確）： ln （ （ 640320 3 + 744 ） 3 − 206777679108482908708720251060018649 ） 3 163 = {\displaystyle {\frac {\ln((640320^{3}+744)^{3}-206777679108482908708720251060018649)}{3{\sqrt {163}}}}=} 3.1415 9265 3589 7932 3846 2643 3832 7950 2884 1971 6939 9375 1058 2097 4944 6 + {\displaystyle 3.1415\ 9265\ 3589\ 7932\ 3846\ 2643\ 3832\ 7950\ 2884\ 1971\ 6939\ 9375\ 1058\ 2097\ 4944\ 6^{+}} ln （ （ 2 u ） 6 + 24 ） 3502 {\displaystyle {\frac {\ln {\big (}(2u)^{6}+24{\big )}}{\sqrt {3502}}}} ここで、u は 4 つの単純な 4 次単位の積であり、 u = （ 1 + 1 2 − 1 ） 2 （ b + b 2 − 1 ） 2 （ c + c 2 − 1 ） （ d + d 2 − 1 ） {\displaystyle u=(a+{\sqrt {a^{2}-1}})^{2}(b+{\sqrt {b^{2}-1}})^{2}(c+{\sqrt {c^{2}-1}})(d+{\sqrt {d^{2}-1}})} そして、 1 = 1 2 （ 23 + 4 34 ） b = 1 2 （ 19 2 + 7 17 ） c = （ 429 + 304 2 ） d = 1 2 （ 627 + 442 2 ） {\displaystyle {\begin{aligned}a&={\tfrac {1}{2}}(23+4{\sqrt {34}})\\b&={\tfrac {1}{2}}(19{\sqrt {2}}+7{\sqrt {17}})\\c&=(429+304{\sqrt {2}})\\d&={\tfrac {1}{2}}(627+442{\sqrt {2}})\end{aligned}}} ダニエル・シャンクス が発見したものに基づく。前の2つと似ているが、今回はモジュラー形式 の商、すなわちデデキントのイータ 関数であり、引数にはが含まれる。τ = − 3502 {\displaystyle \tau ={\sqrt {-3502}}} d = 3502 のh (− d ) = 16 です。15261343909396942111177730086852826352374060766771618308167575028500999 48590509502030754798379641288876701245663220023884870402810360529259 。 。 。 {\displaystyle {\frac {15261343909396942111177730086852826352374060766771618308167575028500999}{48590509502030754798379641288876701245663220023884870402810360529259}}...} 。 。 。 551152789881364457516133280872003443353677807669620554743 10005 3134188302895457201473978137944378665098227220269702217081111 {\displaystyle ...{\frac {551152789881364457516133280872003443353677807669620554743{\sqrt {10005}}}{3134188302895457201473978137944378665098227220269702217081111}}} 3 1 、 22 7 、 333 106 、 355 113 、 103993 33102 、 104348 33215 、 208341 66317 、 312689 99532 、 833719 265381 、 1146408 364913 、 4272943 1360120 、 5419351 1725033 {\displaystyle {\frac {3}{1}},{\frac {22}{7}},{\frac {333}{106}},{\frac {355}{113}},{\frac {103993}{33102}},{\frac {104348}{33215}},{\frac {208341}{66317}},{\frac {312689}{99532}},{\frac {833719}{265381}},{\frac {1146408}{364913}},{\frac {4272943}{1360120}},{\frac {5419351}{1725033}}} これらのうち、355 113 {\displaystyle {\frac {355}{113}}} π の正確な桁数(7 桁) が近似に必要な桁数 (6 桁) よりも多いのは、この数列の唯一の分数です。分子と分母が大きい他の分数を使用することで精度を向上させることができますが、そのような分数のほとんどでは、近似に必要な桁数が結果で得られる正しい有効桁数よりも多くなります。[ 88 ]
π の数値近似：単位正方形内に点をランダムに配置すると、一部の点が単位円内に収まります。点を追加していくと、円内の点の割合はπ/4 に近づきます。円の半径と面積が分かっている場合、次の関係式を用いて円周率πを求めることができる。
A = π r 2 。 {\displaystyle A=\pi r^{2}.} 中心が点(0, 0)で半径 r の円を描くと、原点からの距離がr より小さい点はすべて円の内側に入ります。ピタゴラスの定理は、任意の点 ( x , y ) から中心までの距離を表します。
d = x 2 + y 2 。 {\displaystyle d={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.} 数学的な「グラフ用紙」は、各セル( x 、y ) を中心とする 1×1 の正方形を想像することによって形成されます。ここで、x とy は − r からrまでの 整数 です。中心が円の内側または境界上に位置する正方形は、各セル( x 、 y ) について、
