フレネル方程式

入射波の2つの異なる直線偏光成分に対して、2組のフレネル係数が存在します。あらゆる偏光状態は2つの直交する直線偏光の組み合わせに分解できるため、これはあらゆる問題に対して十分です。同様に、無偏光（または「ランダム偏光」）光は、2つの直線偏光それぞれに等しい量のパワーを持ちます。

s偏光とは、波の電場が入射面（以下の導出ではz方向）に垂直に偏光している状態を指し、この場合、磁場は入射面内にあります。p偏光とは、電場が入射面（以下の導出ではxy平面）に偏光している状態を指し、この場合、磁場は入射面に垂直です。偏光成分の「s」と「p」という名称は、ドイツ語の「senkrecht」（垂直または法線）と「parallel」（入射面に平行）に由来します。

反射と透過は偏光に依存しますが、垂直入射（θ = 0）では両者の区別がないため、すべての偏光状態は単一のフレネル係数によって決定されます（そして、これが当てはまる別の特殊なケースについては後述します）。

上記のr _sの式で、${\displaystyle n_{2}=n_{1}\sin \theta _{\text{i}}/\sin \theta _{\text{t}}}$（スネルの法則）分子と分母に⁠ 1 / n ₁ ⁠ sin θ _tを掛けると、^{[ 10 ] [ 11 ]}が得られます。 $${\displaystyle r_{\text{s}}=-{\frac {\sin(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}{\sin(\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})}}.}$$

r _pの式についても同様に行うと、結果は^{[ 12 ] [ 13 ]と等価であることが容易に示されます。}$${\displaystyle r_{\text{p}}={\frac {\tan(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}{\tan(\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})}}.}$$

これらの式^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}は、それぞれフレネルの正弦法則とフレネルの正接法則として知られています。^{[ 17 ]}垂直入射ではこれらの式は0/0になりますが、 θ _i → 0の極限では正しい結果が得られることがわかります。

意味のあるフレネル係数を計算するには、媒質が（ほぼ）線形かつ均質であると仮定する必要があります。媒質が等方性である場合、4つの場ベクトルE、B、D、Hは次のように 関係付けられます。$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} &=\epsilon \mathbf {E} \\\mathbf {B} &=\mu \mathbf {H} \,,\end{aligned}}}$$ ここで_、εとμはスカラーであり、それぞれ媒質の（電気）誘電率と（磁気）透磁率として知られています。真空の場合、これらはそれぞれε₀とμ₀_の値をとります。したがって、比誘電_率（または誘電定数）εrel = ε / ε₀、および比透磁率μrel = μ / μ₀_と定義し_ます。

光学では、媒質は非磁性であると仮定するのが一般的で、μ _rel = 1となります。無線/マイクロ波周波数の強磁性材料の場合、 μ _relのより大きな値を考慮する必要があります。しかし、光学的に透明な媒質、および光周波数におけるその他のすべての材料（メタマテリアルを除く）の場合、μ _{rel は}実際には 1 に非常に近く、つまりμ ≈ μ ₀となります。

光学では、通常、媒質の屈折率n が既知であり、これは真空中の光速( c ) と媒質中の光速の比です。部分反射と透過の解析では、電磁波インピーダンスZにも関心があります。これは、 Eの振幅とHの振幅の比です。したがって、 nとZをϵとμで表し、そこからZとnの関係を求めることが望ましいです。ただし、この最後の関係式を用いると、反射係数を波動アドミタンスYで導出するのが便利になります。波動アドミタンス Y は、波動インピーダンスZの逆数です。

均一な平面正弦波の場合、波のインピーダンスまたはアドミタンスは、媒質の固有インピーダンスまたは固有アドミタンスとして知られています。フレネル係数を導出するのは、まさにこのケースです。

