ベクトル領域

3次元 幾何学とベクトル計算では、面積ベクトルは面積量と方向を組み合わせたベクトルであり、 3次元の方向付けられた領域を表します。

3 次元の境界 のあるすべての表面は、ベクトル面積と呼ばれる固有の面積ベクトルに関連付けられます。これは表面法線の表面積に等しく、通常の (スカラー)表面積とは異なります。

ベクトル面積は、2 次元の符号付き面積を 3 次元に一般化したものと考えることができます。

スカラー面積Sと単位法線 n̂の有限平面の場合、ベクトル面積S は面積でスケールされた単位法線として定義されます。 $${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {\hat {n}} S}$$

平坦な面領域の集合 S i から構成される有向面Sの場合_、面のベクトル領域は次のように表されます 。 ここで、n̂ _iは領域S _iに対する単位法線ベクトルです。 $${\displaystyle \mathbf {S} =\sum _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}S_{i}}$$

境界があり、方向が定められた曲面が十分に良好な場合、ベクトル面積を定義することができます。まず、表面を微小要素に分割します。各微小要素は実質的に平坦です。面積の各微小要素には、やはり微小な面積ベクトルがあります。 ここで、n̂はdSに垂直な局所単位ベクトルです。積分すると、表面のベクトル面積が得られます。 $${\displaystyle d\mathbf {S} =\mathbf {\hat {n}} dS}$$$${\displaystyle \mathbf {S} =\int d\mathbf {S} }$$

表面のベクトル面積は、表面が最大となる平面における（符号付きの）投影面積または「影」として解釈できます。その方向は、その平面の法線によって決まります。

曲面やファセット面（非平面）では、ベクトル面積の大きさは実際の表面積よりも小さくなります。極端な例として、閉じた曲面は任意の大きさの面積を持つことができますが、そのベクトル面積は必ずゼロになります。^{[1]境界を共有する曲面は面積が大きく異なる場合がありますが、ベクトル面積は同じである必要があります。ベクトル面積は境界によって完全に決定されます。これらは}ストークスの定理の結果です。

平行四辺形のベクトル面積は、その四辺形を張る 2 つのベクトルの外積で求められます。つまり、同じベクトルで形成される三角形の (ベクトル) 面積の 2 倍です。一般に、境界が直線セグメントの連続で構成されている表面( 2 次元の多角形に類似) のベクトル面積は、表面の三角形化に対応する一連の外積を使用して計算できます。これは、靴ひも公式を 3 次元に一般化したものです。

適切に選択されたベクトル場に対してストークスの定理を適用すると、ベクトル領域の境界積分を導くことができます。 ここで、 はSの境界、つまり 1 つ以上の有向閉空間曲線です。これは、グリーンの定理を使用した2 次元の面積計算に類似しています。 $${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{2}}\oint _{\partial S}\mathbf {r} \times d\mathbf {r} }$$${\displaystyle \partial S}$

面積ベクトルは、表面を通るベクトル場のフラックスを決定するときなど、表面積積分を計算するときに使用されます。フラックスは、場と（無限小）面積ベクトルのドット積の積分によって与えられます。場が表面上で一定の場合、積分は場と表面のベクトル面積のドット積に簡略化されます。

平面への投影面積は、ベクトル面積 S とターゲット平面の単位法線 m̂ のドット積で与えられます。たとえば、xy平面への投影 面積は、ベクトル面積のz成分に等しく、また、 θ が平面法線n̂とz軸の間の角度で ある場合にも等しくなります。 $${\displaystyle A_{\Parallel }=\mathbf {S} \cdot {\hat {\mathbf {m} }}}$$$${\displaystyle \mathbf {S} _{z}=\left|\mathbf {S} \right|\cos \theta }$$

• 任意の次元数の方向付けられた領域を表すバイベクトル
• ベクトル面積の直交成分への分解に関するデ・グアの定理
• クロス積
• 表面法線
• 表面積分