x 2 + y 2 ≤ r 。 {\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r.} この条件を満たすセルの総数は円の面積に近似し、それを用いてπの近似値を計算することができる 。r の値を大きくすることで、より精度の高い近似値を得ることができる。
数学的には、この式は次のように表すことができます。
π = リム r → ∞ 1 r 2 ∑ x = − r r ∑ y = − r r { 1 もし x 2 + y 2 ≤ r 0 もし x 2 + y 2 > r 。 {\displaystyle \pi =\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{r^{2}}}\sum _{x=-r}^{r}\;\sum _{y=-r}^{r}{\begin{cases}1&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r\\0&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>r.\end{cases}}} つまり、まずr の値を選択します。x と y の両方が −r から r までの整数であるすべてのセル (x, y) を考えます。0 から 始めて、 原点( 0 , 0 ) からの距離が r 以下である各セルに 1 を加えます。 完了 したら、半径r の円の面積を表す合計をr /2 で割ってπ の近似値を求めます。たとえば、r が 5 の場合、考慮されるセルは次のようになります。
これは、デカルト座標 グラフ上に描かれた円です。セル(±3, ±4) と(±4, ±3) にはラベルが付けられています。12 個のセル (0, ±5)、(±5, 0)、(±3, ±4)、(±4, ±3) は円周上にあり、69 個のセルは 完全に円周内に 含まれているため、おおよその面積は 81 であり、81 / 5 2 = 3.24 であることから、 π は 約 r の値に対する結果を以下の表に示します。[ 89 ]
同様に、以下に示すπ のより複雑な近似値は、何らかの繰り返し計算を伴い、計算回数が増えるにつれて、より正確な近似値が得られる。
連分数 π には、明確なパターンを示さない単純な連分数 表現 [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...] の他に、単純な規則によって生成される多くの一般化された連分数 表現があり、これら 2 つもその 1 つです。
π = 3 + 1 2 6 + 3 2 6 + 5 2 6 + ⋱ {\displaystyle \pi ={3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+\ddots \,}}}}}}}} π = 4 1 + 1 2 3 + 2 2 5 + 3 2 7 + 4 2 9 + ⋱ = 3 + 1 2 5 + 4 2 7 + 3 2 9 + 6 2 11 + 5 2 13 + ⋱ {\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {1^{2}}{5+{\cfrac {4^{2}}{7+{\cfrac {3^{2}}{9+{\cfrac {6^{2}}{11+{\cfrac {5^{2}}{13+\ddots }}}}}}}}}}} マダヴァ・ライプニッツ級数 の残りの部分は、次のように一般化連分数で表すことができる。[ 90 ]
π = 4 ∑ n = 1 m （ − 1 ） n − 1 2 n − 1 + 2 （ − 1 ） m 2 m + 1 2 2 m + 2 2 2 m + 3 2 2 m + ⋱ （ m = 1 、 2 、 3 、 … ） {\displaystyle \pi =4\sum _{n=1}^{m}{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}+{\cfrac {2(-1)^{m}}{2m+{\cfrac {1^{2}}{2m+{\cfrac {2^{2}}{2m+{\cfrac {3^{2}}{2m+\ddots }}}}}}}}\qquad (m=1,2,3,\ldots )} マダヴァの補正項は
2 2 m + 1 2 2 m + 2 2 2 m = 4 m 2 + 1 4 m 3 + 5 m {\displaystyle {\frac {2}{2m+{\frac {1^{2}}{2m+{\frac {2^{2}}{2m}}}}}}=4{\frac {m^{2}+1}{4m^{3}+5m}}} よく知られている値 22 / 7 355 / 113 [ 91 ]
三角法
グレゴリー＝ライプニッツシリーズ
π = 4 ∑ n = 0 ∞ （ − 1 ） n 2 n + 1 = 4 （ 1 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + − ⋯ ） {\displaystyle \pi =4\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {(-1)^{n}}{2n+1}}=4\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+-\cdots \right)} これは、 x arctan (x)のべき級数です。収束が遅すぎて実用的ではありません。しかし、x の値が小さいほど、べき級数ははるかに速く収束します。 x {\displaystyle x} π {\displaystyle \pi } これは、マチン式のような公式 として知られる、有理接線を持つ小さな角度の和として現れます。
アークタンジェント 4 arctan 1 = π であることを知っているので、式は次のように簡略化できます。