一様な平面正弦波電磁波では、電場Eは次の形をとる。

ここで、E _kは（定数）複素振幅ベクトル、iは虚数単位、kは波数ベクトル（その大きさkは角波数）、rは位置ベクトル、ωは角周波数、tは時間であり、式の実部は物理場であると理解される。 ^{[注 1 ]}位置rがkに垂直な方向に変化する 場合、式の値は変化しない。したがって、k は波面に垂直である。

位相を角度ϕだけ進めるには、 ωt をωt + ϕに置き換えます(つまり、− ωtを− ωt − ϕに置き換えます)。その結果、(複素) 場はe ^−iϕ倍になります。したがって、位相を進めることは、負の引数を持つ複素定数を乗じることに相当します。これは、場 ( 1 ) をE _k e ^{i k ⋅ r} e ^−iωtと因数分解するとより明らかになります。最後の因子には時間依存性が含まれています。この因子はまた、時間に関する微分が−iω を乗じることに対応することを意味します。^{[注 2 ]}

ℓがk方向のrの成分である場合、場( 1 )はE _k e ^{i ( kℓ − ωt )}と書くことができる。e i ^(⋯)の引数が一定であるためには、ℓは速度で増加する必要がある^。 ${\displaystyle \omega /k\,,\,}$位相速度（v _p）として知られています。これは、${\displaystyle c/n}$kについて解くと、

通常通り、時間依存因子e ^{− iωt}を省略します。これは、すべての複素場量に掛けられるものと理解されます。均一な平面正弦波の電場は、位置依存フェーザによって表されます。

その形式の場については、ファラデーの法則とマクスウェル・アンペールの法則はそれぞれ^{[ 33 ]}に簡略化される。$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega \mathbf {B} &=\mathbf {k} \times \mathbf {E} \\\omega \mathbf {D} &=-\mathbf {k} \times \mathbf {H} \,.\end{aligned}}}$$

上記のように、B = μ HおよびD = ϵ Eとすると、 BとDを消去して、 EとHのみの方程式を得ることができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\omega \mu \mathbf {H} &=\mathbf {k} \times \mathbf {E} \\\omega \epsilon \mathbf {E} &=-\mathbf {k} \times \mathbf {H} \,.\end{aligned}}}$$ 材料パラメータϵとμ が実数である場合 (損失のない誘電体の場合)、これらの式はk、E、H が右手系直交三和 を形成することを示しており、したがって同じ式がそれぞれのベクトルの大きさにも適用されます。大きさの式を取り、( 2 ) から代入すると、次の式が得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu cH&=nE\\\epsilon cE&=nH\,,\end{aligned}}}$$ ここで、HとEはHとEの大きさである。最後の2つの式を掛け合わせると、

同じ 2 つの方程式を割る (またはたすき掛けする) とすると、H = YEとなり、ここで

これは固有アドミタンスです。

（ 4 ）より位相速度が得られる${\displaystyle c/n=1{\big /}\!{\sqrt {\mu \epsilon \,}}}$真空の場合、これは次のように簡略化されます。${\displaystyle c=1{\big /}\!{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}}$2番目の結果を1番目の結果で割ると 、$${\displaystyle n={\sqrt {\mu _{\text{rel}}\epsilon _{\text{rel}}}}\,.}$$非磁性媒体（通常の場合） では、これは次のようになる。${\displaystyle n={\sqrt {\epsilon _{\text{rel}}}}}$⁠。 （ （ 5 ）の逆数を取ると、固有インピーダンスは${\textstyle Z={\sqrt {\mu /\epsilon }}}$真空中ではこの値は${\textstyle Z_{0}={\sqrt {\mu _{0}/\epsilon _{0}}}\,\approx 377\,\Omega \,,}$自由空間のインピーダンスとして知られています。除算により、${\textstyle Z/Z_{0}={\sqrt {\mu _{\text{rel}}/\epsilon _{\text{rel}}}}}$非磁性媒体の場合、これは次のようになる。${\displaystyle Z=Z_{0}{\big /}\!{\sqrt {\epsilon _{\text{rel}}}}=Z_{0}/n.}$）

