ライプニッツの積分法

微積分学において、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツにちなんで名付けられたライプニッツ積分法則、または積分記号の下での微分に関するライプニッツ法則は、次の形式の積分に対して、 $\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,$ どこ $-\infty <a(x),b(x)<\infty$ そして、被積分関数は、 $x,$ この積分の導関数は次のように表されます。 ${\begin{aligned}&{\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)\\&=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt\end{aligned}}$ ここで偏微分 ${\frac {\partial }{\partial x}}$ これは、積分の中では、 $f(x,t)$ と $x$ 微分を取る際に考慮される。^{[ 1 ]}

関数が特別な場合 $a(x)$ そして $b(x)$ 定数です $a(x)=a$ そして $b(x)=b$ 値に依存しない $x,$ これは以下のように簡略化できます。 $\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt\right)=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt.}$

もし $a(x)=a$ は定数であり、 $b(x)=x$ これはもう一つのよくある状況（例えば、コーシーの繰り返し積分公式の証明など）であり、ライプニッツの積分規則は次のようになる。 ${\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{x}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,x{\big )}+\int _{a}^{x}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt,$

この重要な結果は、特定の条件下では、積分演算子と偏微分演算子を入れ替えるために使用でき、特に積分変換の微分において有用である。その一例として、確率論におけるモーメント母関数（ラプラス変換の変形）があり、これを微分することで確率変数のモーメントを生成できる。ライプニッツの積分法則が適用できるかどうかは、本質的には極限の入れ替えに関する問題である。

一般形：積分記号の下での微分

直感的に言えば、ライプニッツの積分法則は、時間とともに変化する定積分がある場合、積分の変化率は、被積分関数の変化率と積分の境界における流量の差の合計である、と述べている。形式的には、

定理—と $f(x,t)$ 関数であり、 $f(x,t)$ およびその偏導関数 $f_{t}(x,t)$ 連続している $x$ そして $t$ 地域の $xt$ -平面、 $a(t)\leq x\leq b(t),$ $t₀ ≤ t ≤ t₁。$ また、関数が $a(t)$ そして $b(t)$ はどちらも連続であり、どちらも連続な導関数を持つ。 $t₀ ≤ t ≤ t₁。$ それから、 $t_{0}\leq t\leq t_{1},$ $\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\int _{a(t)}^{b(t)}f(x,t)\,dx\right)=\int _{a(t)}^{b(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}f(x,t)\,dx+f{\big (}b(t),t{\big )}\cdot {\frac {d}{dt}}b(t)-f{\big (}a(t),t{\big )}\cdot {\frac {d}{dt}}a(t).}$

右辺はラグランジュの記法を用いて次のように表すこともできます。 $f(b(t),t)\,b^{\prime }(t)-f(a(t),t)\,a^{\prime }(t)+\displaystyle \int _{a(t)}^{b(t)}f_{t}(x,t)\,dx.$

この定理のより強いバージョンでは、偏微分がほとんど至る所に存在することのみを要求し、連続である必要はない。^{[ 2 ]}この式はライプニッツ積分法則の一般形であり、微積分学の基本定理を用いて導出できる。微積分学の（第一）基本定理は、上記の式の特殊な場合であり、 $a(t)=a\in \mathbb {R}$ 定数である、 $b(t)=t,$ そして $f(x,t)=f(x)$ 依存しない $x.$

上限値と下限値を両方とも定数とみなすと、式は演算子方程式の形をとる。 $\displaystyle \partial _{t}{\mathcal {I}}_{x}={\mathcal {I}}_{x}\partial _{t}}$ どこ $\displaystyle \partial _{t}}$ は、に関する偏微分である。 $t$ そして ${\mathcal {I}}_{x}$ は、に関する積分演算子である。 $x$ 一定の区間にわたって。つまり、これは2階微分の対称性に関係していますが、微分だけでなく積分も含まれています。このケースはライプニッツの積分法則としても知られています。

極限の交換に関する以下の３つの基本定理は、本質的に同等である。

微分と積分の入れ替え（積分記号の下での微分、すなわちライプニッツの積分法則）
偏微分の次数変更。
積分順序の変更（積分記号の下での積分、すなわちフビニの定理）。

3次元、時間依存ケース

3 次元空間を移動する2 次元表面に対するライプニッツ積分規則は^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]である。}

${\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}\left(\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left[\nabla \cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\mathbf {v} \right)\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left[\mathbf {v} \times \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\cdot d\mathbf {s} ,$

