ヒーグナー数

数論において、ヒーグナー数（コンウェイとガイによって名付けられた）は、虚数二次体が類数1を持つような平方でない正の整数 dである。同様に、の代数的整数環は一意に因数分解できる。^[1] ${\displaystyle \mathbb {Q} \left[{\sqrt {-d}}\right]}$${\displaystyle \mathbb {Q} \left[{\sqrt {-d}}\right]}$

このような数の決定は類数問題の特殊なケースであり、数論におけるいくつかの顕著な結果の基礎となっています。

(ベーカー-)シュタルク-ヒーグナー定理によれば、ヒーグナー数は正確に 9 個存在します。

この結果はガウスによって推測され、 1952年にカート・ヒーグナーによって小さな欠陥を除いて証明された。アラン・ベイカーとハロルド・スタークは1966年に独立してこの結果を証明し、スタークはさらにヒーグナーの証明の欠陥は小さいことを示唆した。^[2]

n  = 0, ..., 39 に対して（異なる）素数を与えるオイラーの素数生成多項式は、ヒーグナー数 163 = 4 · 41 − 1 と関連しています。 $${\displaystyle n^{2}+n+41,}$$

ラビノウィッツ^{[3]は、この二次式の}判別式がヒーグナー数の負である 場合に限り、が 素数を与えることを証明した 。$${\displaystyle n^{2}+n+p}$$${\displaystyle n=0,\dots ,p-2}$ ${\displaystyle 1-4p}$

(は を生成するので が最大になることに注意してください。) ${\displaystyle p-1}$${\displaystyle p^{2}}$${\displaystyle p-2}$

1、2、3は必要な形式ではないため、機能するヒーグナー数は7、11、19、43、67、163となり、2、3、5、11、17、41のオイラー形式の素数生成関数が得られる。これらの後者の数は、F.ル・リオネによってオイラーの幸運な数と呼ばれている。^[4]

ラマヌジャン定数は超越数^[5] であり、ほぼ整数である（事実上1である）^[6]。${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}}$ $${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262\,537\,412\,640\,768\,743.999\,999\,999\,999\,25\ldots \approx 640\,320^{3}+744.}$$

この数は1859年に数学者シャルル・エルミートによって発見されました。^[7] 1975年のサイエンティフィック・アメリカン誌のエイプリルフール記事で、^[8]「数学ゲーム」コラムニストのマーティン・ガードナーは、この数は実は整数であり、インドの数学の天才シュリニヴァーサ・ラマヌジャンが予言していたという偽りの主張をしました。そのため、この数はファインマン点と同じくらい偽りの起源を持っています。

この一致は複素乗算とj 不変量のq展開によって説明されます。

以下では、j(z) は複素数zのj 不変量を表します。簡単に言うと、はd がHeegner 数であり、 q展開 によって整数になります 。 ${\displaystyle \textstyle j\left({\frac {1+{\sqrt {-d}}}{2}}\right)}$$${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {d}}}\approx -j\left({\frac {1+{\sqrt {-d}}}{2}}\right)+744}$$

が二次無理数である場合、そのj不変量は次数の代数的整数であり、の類数であり、それが満たす最小（モニック積分）多項式は「ヒルベルト類多項式」と呼ばれます。したがって、虚二次拡大が類数 1 を持つ場合（したがってdは Heegner 数）、j不変量は整数です。 ${\displaystyle \tau}$${\displaystyle j(\tau )}$${\displaystyle \left|\mathrm {Cl} {\bigl (}\mathbf {Q} (\tau ){\bigr )}\right|}$${\displaystyle \mathbf {Q} (\tau )}$${\displaystyle \mathbf {Q} (\tau )}$

jのq展開は、そのフーリエ級数展開が の項によるローラン級数として表され、次のように始まります。 ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$$${\displaystyle j(\tau )={\frac {1}{q}}+744+196\,884q+\cdots .}$$

係数はとして漸近的に増加し 、低次の係数は よりもゆっくりと増加するため、 に対して、j は最初の 2 つの項によって非常によく近似されます。 と設定するとが得られます 。 つまり 、 です。 または、 ここで誤差の線形項は であり、 が上記の範囲内で整数になる 理由を説明しています。 ${\displaystyle c_{n}}$$${\displaystyle \ln(c_{n})\sim 4\pi {\sqrt {n}}+O{\bigl (}\ln(n){\bigr )},}$$${\displaystyle 200\,000^{n}}$${\displaystyle \textstyle q\ll {\frac {1}{200\,000}}}$${\displaystyle \textstyle \tau ={\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}}$$${\displaystyle q=-e^{-\pi {\sqrt {163}}}\quad \therefore \quad {\frac {1}{q}}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}.}$$$${\displaystyle j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=\left(-640\,320\right)^{3},}$$$${\displaystyle \left(-640\,320\right)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right).}$$$${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=640\,320^{3}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)}$$$${\displaystyle {\frac {-196\,884}{e^{\pi {\sqrt {163}}}}}\approx {\frac {-196\,884}{640\,320^{3}+744}}\approx -0.000\,000\,000\,000\,75}$$${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}}$

