磁気回路

電気回路において、オームの法則は起電力と電圧の関係を表す経験的な法則である。${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ 要素全体に適用され、現在の${\displaystyle I}$それはその要素を通して生成されます。以下のように記述されます。 $${\displaystyle {\mathcal {E}}=IR.}$$ どこで${\displaystyle R}$は、その材料の電気抵抗です磁気回路で使用されるオームの法則に対応する法則があります。この法則は、ジョン・ホプキンソンにちなんでホプキンソンの法則と呼ばれることが多いですが、実際には1873年にヘンリー・オーガスタス・ローランドによって先に定式化されました。 ^{[ 3 ]}この法則は、次のことを述べています。 ^{[ 4 ] [ 5 ]}$$\displaystyle {\mathcal {F}}=\Phi {\mathcal {R}}.}$$ どこ$\displaystyle {\mathcal {F}}}$は、磁性体にかかる起磁力（MMF）です。${\displaystyle \Phi }$は磁性素子を通過する磁束であり、$\displaystyle {\mathcal {R}}}$は、その要素の磁気抵抗です。（この関係は、経験的な関係によるものであることが後ほど示されます。）${\displaystyle \mathbf {H} }$⁠ -場と磁場⁠${\displaystyle \mathbf {B} }$⁠、 ⁠${\displaystyle \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} }$⁠、そこで⁠${\displaystyle \mu }$（は材料の透磁率です）。オームの法則と同様に、ホプキンソンの法則は、一部の材料に有効な経験式として解釈することも、磁気抵抗の定義として解釈することもできます。

ホプキンソンの法則は、電力とエネルギーの流れをモデル化するという点では、オームの法則と正しく類推できるものではありません。特に、電気抵抗における散逸のように、磁気抵抗には電力散逸は伴いません。この点で電気抵抗の真の類推となる磁気抵抗は、起磁力と磁束の変化率の比として定義されます。ここで、磁束の変化率は電流を表しており、オームの法則の類推は次のようになります。 $${\displaystyle {\mathcal {F}}={\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}R_{\mathrm {m} },}$$ どこ${\displaystyle R_{\mathrm {m} }}$は磁気抵抗を表します。この関係は、ジャイレータ・キャパシタモデルと呼ばれる電気磁気アナロジーの一部であり、リラクタンスモデルの欠点を克服することを目的としています。ジャイレータ・キャパシタモデルは、複数のエネルギー領域にわたるシステムをモデル化するために使用される、より広範な互換性のあるアナロジー群の一部です。

磁気抵抗、または磁気リラクタンスは、電気回路における抵抗に類似しています（ただし、磁気エネルギーを散逸させるわけではありません）。電場が電流を最小抵抗の経路に沿って流すのと同様に、磁場は磁束を最小磁気リラクタンスの経路に沿って流します。これは、電気抵抗と同様に、スカラー量であり、示量性を持つ量です。

全磁気抵抗は、受動磁気回路における起磁力と、その回路における磁束の比に等しい。交流磁場においては、磁気抵抗は正弦波起磁力と磁束の振幅値の比となる。（フェーザを参照）

その定義は次のように表現できる。 $${\displaystyle {\mathcal {R}}={\frac {\mathcal {F}}{\Phi }},}$$ どこ$\displaystyle {\mathcal {R}}}$はアンペアターン/ウェーバー( A⋅t⋅Wb ⁻¹ )で表される磁気抵抗であり、これはターン/ヘンリー( t⋅H ⁻¹ )に相当する単位です。

磁束は常に閉じたループを形成します。これはマクスウェル方程式で説明できますが、ループの経路は周囲の物質の磁気抵抗に依存します。磁束は磁気抵抗が最も低い経路に集中します。空気や真空は磁気抵抗が高く、軟鉄などの磁化しやすい物質は磁気抵抗が低くなります。磁気抵抗の低い物質に磁束が集中すると、強力な一時的な磁極が形成され、物質を磁束の高い領域へと移動させる機械的な力が生じるため、常に引力（吸引力）として作用します。

抵抗の逆数は透過性と呼ばれる。 $${\displaystyle {\mathcal {P}}={\frac {1}{\mathcal {R}}}.}$$

そのSI組立単位はヘンリー（H ）です（インダクタンスの単位と同じですが、この2つの概念は異なります）。

磁気的に均一な磁気回路素子の磁気抵抗は、次のように計算できます。 $${\displaystyle {\mathcal {R}}={\frac {l}{\mu A}}.}$$ どこ

• ⁠${\displaystyle l}$⁠は要素の長さです。
• ${\textstyle \mu =\mu _{\mathrm {r} }\mu _{0}}$材料の透過率（${\displaystyle \mu _{\mathrm {r} }}$は材料の相対透過率（無次元）であり、${\displaystyle \mu _{0}}$は自由空間の透過率です。
• ⁠${\displaystyle A}$は回路の断面積です。

これは、材料の電気抵抗の式に似ており、透磁率は導電率に相当します。透磁率の逆数は磁気抵抗率と呼ばれ、抵抗率に相当します。透磁率が低い、より長く薄い形状は、磁気抵抗率を高くします。電気回路における低抵抗と同様に、磁気抵抗率が低い方が一般的に好ましいとされています。