どこ：

$F (r, t)$ は時刻 $t$ における空間位置 $r$ のベクトル場である。
$F t (r, t)$ はベクトル場の時間偏微分であり
$Σ$ は閉曲線 $\partialΣ$ で囲まれた曲面である。
$d A$ は曲面 $Σ$ のベクトル要素である。
$d s$ は曲線 $\partialΣ$ のベクトル要素です。
$v$ $は領域Σ$ の移動速度です。
$\nabla\cdot$ はベクトル発散であり、
$\timesは$ ベクトル外積です。
二重積分は曲面 $Σ上$ の面積分であり、線積分は境界曲線 $\partialΣ$ 上の積分である。

高次元

ライプニッツの積分法則は多次元積分にも拡張できる。2次元および3次元の場合、この法則は流体力学の分野でレイノルズ輸送定理としてよく知られている。 ${\frac {d}{dt}}\int _{D(t)}F(\mathbf {x} ,t)\,dV=\int _{D(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}F(\mathbf {x} ,t)\,dV+\int _{\partial D(t)}F(\mathbf {x} ,t)\mathbf {v} _{b}\cdot d\mathbf {\Sigma } ,$

どこ $F(\mathbf {x} ,t)$ はスカラー関数であり、 $D (t)$ と $\partial D (t)はそれぞれ$ R ³の時間変化する連結領域とその境界を表します。 $\mathbf {v} _{b}$ は境界のオイラー速度（ラグランジュ座標とオイラー座標を参照）であり、 $d Σ = n dS$ は表面要素の単位法線成分です。

ライプニッツ積分法則の一般的な記述には、微分幾何学の概念、具体的には微分形式、外微分、外積、内積が必要です。これらのツールを使用すると、 n次元のライプニッツ積分法則は次のようになります^{[ 4 ]} ${\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\omega =\int _{\Omega (t)}i_{\mathbf {v} }(d_{x}\omega )+\int _{\partial \Omega (t)}i_{\mathbf {v} }\omega +\int _{\Omega (t)}{\dot {\omega }},$ ここで $Ω(t)$ は時間変化する積分領域であり、ωはp形式である。 $\mathbf {v} ={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}$ は速度のベクトル場であり、 $i_{\mathbf {v} }$ 内部製品を表す $\mathbf {v}$ 、d _x ωは空間変数のみに関するωの外微分であり、 ${\dot {\omega }}$ はωの時間微分です。

上記の式は、リー微分が微分形式の積分とうまく相互作用するという事実から直接導き出すことができる。 ${\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\omega =\int _{\Omega (t)}{\mathcal {L}}_{\Psi }\omega ,$ 時空多様体の場合 $M=\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{3}$ ここで、時空の外部微分は $\omega$ は $d\omega =dt\wedge {\dot {\omega }}+d_{x}\omega$ そして表面 $\Omega (t)$ 時空速度場を持つ $\Psi ={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v}$ 。以来 $\omega$ 空間成分のみを持つ場合、リー微分はカルタンの魔法の公式を使用して簡略化できます。 ${\mathcal {L}}_{\Psi }\omega ={\mathcal {L}}_{\mathbf {v} }\omega +{\mathcal {L}}_{\frac {\partial }{\partial t}}\omega =i_{\mathbf {v} }d\omega +di_{\mathbf {v} }\omega +i_{\frac {\partial }{\partial t}}d\omega =i_{\mathbf {v} }d_{x}\omega +di_{\mathbf {v} }\omega +{\dot {\omega }}$ 積分すると $\Omega (t)$ そして、第２項に一般化されたストークスの定理を適用すると、目的の３つの項に簡略化される。

測度論の記述

させて $X$ の開部分集合である $\mathbf {R}$ 、そして $\Omega$ を測度空間とする。 $f\colon X\times \Omega \to \mathbf {R}$ 以下の条件を満たす：^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 2 ]}

$f(x,\omega )$ は、のルベーグ積分可能な関数である。 $\omega$ 各 $x\in X$ 。
ほぼすべての $\omega \in \Omega$ 偏微分 $f_{x}$ すべての人々のために存在する $x\in X$ 。
積分可能な関数が存在する $\theta \colon \Omega \to \mathbf {R}$ そのため $|f_{x}(x,\omega )|\leq \theta (\omega )$ すべての人々のために $x\in X$ そしてほぼすべての $\omega \in \Omega$ 。

そして、すべての $x\in X$ 、 ${\frac {d}{dx}}\int _{\Omega }f(x,\omega )\,d\omega =\int _{\Omega }f_{x}(x,\omega )\,d\omega .$