π = 2 （ 1 + 1 3 + 1 ⋅ 2 3 ⋅ 5 + 1 ⋅ 2 ⋅ 3 3 ⋅ 5 ⋅ 7 + 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9 + 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9 ⋅ 11 + ⋯ ） = 2 ∑ n = 0 ∞ n ! （ 2 n + 1 ） ! ! = ∑ n = 0 ∞ 2 n + 1 n ! 2 （ 2 n + 1 ） ! = ∑ n = 0 ∞ 2 n + 1 （ 2 n n ） （ 2 n + 1 ） = 2 + 2 3 + 4 15 + 4 35 + 16 315 + 16 693 + 32 3003 + 32 6435 + 256 109395 + 256 230945 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=2\left(1+{\cfrac {1}{3}}+{\cfrac {1\cdot 2}{3\cdot 5}}+{\cfrac {1\cdot 2\cdot 3}{3\cdot 5\cdot 7}}+{\cfrac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}}+{\cfrac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11}}+\cdots \right)\\&=2\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {n!}{(2n+1)!!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {2^{n+1}n!^{2}}{(2n+1)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {2^{n+1}}{{\binom {2n}{n}}(2n+1)}}\\&=2+{\frac {2}{3}}+{\frac {4}{15}}+{\frac {4}{35}}+{\frac {16}{315}}+{\frac {16}{693}}+{\frac {32}{3003}}+{\frac {32}{6435}}+{\frac {256}{109395}}+{\frac {256}{230945}}+\cdots \end{aligned}}} 収束性は、10項増えるごとに少なくとも3桁増えるというものである。
π = 2 + 1 3 （ 2 + 2 5 （ 2 + 3 7 （ 2 + ⋯ ） ） ） {\displaystyle \pi =2+{\frac {1}{3}}\left(2+{\frac {2}{5}}\left(2+{\frac {3}{7}}\left(2+\cdots \right)\right)\right)} この数列は、ラビノウィッツとワゴンによる十進スピゴットアルゴリズム の基礎となっている。[ 92 ] もう一つの公式はπ {\displaystyle \pi }
π 2 k + 1 = アークタン 2 − 1 k − 1 1 k 、 k ≥ 2 、 {\displaystyle {\frac {\pi }{2^{k+1}}}=\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},\qquad \qquad k\geq 2,} どこ1 k = 2 + 1 k − 1 {\displaystyle a_{k}={\sqrt {2+a_{k-1}}}} 1 1 = 2 {\displaystyle a_{1}={\sqrt {2}}} オイラーの公式 [ 93 ]
アークタン （ x ） = ∑ n = 0 ∞ 2 2 n （ n ! ） 2 （ 2 n + 1 ） ! x 2 n + 1 （ 1 + x 2 ） n + 1 。 {\displaystyle \arctan(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}\;{\frac {x^{2n+1}}{(1+x^{2})^{n+1}}}.} あるいは、逆正接関数の以下の単純な展開級数を使用することもできます。
アークタン （ x ） = 2 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n − 1 1 n （ x ） 1 n 2 （ x ） + b n 2 （ x ） 、 {\displaystyle \arctan(x)=2\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {1}{2n-1}}{\frac {{{a}_{n}}\left(x\right)}{a_{n}^{2}\left(x\right)+b_{n}^{2}\left(x\right)}}},} どこ
1 1 （ x ） = 2 / x 、 b 1 （ x ） = 1 、 1 n （ x ） = 1 n − 1 （ x ） （ 1 − 4 / x 2 ） + 4 b n − 1 （ x ） / x 、 b n （ x ） = b n − 1 （ x ） （ 1 − 4 / x 2 ） − 4 1 n − 1 （ x ） / x 、 {\displaystyle {\begin{aligned}&a_{1}(x)=2/x,\\&b_{1}(x)=1,\\&a_{n}(x)=a_{n-1}(x)\,\left(1-4/x^{2}\right)+4b_{n-1}(x)/x,\\&b_{n}(x)=b_{n-1}(x)\,\left(1-4/x^{2}\right)-4a_{n-1}(x)/x,\end{aligned}}} おおよそπ {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } k {\displaystyle k}
定数π {\displaystyle \pi }
π 2 = ∑ n = 0 ∞ アークタン 1 F 2 n + 1 = アークタン 1 1 + アークタン 1 2 + アークタン 1 5 + アークタン 1 13 + ⋯ {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }\arctan {\frac {1}{F_{2n+1}}}=\arctan {\frac {1}{1}}+\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {1}{13}}+\cdots } そして
π 4 = ∑ k ≥ 2 アークタン 2 − 1 k − 1 1 k 、 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{k\geq 2}\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},} どこF n {\displaystyle F_{n}} n 番目のフィボナッチ数 です。ただし、これら 2 つの式はπ {\displaystyle \pi }