以下の表は、電気回路理論と磁気回路理論の数学的な類似性をまとめたものです。これは数学的な類似性であり、物理的な類似性ではありません。同じ行にある項目は同じ数学的な役割を持ちますが、両理論の物理的性質は大きく異なります。例えば、電流は電荷の流れを表すのに対し、磁束は量の流れを表すものではありません。

抵抗・磁気抵抗モデルには限界がある。電気回路と磁気回路は、ホプキンソンの法則とオームの法則の数学的な類似性から表面上似ているに過ぎない。磁気回路には、その構築において考慮しなければならない重要な違いがある。

• 電流は粒子（電子）の流れを表し、電力を運びます。その電力の一部または全部は、抵抗によって熱として消費されます。磁場は何かの「流れ」を表すものではなく、抵抗によって電力が消費されることもありません。
• 一般的な電気回路では、電流は回路内に限定され、「漏れ」はほとんどありません。一方、一般的な磁気回路では、磁気透磁率が物質の外部にも存在するため（真空透磁率を参照）、磁場のすべてが磁気回路内に限定されるわけではありません。そのため、磁気コアの外部空間にはかなりの「漏れ磁束」が存在する可能性があり、これを考慮に入れる必要がありますが、計算はしばしば困難です。
• 最も重要な点は、磁気回路は非線形であるということです。磁気回路の磁気抵抗は、抵抗のように一定ではなく、磁場によって変化します。高磁束では、磁気回路のコアに使用される強磁性材料が飽和し、それ以上の磁束の増加が制限されるため、このレベルを超えると磁気抵抗は急速に増加します。さらに、強磁性材料はヒステリシス現象を起こすため、磁束は瞬間的な起磁力だけでなく、起磁力の履歴にも依存します。磁束源がオフになった後も、強磁性材料には残留磁気が残り、起磁力のない磁束が発生します。

磁気回路は、電気回路の法則に似た他の法則に従います。たとえば、全磁気抵抗${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\mathrm {T} }}$ためらいの${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}}$⁠、 ⁠${\displaystyle {\mathcal {R}}_{2}}$⁠、 ...シリーズは次のとおりです。 $${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\mathrm {T} }={\mathcal {R}}_{1}+{\mathcal {R}}_{2}+\dotsm }$$

これはアンペールの法則からも導かれ、直列接続された抵抗の加算に関するキルヒホッフの電圧法則（KVL）に類似している。また、磁束の合計は${\displaystyle \Phi _{1}}$⁠、 ⁠${\displaystyle \Phi _{2}}$⁠、 ...どのノードにおいても常にゼロになります。 $${\displaystyle \Phi _{1}+\Phi _{2}+\dotsm =0.}$$

これはガウスの法則から導かれるものであり、電気回路の解析におけるキルヒホッフの電流法則（KCL）に類似している。

上記の3つの法則を合わせると、電気回路と同様の方法で磁気回路を解析するための完全な体系が構成されます。2種類の回路を比較すると、次のことがわかります。

• 抵抗に相当するもの${\displaystyle R}$躊躇は​​${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\mathrm {m} }}$⁠ .
• 現在の${\displaystyle I}$磁束は​​${\displaystyle \Phi }$⁠ .
• 電圧に相当するもの${\displaystyle V}$磁気起電力​${\displaystyle {\mathcal {F}}}$⁠ .

磁気回路は、純粋な電源/抵抗回路に対するキルヒホッフの電圧法則の磁気版を適用することで、各分岐の磁束を求めることができます。具体的には、KVLではループに印加される電圧励起はループ周囲の電圧降下（抵抗×電流）の合計に等しいとされていますが、磁気版では、起磁力（アンペアターン励起によって得られる）はループの残りの部分における起磁力降下（磁束と磁気抵抗の積）の合計に等しいとされています。（複数のループがある場合、各分岐の電流は行列方程式によって求めることができます。これは、ループ解析でメッシュ回路の分岐電流の行列解を求めるのと同様です。その後、採用された符号規約とループの向きに応じて、構成ループ電流を加算および/または減算することで、個々の分岐電流が得られます。 ）アンペールの法則によれば、励起は電流と完全なループの数の積であり、アンペアターンで測定されます。より一般的に言うと次のようになります。   $${\displaystyle {\mathcal {F}}=NI=\oint \mathbf {H} \cdot \mathop {} \!\mathrm {d} {\boldsymbol {l}}.}$$

ストークスの定理により、の閉線積分は${\displaystyle \mathbf {H} \cdot \mathop {} \!\mathrm {d} {\boldsymbol {l}}}$輪郭に沿った は回転の開面積分に等しい${\displaystyle \mathbf {H} \cdot \mathop {} \!\mathrm {d} \mathbf {A} }$閉じた輪郭で囲まれた表面全体にわたって。マクスウェル方程式から、${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} }$⁠、 の閉線積分⁠${\displaystyle \mathbf {H} \cdot \mathop {} \!\mathrm {d} {\boldsymbol {l}}}$表面を通過する全電流を評価します。これは励起に等しくなります。${\displaystyle NI}$また、表面を通過する電流も測定し、エネルギーを保存する閉鎖系では表面を通過する正味の電流の流れがゼロアンペアターンであることを検証します。

磁束が単純なループ内に限定されないような、より複雑な磁気システムは、マクスウェル方程式を用いて第一原理から解析する必要がある。