証明は、優収束定理と平均値定理に基づいています（詳細は後述）。

証明

基本形式の証明

まず、積分範囲が定数aとbの場合を証明する。

フビニの定理を用いて積分順序を変更します。h $> 0かつ$ $x$ と $x$ $+$ $h$ がともに $[$ $x$ $0$ $,$ $x$ $1$ $] の$ $範囲$ 内にあるすべての $x$ と $h$ に対して、次の式が成り立ちます。 ${\begin{aligned}\int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx&=\int _{a}^{b}\int _{x}^{x+h}f_{x}(x,t)\,dx\,dt\\[2ex]&=\int _{a}^{b}\left(f(x+h,t)-f(x,t)\right)\,dt\\[2ex]&=\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt\end{aligned}}$

ここで扱う積分は適切に定義されていることに注意してください。 $f_{x}(x,t)$ 閉じた長方形で連続している $[x_{0},x_{1}]\times [a,b]$ したがって、その点でも一様に連続である。そのため、 dtまたはdxによる積分は、もう一方の変数に関して連続であり、その変数によっても積分可能である（これは基本的に、一様に連続な関数では、積分記号を通して極限を通過させることができるためである。詳細は後述）。

したがって： ${\begin{aligned}{\frac {\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}{h}}&={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx\\[2ex]&={\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}\end{aligned}}$

ここで、私たちは以下のように定義しました。 $F(u):=\int _{x_{0}}^{u}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx$ （ここでx _{0 は}x ₀とxの間の任意の点に置き換えることができます）

Fは導関数で微分可能である ${\textstyle \int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt}$ $したがって、 hが$ ゼロに近づく極限を取ることができます。左辺の場合、この極限は次のようになります。 ${\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt$

右辺については、次のようになります。 $F'(x)=\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt$ こうして我々は望ましい結果を証明した。 ${\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt=\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt$

有界収束定理を用いた別の証明

対象となる積分がルベーグ積分である場合、有界収束定理（これらの積分には有効だが、リーマン積分には有効ではない）を用いて、極限が積分記号を通過できることを示すことができる。

この証明は、 f _x ( x , t ) がルベーグ積分可能であることを示しているだけで、リーマン積分可能であることは示していないという意味で、より弱い証明であることに注意してください。前者の（より強い）証明では、f ( x , t ) がリーマン積分可能であれば、 f _x ( x , t ) もリーマン積分可能であり（したがって、明らかにルベーグ積分可能でもあります）。

させて

導関数の定義によれば、

式（1）を式（2）に代入する。2つの積分の差は差の積分に等しく、1/ hは定数なので、 ${\begin{aligned}u'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{a}^{b}\left(f(x+h,t)-f(x,t)\right)\,dt}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}\int _{a}^{b}{\frac {f(x+h,t)-f(x,t)}{h}}\,dt.\end{aligned}}$

ここで、極限が積分記号を通して渡されることを示す。

積分記号の下の極限の通過は、有界収束定理（優収束定理の系）によって有効であると主張する。各δ > 0 に対して、差分商を考える。 $f_{\delta }(x,t)={\frac {f(x+\delta ,t)-f(x,t)}{\delta }}.$ tが固定されている場合、平均値の定理は、区間 [ x , x + δ ] 内にzが存在し、 $f_{\delta }(x,t)=f_{x}(z,t).$ f _x ( x , t ) の連続性と定義域のコンパクト性から、f _x ( x , t ) は有界であることがわかります。したがって、上記の平均値の定理の適用により、一様（x に依存しない）が得られます。 $t$ ) に縛られる $f_{\delta }(x,t)$ 差分商は、偏導関数が存在するという仮定により、各点において偏導関数f _{xに収束する。}

上記の議論は、すべてのシーケンス { δ _n } → 0 に対して、シーケンスが $\{f_{\delta _{n}}(x,t)\}$ は一様に有界であり、各点でf _xに収束します。有界収束定理は、有限測度の集合上の関数列が一様に有界であり、各点で収束する場合、極限を積分の下に通すことが有効であると述べています。特に、任意の数列 { δ _n } → 0 に対して、極限と積分を入れ替えることができます。したがって、 δ → 0のときの極限は積分記号を通すことができます。

代わりに、積分可能な関数が存在することだけがわかっている場合 $\theta \colon \Omega \to \mathbf {R}$ そのため $|f_{x}(x,\omega )|\leq \theta (\omega )$ 、それから $|f_{\delta }(x,t)|=|f_{x}(z,t)|\leq \theta (\omega )$ そして、優収束定理により、極限を積分の中に移動させることができます。