アークサイン 正三角形を観察し、
罪 （ π 6 ） = 1 2 {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)={\frac {1}{2}}} 収量
π = 6 罪 − 1 （ 1 2 ） = 6 （ 1 2 + 1 2 ⋅ 3 ⋅ 2 3 + 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 2 5 + 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 2 7 + ⋯ ） = 3 16 0 ⋅ 1 + 6 16 1 ⋅ 3 + 18 16 2 ⋅ 5 + 60 16 3 ⋅ 7 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ 3 ⋅ （ 2 n n ） 16 n （ 2 n + 1 ） = 3 + 1 8 + 9 640 + 15 7168 + 35 98304 + 189 2883584 + 693 54525952 + 429 167772160 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=6\sin ^{-1}\left({\frac {1}{2}}\right)=6\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 2^{3}}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5\cdot 2^{5}}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7\cdot 2^{7}}}+\cdots \!\right)\\&={\frac {3}{16^{0}\cdot 1}}+{\frac {6}{16^{1}\cdot 3}}+{\frac {18}{16^{2}\cdot 5}}+{\frac {60}{16^{3}\cdot 7}}+\cdots \!=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {3\cdot {\binom {2n}{n}}}{16^{n}(2n+1)}}\\&=3+{\frac {1}{8}}+{\frac {9}{640}}+{\frac {15}{7168}}+{\frac {35}{98304}}+{\frac {189}{2883584}}+{\frac {693}{54525952}}+{\frac {429}{167772160}}+\cdots \end{aligned}}} 収束性は、5項増えるごとに少なくとも3桁増えるというものである。
πを計算するための ベイリー・ボルウェイン・プルーフの公式 （BBP）は、1995年にサイモン・プルーフによって発見されました。スピゴットアルゴリズムを使用することで、この公式は π の任意の特定の16 [ 94 ]
π = ∑ n = 0 ∞ （ 4 8 n + 1 − 2 8 n + 4 − 1 8 n + 5 − 1 8 n + 6 ） （ 1 16 ） n {\displaystyle \pi =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{8n+1}}-{\frac {2}{8n+4}}-{\frac {1}{8n+5}}-{\frac {1}{8n+6}}\right)\left({\frac {1}{16}}\right)^{n}} 1996年、Plouffeはπの n 番目の小数桁を抽出するアルゴリズムを考案した（10進数演算を用いて10進数の桁を抽出する）。このアルゴリズムはO ( n³ (log n ) ³ ) という高速化を実現している。このアルゴリズムはn桁の 計算結果全体を保存するためのメモリを必要としないため、原理的にはポケット電卓を用いてπ の100万桁目を計算できる。[ 95 ]
π + 3 = ∑ n = 1 ∞ n 2 n n ! 2 （ 2 n ） ! {\displaystyle \pi +3=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n2^{n}n!^{2}}{(2n)!}}} Plouffeの公式の計算速度はFabrice Bellard によってO ( n2 ) に改善され、彼はπ を計算するための別の公式（ただし基数2の数学のみ）を 導出した。[ 96 ]
π = 1 2 6 ∑ n = 0 ∞ （ − 1 ） n 2 10 n （ − 2 5 4 n + 1 − 1 4 n + 3 + 2 8 10 n + 1 − 2 6 10 n + 3 − 2 2 10 n + 5 − 2 2 10 n + 7 + 1 10 n + 9 ） {\displaystyle \pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)}
効率的な方法 円周率π を表す他の多くの表現は、インドの数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャン によって開発され、発表された。彼はイギリスで数学者のゴッドフリー・ハロルド・ハーディ と長年にわたり共同研究を行った。
π の非常に長い十進展開は、通常、ガウス・ルジャンドルアルゴリズム とボルウェインアルゴリズム を用いて計算されます。 1976年に考案されたサラミン・ブレントアルゴリズム も使用されています。
1997年、デビッド・H・ベイリー 、ピーター・ボーウェイン 、サイモン・プルーフは、 πを 無限級数 として表す新しい公式 に関する論文（ベイリー、1997）を発表した。
π = ∑ k = 0 ∞ 1 16 k （ 4 8 k + 1 − 2 8 k + 4 − 1 8 k + 5 − 1 8 k + 6 ） 。 {\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right).} この式を使うと、前の k − 1 桁を計算することなく、π の k 番目の 2 進数または 16 進数を比較的簡単に計算できます。Bailey の Webサイト[ 97 ]に は、 導出と さまざま な プログラミング 。PiHex プロジェクトでは、 π の1000 兆 番目のビット(0 であることが判明)の周りの64ビットを計算しました。