チュドノフスキー兄弟は1987 年に、 の証明には という事実が使われていることを 発見しました。 同様の公式については、ラマヌジャン-佐藤級数を参照してください。 $${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640\,320^{\frac {3}{2}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3\,344\,418k+13\,591\,409)}{(3k)!(k!)^{3}(-640\,320)^{3k}}},}$$$${\displaystyle j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=-640\,320^{3}.}$$

4つの最大のヒーグナー数については、次の近似値が得られる^[9]。 $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx {\color {white}000\,0}96^{3}+744-0.22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx {\color {white}000\,}960^{3}+744-0.000\,22\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx {\color {white}00}5\,280^{3}+744-0.000\,0013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 640\,320^{3}+744-0.000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}}$$

あるいは、^{[10] で} 平方数となる理由は、特定のアイゼンシュタイン級数によるものである。ヒーグナー数では、ほぼ整数は得られず、 も注目に値するものではない。^[11] 整数j不変量は因数分解可能であり、次の式に従う。 $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 12^{3}\left(3^{2}-1\right)^{3}{\color {white}00}+744-0.22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 12^{3}\left(9^{2}-1\right)^{3}{\color {white}00}+744-0.000\,22\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 12^{3}\left(21^{2}-1\right)^{3}{\color {white}0}+744-0.000\,0013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 12^{3}\left(231^{2}-1\right)^{3}+744-0.000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}}$$${\displaystyle d<19}$${\displaystyle d=19}$

$${\displaystyle 12^{3}\left(n^{2}-1\right)^{3}=\left(2^{2}\cdot 3\cdot (n-1)\cdot (n+1)\right)^{3},}$$

そして、 $${\displaystyle {\begin{aligned}j\left({\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\right)&={\color {white}000\,0}-96^{3}=-\left(2^{5}\cdot 3\right)^{3}\\j\left({\frac {1+{\sqrt {-43}}}{2}}\right)&={\color {white}000\,}-960^{3}=-\left(2^{6}\cdot 3\cdot 5\right)^{3}\\j\left({\frac {1+{\sqrt {-67}}}{2}}\right)&={\color {white}00}-5\,280^{3}=-\left(2^{5}\cdot 3\cdot 5\cdot 11\right)^{3}\\j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)&=-640\,320^{3}=-\left(2^{6}\cdot 3\cdot 5\cdot 23\cdot 29\right)^{3}.\end{aligned}}}$$

これらの超越数は、整数（単純に1次の代数的数）によって近似されるだけでなく、3次の代数的数によっても近似される。^[12] $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx x^{24}-24.000\,31;&x^{3}-2x-2&=0\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,31;&x^{3}-2x^{2}-2&=0\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,0019;&x^{3}-2x^{2}-2x-2&=0\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,000\,000\,0011;&\quad x^{3}-6x^{2}+4x-2&=0\end{aligned}}}$$

三次関数の根は、24乗根を含むモジュラー関数であるデデキントのイータ関数 η（τ ）の商で正確に与えられ、近似値の24を説明しています。また、4次の代数的数で近似することもできます。^[13] $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 3^{5}\left(3-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {96}{24}}+1{\sqrt {3\cdot 19}}\right)}}\right)^{-2}-12.000\,06\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 3^{5}\left(9-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {960}{24}}+7{\sqrt {3\cdot 43}}\right)}}\right)^{-2}-12.000\,000\,061\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 3^{5}\left(21-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {5\,280}{24}}+31{\sqrt {3\cdot 67}}\right)}}\right)^{-2}-12.000\,000\,000\,36\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 3^{5}\left(231-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {640\,320}{24}}+2\,413{\sqrt {3\cdot 163}}\right)}}\right)^{-2}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \end{aligned}}}$$

括弧内の式を表す場合（例： ）、それはそれぞれ4次方程式を満たす。${\displaystyle x}$${\displaystyle x=3-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {96}{24}}+1{\sqrt {3\cdot 19}}\right)}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}-{\color {white}00}4\cdot 3x^{3}+{\color {white}000\,0}{\tfrac {2}{3}}(96+3)x^{2}-{\color {white}000\,000}{\tfrac {2}{3}}\cdot 3(96-6)x-3&=0\\x^{4}-{\color {white}00}4\cdot 9x^{3}+{\color {white}000\,}{\tfrac {2}{3}}(960+3)x^{2}-{\color {white}000\,00}{\tfrac {2}{3}}\cdot 9(960-6)x-3&=0\\x^{4}-{\color {white}0}4\cdot 21x^{3}+{\color {white}00}{\tfrac {2}{3}}(5\,280+3)x^{2}-{\color {white}000}{\tfrac {2}{3}}\cdot 21(5\,280-6)x-3&=0\\x^{4}-4\cdot 231x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(640\,320+3)x^{2}-{\tfrac {2}{3}}\cdot 231(640\,320-6)x-3&=0\\\end{aligned}}}$$