変数制限フォーム

1つの実変数の連続実数値関数g、および実数値微分可能関数 $f_{1}$ そして $f_{2}$ 1つの実変数の ${\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)=g\left(f_{2}(x)\right){f_{2}'(x)}-g\left(f_{1}(x)\right){f_{1}'(x)}.$

これは連鎖律と微積分学の第一基本定理から導かれる。 $G(x)=\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt,$ そして $\Gamma (x)=\int _{0}^{x}g(t)\,dt.$ （下限は、定義域内の何らかの数値でなければならない） $g$ ）

それから、 $G(x)$ 構成として記述できます: $G(x)=(\Gamma \circ f_{2})(x)-(\Gamma \circ f_{1})(x)$ 連鎖律は、 $G'(x)=\Gamma '\left(f_{2}(x)\right)f_{2}'(x)-\Gamma '\left(f_{1}(x)\right)f_{1}'(x).$ 微積分学の第一基本定理により、 $\Gamma '(x)=g(x)$ したがって、上記の結果を代入すると、目的の式が得られます。 $G'(x)=g\left(f_{2}(x)\right){f_{2}'(x)}-g\left(f_{1}(x)\right){f_{1}'(x)}.$

注：この形式は、微分する式が次の形式である場合に特に役立ちます。 $\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}h(x)\,g(t)\,dt$ なぜなら $h(x)$ 積分範囲に依存しないため、積分記号の下から移動でき、上記の形式は積の法則とともに使用できます。 ${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}h(x)g(t)\,dt\right)&={\frac {d}{dx}}\left(h(x)\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)\\&=h'(x)\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt+h(x){\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)\end{aligned}}$

可変制限付き一般形式

セット $\varphi (\alpha )=\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx,$ ここで、aとbはαの関数であり、 αがΔαだけ増加すると、それぞれΔaとΔbの増加を示す。すると、 ${\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[4pt]&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[4pt]&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[4pt]&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx.\end{aligned}}$

平均値の定理の一形態、 ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)f(\xi )}$ ここで、a < ξ < bは、上記の Δ φの式の最初と最後の積分に適用することができ、結果として次のようになる。 $\Delta \varphi =-\Delta af(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\Delta bf(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha ).$

Δ αで割り、Δ α → 0 とします。ξ 1 → a および ξ 2 → b であることに注目してください。積分記号を通して極限_をとること_ができます。 $\lim _{\Delta \alpha \to 0}\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx,$ 再び有界収束定理により、ライプニッツ積分規則の一般形が得られる。 ${\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx+f(b,\alpha ){\frac {db}{d\alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {da}{d\alpha }}.$

連鎖律を用いた、変数制限を持つ一般形の別の証明

変数の積分範囲を持つライプニッツの積分法の一般形は、ライプニッツの積分法の基本形、多変数連鎖律、および微積分学の第一基本定理の結果として導出できる。 $f$ は長方形で定義されます $x$ - $t$ 飛行機、 $x\in [x_{1},x_{2}]$ そして $t\in [t_{1},t_{2}]$ また、 $f$ 偏微分 ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ はどちらもこの長方形上で連続関数であるとします。 $a,b$ は、上で定義された微分可能な実数値関数である。 $[x_{1},x_{2}]$ 値は $[t_{1},t_{2}]$ （つまり、すべての $x\in [x_{1},x_{2}],a(x),b(x)\in [t_{1},t_{2}]$ ) さあ、設定しましょう $F(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}f(x,t)\,dt,\qquad {\text{for}}~x\in [x_{1},x_{2}]~{\text{and}}~y\in [t_{1},t_{2}]$ そして $G(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,\quad {\text{for}}~x\in [x_{1},x_{2}]$

すると、定積分の性質により、次のように書ける。 $G(x)=\int _{t_{1}}^{b(x)}f(x,t)\,dt-\int _{t_{1}}^{a(x)}f(x,t)\,dt=F(x,b(x))-F(x,a(x))$

関数は $F,a,b$ これらはすべて微分可能であり（証明の末尾の注釈を参照）、多変数連鎖律により、 $G$ は微分可能であり、その導関数は次の式で与えられる。 $G'(x)=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}(x,b(x))+{\frac {\partial F}{\partial b(x)}}(x,b(x))b'(x)\right)-\left({\frac {\partial F}{\partial x}}(x,a(x))+{\frac {\partial F}{\partial a(x)}}(x,a(x))a'(x)\right)$ ここで、すべての $x\in [x_{1},x_{2}]$ 、そしてすべての $y\in [t_{1},t_{2}]$ 我々はそれを持っている ${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt}$ なぜなら、 $x$ の $F$ 私たちは $y$ 表現に固定 ${\textstyle \int _{t_{1}}^{y}f(x,t)\,dt}$ したがって、積分範囲が一定のライプニッツの積分法則の基本形が適用される。次に、微積分学の第一基本定理により、次の式が得られる。 ${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=f(x,y)}$ なぜなら、 $y$ の $F$ 最初の変数 $x$ は固定されているため、基本定理を確かに適用できる。