ファブリス・ベラールは BBPをさらに改良し、自身の公式 を開発した。[ 98 ]
π = 1 2 6 ∑ n = 0 ∞ （ − 1 ） n 2 10 n （ − 2 5 4 n + 1 − 1 4 n + 3 + 2 8 10 n + 1 − 2 6 10 n + 3 − 2 2 10 n + 5 − 2 2 10 n + 7 + 1 10 n + 9 ） {\displaystyle \pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)} π の推定値を計算するために使用されるその他の式には、以下のようなものがあります。
π 2 = ∑ k = 0 ∞ k ! （ 2 k + 1 ） ! ! = ∑ k = 0 ∞ 2 k k ! 2 （ 2 k + 1 ） ! = 1 + 1 3 （ 1 + 2 5 （ 1 + 3 7 （ 1 + ⋯ ） ） ） {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)} ニュートン 。1 π = 2 2 9801 ∑ k = 0 ∞ （ 4 k ） ! （ 1103 + 26390 k ） （ k ! ） 4 396 4 k {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}} シュリニヴァーサ・ ラマヌジャンこれは非常に速く収束する。ラマヌジャンの研究は、2000年代初頭の時点でπを 計算するために使用されていた最速のアルゴリズムの基礎となっている。
1988年、デビッド・チュドノフスキー とグレゴリー・チュドノフスキーは 、さらに速く収束する級数（チュドノフスキーアルゴリズム ）を発見した。
1 π = 1 426880 10005 ∑ k = 0 ∞ （ 6 k ） ! （ 13591409 + 545140134 k ） （ 3 k ） ! （ k ! ） 3 （ − 640320 ） 3 k {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {1}{426880{\sqrt {10005}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}} 円周率πをn桁まで正確に計算するための様々なアルゴリズムの速度を、漸近的複雑度の降順で以下に示します。M(n)は、使用される乗算アルゴリズムの複雑度です。
プロジェクト
パイヘックス Pi Hexは、 数百台のコンピュータからなる分散ネットワークを用いて、π の3つの特定の2進数桁を計算するプロジェクトでした。2000年、2年後、このプロジェクトは5兆番目（5× 10¹² ）、40兆番目（40×10¹² ） 、そして1000兆番目（10¹⁵ ）のビットの計算を完了しました。これら3つのビットはすべて、2進数で0であることが判明しました。
π を計算するためのソフトウェア長年にわたり、パーソナルコンピュータ 上でπを 多桁 まで計算するためのプログラムがいくつか作成されてきた。
特殊用途 円周率π の計算専用プログラムは、汎用数学ソフトウェアよりも優れたパフォーマンスを発揮する可能性がある。これらのプログラムは、非常に長時間を要し、メモリを大量に消費する計算を容易にするために、通常、チェックポイント処理 と効率的なディスクスワッピングを実装している。
[ 99 ] によるTachusPi は 、彼自身が 2009 年に円周率の桁数の世界記録を計算するために使用したプログラムです。 [ 48 ]による y -cruncher 桁数の世界記録 を計算するために使用してきたプログラムです。yは Xavier Gourdon によるPiFast は、2003 年に Microsoft Windows で最速のプログラムでした。作者 GHz Pentium 4 で 3.5 秒で 100 万桁を計算できます。[ 100 ] e √2 9 ) 桁以上を計算できます。このツールは、 オーバークロック コミュニティで人気のベンチマークです。PiFast 4.4 はStu の Pi ページから入手できます。PiFast 4.3 は Gourdon のページから入手できます。Steve Pagliarulo氏がWindows向けに開発 したQuickPiは 、 e √2 √3 金田研究室[ 101 ] Super PI から入手できます。
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![\displaystyle {\sqrt[{3}]{31}}=3.1413^{+}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb4682bcfac2e718b84756b3aa1036125b2ca3b5)
![{\displaystyle {\sqrt[{5}]{306}}=3.14155^{+},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f2dcc6fc9c2a7cfc06334d17efd4cecdb28569b)
![{\displaystyle {\sqrt[{4}]{3^{4}+2^{4}+{\frac {1}{2+({\frac {2}{3}})^{2}}}}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.14159\ 2652^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e25fb9c5d2e9c0ce5b4d226d7e77d32098dc4949)
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![{\displaystyle {\frac {1}{10}}\ln \left({\frac {2^{21}}{({\sqrt[{4}]{5}}-1)^{24}}}+24\right)=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 9^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f783bc7f03a4383879bb2888e326babaeb8e85cb)