整数が再び現れること、および 適切な分数累乗で、まさにj不変量になるという事実に注目してください。 ${\displaystyle n=3,9,21,231}$$${\displaystyle {\begin{aligned}2^{6}\cdot 3\left(-\left(1-{\tfrac {96}{24}}\right)^{2}+1^{2}\cdot 3\cdot 19\right)&=96^{2}\\2^{6}\cdot 3\left(-\left(1-{\tfrac {960}{24}}\right)^{2}+7^{2}\cdot 3\cdot 43\right)&=960^{2}\\2^{6}\cdot 3\left(-\left(1-{\tfrac {5\,280}{24}}\right)^{2}+31^{2}\cdot 3\cdot 67\right)&=5\,280^{2}\\2^{6}\cdot 3\left(-\left(1-{\tfrac {640\,320}{24}}\right)^{2}+2413^{2}\cdot 3\cdot 163\right)&=640\,320^{2}\end{aligned}}}$$

同様に6次の代数的数の場合、 $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6.000\,010\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6.000\,000\,010\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6.000\,000\,000\,061\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}}$$

ここで、xはそれぞれ6次方程式の適切な根によって与えられ、 $${\displaystyle {\begin{aligned}5x^{6}-{\color {white}000\,0}96x^{5}-10x^{3}+1&=0\\5x^{6}-{\color {white}000\,}960x^{5}-10x^{3}+1&=0\\5x^{6}-{\color {white}00}5\,280x^{5}-10x^{3}+1&=0\\5x^{6}-640\,320x^{5}-10x^{3}+1&=0\end{aligned}}}$$

j不変量が再び現れる。これらの 6 次方程式は代数的であるだけでなく、拡大上の2 つの 3次方程式に因数分解できるので、根号でも解くことができる（最初の方程式はさらに 2 つの 2次方程式に因数分解される）。これらの代数的近似は、デデキントのイータ商で正確に表現できる。例として、 とすると、 ${\displaystyle \mathbb {Q} {\sqrt {5}}}$${\displaystyle \textstyle \tau ={\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\frac {\pi i}{24}}\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{24}-24.000\,000\,000\,000\,001\,05\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\frac {\pi i}{12}}\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{12}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\frac {\pi i}{6}}\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right)^{6}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}}$$

ここで、イータ商は上記で与えられた代数的数です。

虚数二次体が クラス数2を持つ3つの数88、148、232は、ヘーグナー数ではないが、ほぼ整数に関して同様の性質を持っている。例えば 、 ${\displaystyle \mathbb {Q} \left[{\sqrt {-d}}\right]}$$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {88}}}+8\,744&\approx {\color {white}00\,00}2\,508\,952^{2}-0.077\dots \\e^{\pi {\sqrt {148}}}+8\,744&\approx {\color {white}00\,}199\,148\,648^{2}-0.000\,97\dots \\e^{\pi {\sqrt {232}}}+8\,744&\approx 24\,591\,257\,752^{2}-0.000\,0078\dots \\\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {22}}}-24&\approx {\color {white}00}\left(6+4{\sqrt {2}}\right)^{6}+0.000\,11\dots \\e^{\pi {\sqrt {37}}}+24&\approx \left(12+2{\sqrt {37}}\right)^{6}-0.000\,0014\dots \\e^{\pi {\sqrt {58}}}-24&\approx \left(27+5{\sqrt {29}}\right)^{6}-0.000\,000\,0011\dots \\\end{aligned}}}$$

奇数の素数 pが与えられたとき、（ なのでこれで十分である）について計算すると、 pがヒーグナー数である場合にのみ、連続する合成数とそれに続く連続する素数が得られる。 ^[14]${\displaystyle k^{2}\mod p}$${\displaystyle \textstyle k=0,1,\dots ,{\frac {p-1}{2}}}$${\displaystyle \left(p-k\right)^{2}\equiv k^{2}\mod p}$

詳細については、リチャード・モリンの「連続する個別の素数と複素二次体の類群を生成する二次多項式」を参照。^[15]

• ワイスタイン、エリック・W.「ヘグナー数」。マスワールド。
• OEISシーケンス A003173 (Heegner 数: 一意に因数分解される虚数二次体)
• Dorian Goldfeld による虚数二次体に対するガウスの類数問題: 問題の詳細な歴史。
• アレックス・クラーク。「163 とラマヌジャン定数」。Numberphile。ブレイディ・ハラン。2013 年 5 月 16 日のオリジナルからアーカイブ。2013年 4 月 2 日閲覧。