これらの結果を式に代入すると $G'(x)$ 上記は以下を示す： ${\begin{aligned}G'(x)&=\left(\int _{t_{1}}^{b(x)}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt+f(x,b(x))b'(x)\right)-\left(\int _{t_{1}}^{a(x)}{\dfrac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt+f(x,a(x))a'(x)\right)\\[2pt]&=f(x,b(x))b'(x)-f(x,a(x))a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt,\end{aligned}}$ ご希望に応じて。

上記の証明には注目すべき技術的なポイントがあります。連鎖律を $G$ 要求する $F$ すでに微分可能である。ここで、我々は以下の仮定を使用する。 $f$ 前述のように、 $F$ 式で与えられる ${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt}$ そして ${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=f(x,y)}$ 。以来 ${\textstyle {\dfrac {\partial f}{\partial x}}}$ は連続であり、その積分も連続関数である^{[ 8 ]}。 $f$ も連続であり、これら 2 つの結果は、 $F$ は連続である。偏導関数の連続性は関数の微分可能性を意味するので、^{[ 9 ]} $F$ 確かに微分可能である。

三次元の時間依存型形態

時刻tにおいて、図 1の表面 Σ は、重心の周りに配置された点の集合を含んでいる。 $\mathbf {C} (t)$ . 機能 $\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)$ 次のように書くことができます $\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {r} -\mathbf {C} (t),t)=\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t),$ と $\mathbf {I}$ 時間とは無関係。変数は、移動する表面に取り付けられた新しい参照フレームにシフトされ、その原点は $\mathbf {C} (t)$ 剛体的に移動する曲面の場合、積分範囲は時間に依存しないため、次のようになります。 ${\frac {d}{dt}}\left(\iint _{\Sigma (t)}d\mathbf {A} _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right)=\iint _{\Sigma }d\mathbf {A} _{\mathbf {I} }\cdot {\frac {d}{dt}}\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t),$ 積分範囲が領域Σに限定され、時間に依存しなくなるため、微分は積分を通過して被積分関数のみに作用する。 ${\frac {d}{dt}}\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)+\mathbf {v\cdot \nabla F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t),$ 表面の運動速度は次のように定義される。 $\mathbf {v} ={\frac {d}{dt}}\mathbf {C} (t).$

この方程式は場の物質微分、つまり移動面に固定された座標系に関する微分を表しています。微分が求められたら、変数を元の参照系に戻すことができます。ここで、次の点に注意してください（curl に関する記事を参照）。 $\nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)=(\nabla \cdot \mathbf {F} +\mathbf {F} \cdot \nabla )\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {F} ,$ そして、ストークスの定理は、 Σ 上の回転の面積分を $\partialΣ$ 上の線積分と等しいと定めている。 ${\frac {d}{dt}}\left(\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} \right)=\iint _{\Sigma (t)}{\big (}\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left(\mathbf {F\cdot \nabla } \right)\mathbf {v} +\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} )\mathbf {F} {\big )}\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)\cdot d\mathbf {s} .$

線積分の符号は、線要素d sの方向の選択に関する右手の法則に基づいています。この符号を確立するために、たとえば、場Fが正のz方向を指し、表面 Σ が周囲 ∂Σ を持つxy平面の一部であるとします。Σ の法線を正のz方向とします。すると、∂Σ の正の横断は反時計回りになります (親指をz軸に沿わせた右手の法則)。すると、左辺の積分は、 Σ を通過するFの正のフラックスを決定します。Σ が速度vで正のx方向に移動するとします。y軸に平行な Σ の境界の要素、たとえばd s は、時間tで面積v t × d sを掃きます。境界 ∂Σ の周りを反時計回りに積分すると、v t × d sは∂Σ の左側 ( d sが下向き) では負のz方向を指し、∂Σ の右側 ( d s が上向き)では正のz方向を指します。これは、Σ が右に移動し、右側で面積を増やし、左側で面積を失っているため、理にかなっています。このことから、Fのフラックスは ∂Σ の右側で増加し、左側で減少します。しかし、内積 $v$ $\times$ $F$ $\cdot$ $d$ $s$ $= -$ $F$ $\times$ $v$ $\cdot$ $d$ $s$ $= -$ $F$ $\cdot$ $v$ $\times$ $d$ $s$ となります。したがって、線積分の符号は負とします。

vが定数の場合、 ${\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}{\big (}\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathbf {v} {\big )}\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)\cdot \,d\mathbf {s} ,$ これは引用された結果である。この証明では、表面が移動する際に変形する可能性は考慮されていない。