デカルト座標( x、y、z )において、 y < 0 の領域は屈折率n ₁、固有アドミタンスY _{1などを持ち、} y > 0の領域は屈折率n ₂、固有アドミタンスY ₂などを持つとします。このとき、xz平面は界面であり、y軸は界面に垂直です (図を参照)。iとj (太字のローマ字)をそれぞれx方向とy方向の単位ベクトルとします。入射面をxy平面 (ページの平面) とし、入射角θ _{i を}jからiに向かって測定します。同じ方向で測定される屈折角をθ _tとします。ここで、添え字tは透過を表します( rは反射を表します)。

ドップラーシフトがない場合、ωは反射や屈折によって変化しません。したがって、（2）より、波数ベクトルの大きさは屈折率に比例します。

したがって、与えられたωに対して、k を基準媒質 ( n = 1の場合)における波数ベクトルの大きさとして再定義する と、波数ベクトルは最初の媒質 (図の領域y < 0 ) ではn ₁ kの大きさを持ち、2 番目の媒質ではn ₂ k の大きさを持ちます。大きさと形状から、波数ベクトルは次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {k} _{\text{i}}&=n_{1}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{i}}+\mathbf {j} \cos \theta _{\text{i}})\\[.5ex]\mathbf {k} _{\text{r}}&=n_{1}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{i}}-\mathbf {j} \cos \theta _{\text{i}})\\[.5ex]\mathbf {k} _{\text{t}}&=n_{2}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{t}}+\mathbf {j} \cos \theta _{\text{t}})\\&=k(\mathbf {i} \,n_{1}\sin \theta _{\text{i}}+\mathbf {j} \,n_{2}\cos \theta _{\text{t}})\,,\end{aligned}}}$$ ここで、最後のステップではスネルの法則を使用する。フェーザ形式（3）における対応するドット積は次のようになる。

したがって：

s偏光の場合、電場Eはz軸に平行であり、したがってz方向の成分で表すことができます。反射係数と透過係数をそれぞれr _sとt _sとします。入射電場Eの振幅が1であると仮定すると、そのz成分のフェーザ形式( 3 )は次のようになります。

そして、反射場と透過場は、同じ形式で、

この記事で使用されている符号規約では、正の反射係数または透過係数は、横方向の電場の方向を保持するものであり、これは（この文脈では）入射面に垂直な電場を意味します。s偏光の場合、これはE電場を意味します。入射、反射、透過のE電場（上記の式）がz方向（「紙面から手前」）にある場合、k、E、Hは右手系直交三和を形成するため、それぞれのH電場は赤い矢印の方向になります。したがって、 H電場は、これらの矢印の方向の成分で表すことができ、H _i、H _r、H _tで示されます。次に、H = YE、

界面では、電磁場の通常の界面条件により、 EおよびH場の接線成分は連続でなければなりません。つまり、

式（ 8）から（10 ）に代入し、次に（7）に代入すると、指数因子が相殺されるため、界面条件は連立方程式に簡略化されます。

これらは簡単にr _sとt _sについて解くことができ、

そして

通常の入射角( θ _i = θ _t = 0)では、追加の添え字 0 で示されるように、これらの結果は次のようになります。

そして

放牧入射角( θ _i → 90°)では、cos θ _i → 0となり、したがってr _s → −1およびt _s → 0となります。

p偏光の場合、入射、反射、透過の電場Eは赤い矢印に平行であり、したがってそれらの矢印の方向の成分で表すことができます。これらの成分をE _i、E _r、E _{tとします（新しい文脈に合わせて記号を再定義します）。反射係数と透過係数をそれぞれ}r _pとt _pとします。すると、入射電場Eの振幅が1であると仮定すると、次のようになります。

