ガウス面

球面ガウス面は、以下のいずれかによって生成される電場または磁束を求める際に使用されます。^{[ 3 ]}

• 点電荷
• 均一に分布した電荷の球殻
• 球対称性を持つその他の電荷分布

球状のガウス面は、電荷分布と同心円状になるように選択される。

例として、厚さが無視できる帯電球殻Sを考えます。この球殻Sには電荷Qが均一に分布しており、半径はRです。ガウスの法則を用いて、帯電球殻の中心から距離rの位置における合成電場Eの大きさを求めることができます。半径r < Rの球状ガウス面の場合、囲まれた電荷はゼロであることがすぐにわかります。したがって、正味のフラックスはゼロであり、ガウス面上の電場の大きさも0になります（ガウスの法則でQ _A = 0とすることで、ここでQ _Aはガウス面によって囲まれた電荷です）。

同じ例で、シェルの外側のより大きなガウス面（r > R）を使用すると、ガウスの法則によりゼロでない電場が生成されます。これは次のように決定されます。

球面Sから出るフラックスは次のとおりである。

${\displaystyle \Phi _{E}=}$${\displaystyle \scriptstyle \partial S}$${\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\iint _{c}EdA\cos 0^{\circ }=E\iint _{S}dA}$

半径rの球の表面積は $${\displaystyle \iint _{S}dA=4\pi r^{2}}$$ これはつまり $${\displaystyle \Phi _{E}=E4\pi r^{2}}$$

ガウスの法則によれば、フラックスもまた $${\displaystyle \Phi _{E}={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}}$$最後に、 Φ _E の式を等式で結ぶと、位置rにおける電場Eの大きさが得られます。 $${\displaystyle E4\pi r^{2}={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac {Q_{A}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}.}$$

この重要な結果は、電荷の球状分布は、その分布の外側から見ると点電荷として振る舞うことを示しており、これはまさにクーロンの法則の検証である。そして、前述のとおり、外部の電荷は考慮されない。

円筒形のガウス面は、以下のいずれかによって生成される電場または磁束を求める際に使用されます。^{[ 3 ]}

• 無限に長い均一な電荷の線
• 均一な電荷を持つ無限平面
• 均一な電荷を持つ無限に長い円筒

例として、「無限遠線電荷近傍の電場」を以下に示す。

電荷密度（単位長さあたりの電荷）λを持つ無限線電荷から距離rにある点Pを考えます。回転軸が線電荷である円筒形の閉曲面を想像してください。円筒の長さをhとすると、円筒内に囲まれた電荷は次のようになります。 $${\displaystyle q=\lambda h,}$$ ここで、qはガウス面内に囲まれた電荷です。図に示すように、 3 つの面a、b、cがあります。各面a、b、c上の微小ベクトル面積はd Aです。

磁束通過は、以下の3つの要素から構成される。

${\displaystyle \Phi _{E}=}$${\displaystyle \scriptstyle A}$${\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\iint _{a}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\iint _{b}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\iint _{c}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} }$

面aと面bでは、EとdAは垂直になります。面cでは、図に示すように、 EとdAは平行になります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{E}&=\iint _{a}EdA\cos 90^{\circ }+\iint _{b}EdA\cos 90^{\circ }+\iint _{c}EdA\cos 0^{\circ }\\&=E\iint _{c}dA\end{aligned}}}$$

円筒の表面積は $${\displaystyle \iint _{c}dA=2\pi rh}$$ これはつまり $${\displaystyle \Phi _{E}=E2\pi rh.}$$

ガウスの法則により $${\displaystyle \Phi _{E}={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}}$$Φ _E について等式を立てると、 $${\displaystyle E2\pi rh={\frac {\lambda h}{\varepsilon _{0}}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}r}}}$$

この表面は、均一な電荷密度を持つ無限の電荷シート、または有限の厚さを持つ電荷スラブによる電場を決定するために最もよく使用されます。ピルボックスは円筒形をしており、3つの構成要素から構成されていると考えることができます。すなわち、円筒の一端にある面積πR²^のディスク、もう一方の端にある同じ面積のディスク、および円筒の側面です。表面の各構成要素を通過する電気束の合計は、ガウスの法則に従って、ピルボックスの囲まれた電荷に比例します。シートに近い電場は一定と近似できるため、ピルボックスは、電場の両端にあるディスクに電場線が垂直な角度で貫通し、円筒の側面が電場線と平行になるように配置されます。