別の派生語

補題。以下が成り立つ。 ${\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)=f(b),\qquad {\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)=-f(a).$

証明。微積分学の基本定理の証明から、

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left(\int _{a}^{b+\Delta b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\\[1ex]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\\[1ex]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\int _{b}^{b+\Delta b}f(x)\,dx\\[1ex]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left[f(b)\Delta b+O\left(\Delta b^{2}\right)\right]\\[1ex]&=f(b),\end{aligned}}$ そして ${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[\int _{a+\Delta a}^{b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]\\[6pt]&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\int _{a+\Delta a}^{a}f(x)\,dx\\[6pt]&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[-f(a)\Delta a+O\left(\Delta a^{2}\right)\right]\\[6pt]&=-f(a).\end{aligned}}$

aとbは定数であり、f ( x )には積分では定数だが異なる積分を形成するために変化する可能性のあるパラメータαが含まれると仮定します。f ( x , α )はコンパクト集合{(x, α): α₀≤α≤α₁かつa≤x≤b }におけるxとαの連続関数であり_、偏微分fα ( x , α )が存在し連続である_と_仮定します。次のように定義します。 $\varphi (\alpha )=\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx,$ それから $\varphi$ αに関して微分するには、積分記号の下で微分すればよい。 ${\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx.$

ハイネ・カントールの定理により、その集合内で一様連続である。言い換えれば、任意のε > 0に対して、[ a , b ] のすべてのxの値に対して、 $|f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )|<\varepsilon .$

一方で、 ${\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[6pt]&=\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=\int _{a}^{b}\left(f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )\right)\,dx\\[6pt]&\leq \varepsilon (b-a).\end{aligned}}$

したがって、φ ( α )は連続関数である。

同様に ${\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )$ が存在し、かつ連続であるならば、すべてのε > 0に対して、次の条件を満たす Δ α が存在する。 $\forall x\in [a,b],\quad \left|{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}-{\frac {\partial f}{\partial \alpha }}\right|<\varepsilon .$

したがって、 ${\frac {\Delta \varphi }{\Delta \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial f(x,\alpha )}{\partial \alpha }}\,dx+R,$ どこ $|R|<\int _{a}^{b}\varepsilon \,dx=\varepsilon (b-a).$

さて、ε → 0 は Δ α → 0 なので、 $\lim _{{\Delta \alpha }\to 0}{\frac {\Delta \varphi }{\Delta \alpha }}={\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx.$

これが、私たちが証明しようとした公式です。

さて、 $\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx=\varphi (\alpha ),$ ここで、aとbはαの関数であり、 αがΔαだけ増加すると、それぞれΔaとΔbだけ増加する。すると、 ${\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[6pt]&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx.\end{aligned}}$

平均値の定理の一形態、 ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)f(\xi ),}$ ここでa < ξ < bは、上記の Δ φの式の最初と最後の積分に適用でき、結果として次のようになります。 $\Delta \varphi =-\Delta a\,f(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\Delta b\,f(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha ).$

Δ αで割って、Δ α → 0 とし、ξ ₁ → aおよびξ ₂ → bであることに注意し、上記の導出を使用して、 ${\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx$ 収量 ${\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx+f(b,\alpha ){\frac {\partial b}{\partial \alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {\partial a}{\partial \alpha }}.$

これはライプニッツの積分法則の一般形である。

例

例１：固定制限

関数を考えてみましょう

\varphi (\alpha )=\int _{0}^{1}{\frac {\alpha }{x^{2}+\alpha ^{2}}}\,dx.