E場が赤い矢印の方向にある場合、 k、E、H が右手直交三和を形成するためには、それぞれのH場は−z方向 (「紙面奥」方向)にある必要があり、したがってその方向の成分で記述することができます。これは、採用された符号規約、すなわち正の反射係数または透過係数は横方向の場( p偏光の場合は H 場)の方向を保持するものであるという規約と一致しています。他の場が赤い矢印と一致することから、符号規約の別の定義が明らかになります。すなわち、正の反射係数または透過係数は、入射面内の場ベクトルが反射または透過の前後で同じ媒質の方向を向いているものであるということです。^{[ 34 ]}

そこで、入射、反射、透過のH場について、それぞれの −z 方向の成分をH i 、H _r、H _tとし_ます。すると、H = YEなので、

界面では、E場とH場の接線成分は連続でなければならない。つまり、

式（ 17）と（18 ）から代入し、次に（7）から代入すると、指数因子が再び相殺されるため、界面条件は次のように簡略化されます。

r _pとt _pを解くと、次のようになります。

そして

追加の添え字 0 で示される通常の入射角( θ _i = θ _t = 0)では、これらの結果は次のようになります。

そして

放牧入射角( θ _i → 90°)では、再びcos θ _i → 0となり、したがってr _p → −1およびt _p → 0となります。

（23）と（24）を（15）と（16）と比較すると、採用した符号規約の下では、垂直入射の場合、2つの偏波の透過係数は等しくなりますが、反射係数は大きさは等しいものの符号が逆になります。この符号の衝突は規約の欠点ですが、付随する利点として、斜入射では符号が一致します。

波のポインティングベクトルは、任意の方向の成分がその方向に垂直な面上のその波の放射照度（単位面積あたりの電力）であるベクトルです。平面正弦波の場合、ポインティングベクトルは⁠ 1 / 2 ⁠ ‍ Re { E × H ^∗ }で、EとH は問題の波のみによるもので、アスタリスクは複素共役を表します。損失のない誘電体（通常のケース）内では、EとH は同位相で、互いに直角であり、波数ベクトルkにも直角です。したがって、s 偏光の場合、EとHのz成分とxy成分を それぞれ使用して（または p 偏光の場合、EとHのxy成分と− z成分を使用して）、k方向の放射照度は単純にEH /2で与えられ、これは固有インピーダンスZ = 1/ Yの媒質ではE ² /2 Zとなります。界面に垂直な方向の放射照度を計算するには、電力透過係数の定義で必要となるように、HまたはEのx成分 (完全なxy成分ではなく)のみを使用するか、または同等に、 EH /2に適切な幾何学的係数を単純に掛けて( E ² /2 Z ) cos θを得ることができます。

式（13）と（21）から、大きさの二乗を取ると、反射率（反射電力と入射電力の比）は次のようになる。

s偏光の場合、

p偏波の場合。同じ媒質中で同じcos θを持つ2つの波の電力を比較する場合、上述のインピーダンスと幾何学的因子は同一であり、相殺されることに注意してください。しかし、電力伝送を計算する際には（下記参照）、これらの因子を考慮に入れる必要があります。

電力伝送係数（透過率、界面に垂直な方向、すなわちy方向における入射電力に対する透過電力の比）を求める最も簡単な方法は、 R + T = 1（エネルギー保存則）を用いることです。このようにして、次の式が得られます。

s偏光の場合、

p偏光の場合。

2 つの無損失媒体間の界面 (ε と μ が実数かつ正の場合) では、先に式 ( 14 ) と ( 22 )で求めた振幅透過係数の二乗値を用いて、これらの結果を直接得ることができます。しかし、与えられた振幅 (上記参照) に対して、y方向のポインティングベクトルの成分は、幾何学的因子cos θに比例し、波のインピーダンスZに反比例します。これらの補正を各波に適用すると、振幅透過係数の二乗に掛けられる 2 つの比率が得られます。

s偏光の場合、

p偏光の場合。最後の2つの式は、損失のない誘電体にのみ適用され、入射角が臨界角よりも小さい場合にのみ適用されます（もちろん、臨界角を超えるとT = 0になります）。