積分記号内の関数は、その点で連続ではありません。 $(x,\alpha )=(0,0)$ 、そして関数 $\varphi (\alpha )$ 不連続点がある $\alpha =0$ なぜなら $\varphi (\alpha )$ アプローチ $\pm \pi /2$ として $\alpha \to 0^{\pm }$ 。

微分すると $\varphi (\alpha )$ に関して $\alpha$ 積分記号の下には、 ${\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )=\int _{0}^{1}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\alpha }{x^{2}+\alpha ^{2}}}\right)\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}-\alpha ^{2}}{(x^{2}+\alpha ^{2})^{2}}}dx=\left.-{\frac {x}{x^{2}+\alpha ^{2}}}\right|_{0}^{1}=-{\frac {1}{1+\alpha ^{2}}},$ のために $\alpha \neq 0$ これは統合される可能性があります（ $\alpha$ ）見つける $\varphi (\alpha )={\begin{cases}0,&\alpha =0,\\-\arctan({\alpha })+{\frac {\pi }{2}},&\alpha \neq 0.\end{cases}}$

例２：変数の制限

可変制限の例： ${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\int _{\sin x}^{\cos x}\cosh t^{2}\,dt&=\cosh \left(\cos ^{2}x\right){\frac {d}{dx}}(\cos x)-\cosh \left(\sin ^{2}x\right){\frac {d}{dx}}(\sin x)+\int _{\sin x}^{\cos x}{\frac {\partial }{\partial x}}(\cosh t^{2})\,dt\\[6pt]&=\cosh(\cos ^{2}x)(-\sin x)-\cosh(\sin ^{2}x)(\cos x)+0\\[6pt]&=-\cosh(\cos ^{2}x)\sin x-\cosh(\sin ^{2}x)\cos x.\end{aligned}}$

アプリケーション

定積分を評価する

式 ${\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt$ 特定の定積分を評価する際に役立つことがある。この文脈で使用される場合、積分記号の下で微分するためのライプニッツの積分法則は、ファインマンの積分法としても知られている。

例３

考慮する $\varphi (\alpha )=\int _{0}^{\pi }\ln \left(1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}\right)\,dx,\qquad |\alpha |\neq 1.$ その導関数はポアソン積分として知られており、^{[ 10 ]}次のように与えられる。 ${\begin{aligned}{\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )&=\int _{0}^{\pi }{\frac {-2\cos(x)+2\alpha }{1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}}}dx\\[6pt]&={\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\pi }\left(1-{\frac {1-\alpha ^{2}}{1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}}}\right)dx\\[6pt]&=\left.{\frac {\pi }{\alpha }}-{\frac {2}{\alpha }}\left\{\arctan \left({\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\right)\right\}\right|_{0}^{\pi }.\end{aligned}}$

として $x$ から $0$ に $\pi$ 、我々は持っています ${\begin{cases}{\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\geq 0,&|\alpha |<1,\\{\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\leq 0,&|\alpha |>1.\end{cases}}$

したがって、 $\left.\arctan \left({\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\right)\right|_{0}^{\pi }={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},&|\alpha |<1,\\-{\frac {\pi }{2}},&|\alpha |>1.\end{cases}}$

したがって、

${\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )={\begin{cases}0,&|\alpha |<1,\\{\frac {2\pi }{\alpha }},&|\alpha |>1.\end{cases}}$

両辺を統合して $\alpha$ すると、次のようになります。 $\varphi (\alpha )={\begin{cases}C_{1},&|\alpha |<1,\\2\pi \ln |\alpha |+C_{2},&|\alpha |>1.\end{cases}}$

$C_{1}=0$ 評価から導かれる $\varphi (0)$ : $\varphi (0)=\int _{0}^{\pi }\ln(1)\,dx=\int _{0}^{\pi }0\,dx=0.$

決定するために $C_{2}$ 同様に、次の値を代入する必要がある。 $\alpha$ 1より大きい $\varphi (\alpha )$ これは少々不便です。代わりに、 ${\textstyle \alpha ={\frac {1}{\beta }}}$ 、どこ $|\beta |<1$ 。それから、 ${\begin{aligned}\varphi (\alpha )&=\int _{0}^{\pi }\left(\ln \left(1-2\beta \cos(x)+\beta ^{2}\right)-2\ln |\beta |\right)dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi }\ln \left(1-2\beta \cos(x)+\beta ^{2}\right)\,dx-\int _{0}^{\pi }2\ln |\beta |dx\\[6pt]&=0-2\pi \ln |\beta |\\[6pt]&=2\pi \ln |\alpha |.\end{aligned}}$

したがって、 $C_{2}=0$

計算 $\varphi (\alpha )$ 完了しました: $\varphi (\alpha )={\begin{cases}0,&|\alpha |<1,\\2\pi \ln |\alpha |,&|\alpha |>1.\end{cases}}$