非偏光の場合： $${\displaystyle T={1 \over 2}(T_{s}+T_{p})}$$$${\displaystyle R={1 \over 2}(R_{s}+R_{p})}$$ どこ${\displaystyle R+T=1}$。

式（4）と（5）から、2つの異なる媒質は、透磁率の比が誘電率の比の逆数である場合、同じ屈折率を持ち、異なるアドミタンスを持つことがわかります。この特殊な状況では、θ _t = θ _i（つまり、透過光線は偏向しない）となるため、式（13）、（14）、（21）、（22）、（25）から（28）のコサインが相殺され、すべての反射率と透過率が入射角に依存しなくなります。言い換えれば、垂直入射の比率がすべての入射角に適用できるようになります。^{[ 35 ]}球面反射または散乱に拡張すると、これはミー散乱のカーカー効果になります。

フレネル方程式は光学のために開発されたため、通常は非磁性材料に対して与えられます。( 4 )を( 5 ) で割ると、$${\displaystyle Y={\frac {n}{\,c\mu \,}}\,.}$$ 非磁性媒体の場合、μの代わりに真空透磁率μ ₀を代入すると、 $${\displaystyle Y_{1}={\frac {n_{1}}{\,c\mu _{0}}}~~;~~~Y_{2}={\frac {n_{2}}{\,c\mu _{0}}}\,;}$$ すなわち、アドミタンスは対応する屈折率に単純に比例します。式（13）～（16）および式（21）～（26）にこれらの置換を行うと、係数cμ _{0 が}相殺されます。振幅係数については、次のようになります。^{[ 5 ] [ 6 ]}

通常の発生率の場合、これらは以下のように簡略化されます。

電力反射係数は次のようになる。

電力伝送は、T = 1 − Rから求めることができる。

透磁率が等しい場合（例えば、非磁性媒体）、θ _iとθ _tが相補的であれば、 sin θ _{t を}cos θ _iに、sin θ _iをcos θ _tに置き換えることができ、式 ( 31 )の分子はn ₂ ‍ sin θ _t − n ₁ ‍ sin θ _iとなり、これはゼロになります (スネルの法則により)。したがって、r _p = 0となり、s偏光成分のみが反射されます。これはブリュースター角で起こることです。スネルの法則でsin θ _tをcos θ _iに置き換えると、容易に次の式が得られます。

ブリュースターの視点から。

実際には遭遇しませんが、これらの式は、誘電率は同じだが透磁率が異なるために屈折率が異なる 2 つの媒体の場合にも適用できます。式 ( 4 ) と ( 5 ) から、μの代わりにϵ を固定すると、Y はnに反比例し、その結果、式 ( 29 ) から ( 38 ) の添え字 1 と 2 が入れ替わります (分子と分母にn ₁ n ₂を掛ける追加の手順のため)。したがって、( 29 ) と ( 31 ) では、屈折率によるr _sとr _pの表現が入れ替わり、ブリュースター角 ( 39 ) ではr _p = 0ではなくr _s = 0となり、その角度で反射されるビームは s 偏光ではなく p 偏光になります。^{[ 36 ]}同様に、フレネルの正弦法則はs偏光ではなくp偏光に適用され、彼の正接法則はp偏光ではなくs偏光に適用されます。

この偏光の切り替えは、光波の古い力学的理論に類似している（上記§歴史を参照）。異なる屈折率は異なる密度によるものであり、振動は当時偏光面と呼ばれていた面に垂直であると（フレネルのように）仮定するか、異なる屈折率は異なる弾性によるものであり、振動はその面に平行であると（マッカローとノイマンのように）仮定することで、観測と一致する反射係数を予測することができた。^{[ 37 ]}したがって、誘電率が等しく透磁率が異なるという条件は、現実的ではないものの、歴史的に興味深いものである。