もちろん、上記の議論は、 $\alpha =\pm 1$ 微分可能性の条件が満たされていないため。

例4

$I=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx,\qquad a,b>0.$

まず、以下を計算します。 ${\begin{aligned}J&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x}}dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\frac {1}{\cos ^{2}x}}{a+b{\frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}}}dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sec ^{2}x}{a+b\tan ^{2}x}}dx\\[6pt]&={\frac {1}{b}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left({\sqrt {\frac {a}{b}}}\right)^{2}+\tan ^{2}x}}\,d(\tan x)\\[6pt]&=\left.{\frac {1}{\sqrt {ab}}}\arctan \left({\sqrt {\frac {b}{a}}}\tan x\right)\right|_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&={\frac {\pi }{2{\sqrt {ab}}}}.\end{aligned}}$

積分の限界は独立している $a$ 、我々は持っています： ${\frac {\partial J}{\partial a}}=-\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\cos ^{2}x}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx$

一方で： ${\frac {\partial J}{\partial a}}={\frac {\partial }{\partial a}}\left({\frac {\pi }{2{\sqrt {ab}}}}\right)=-{\frac {\pi }{4{\sqrt {a^{3}b}}}}.$

これら2つの関係を等式で結ぶと、 $\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\cos ^{2}x}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{4{\sqrt {a^{3}b}}}}.$

同様に、 ${\frac {\partial J}{\partial b}}$ 収量 $\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin ^{2}x}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{4{\sqrt {ab^{3}}}}}.$

2つの結果を足し合わせると次のようになります。 $I=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{4{\sqrt {ab}}}}\left({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\right),$ 計算する $I$ ご希望に応じて。

この導出は一般化できる。ここで、 $I_{n}=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{n}}}\,dx,$ 容易に証明できるのは $(1-n)I_{n}={\frac {\partial I_{n-1}}{\partial a}}+{\frac {\partial I_{n-1}}{\partial b}}$

与えられた $I_{1}$ この積分還元公式は、すべての値を計算するために使用できます。 $I_{n}$ のために $n>1$ 積分は次のような $I$ そして $J$ ワイエルシュトラス置換法を用いて処理することもできます。

例5

ここでは、積分を考える。 $I(\alpha )=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\ln(1+\cos \alpha \cos x)}{\cos x}}\,dx,\qquad 0<\alpha <\pi .$

積分の下で微分すると $\alpha$ 、我々は持っています ${\begin{aligned}{\frac {d}{d\alpha }}I(\alpha )&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\ln(1+\cos \alpha \cos x)}{\cos x}}\right)\,dx\\[6pt]&=-\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha \cos x}}\,dx\\&=-\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin \alpha }{\left(\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}\right)+\cos \alpha \left(\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}\right)}}\,dx\\[6pt]&=-{\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}{\frac {1}{{\frac {1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,dx\\[6pt]&=-{\frac {2\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\frac {1}{2}}\sec ^{2}{\frac {x}{2}}}{{\frac {2\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,dx\\[6pt]&=-{\frac {2\left(2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\right)}{2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\cot ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,d\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\\[6pt]&=-2\cot {\frac {\alpha }{2}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\cot ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,d\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\\[6pt]&=-2\arctan \left(\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {x}{2}}\right){\bigg |}_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&=-\alpha .\end{aligned}}$

したがって： $I(\alpha )=C-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}.$

しかし ${\textstyle I{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=0}$ 定義により ${\textstyle C={\frac {\pi ^{2}}{8}}}$ そして $I(\alpha )={\frac {\pi ^{2}}{8}}-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}.$

例6

ここでは、積分を考える。 $\int _{0}^{2\pi }e^{\cos \theta }\cos(\sin \theta )\,d\theta .$

新しい変数φを導入し、積分を次のように書き換えます。 $f(\varphi )=\int _{0}^{2\pi }e^{\varphi \cos \theta }\cos(\varphi \sin \theta )\,d\theta .$

φ = 1の場合、これは元の積分と等しくなります。ただし、このより一般的な積分は、に関して微分することができます。 $\varphi$ : ${\frac {df}{d\varphi }}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\left[e^{\varphi \cos \theta }\cos(\varphi \sin \theta )\right]d\theta =\int _{0}^{2\pi }e^{\varphi \cos \theta }\left[\cos \theta \cos(\varphi \sin \theta )-\sin \theta \sin(\varphi \sin \theta )\right]d\theta .$

ここで、φを固定し、上のベクトル場を考えます。 $\mathbb {R} ^{2}$ 定義される $\mathbf {F} (x,y)=(F_{1}(x,y),F_{2}(x,y)):=(e^{\varphi x}\sin(\varphi y),e^{\varphi x}\cos(\varphi y))$ さらに、単位円の正の方向のパラメータ化を選択する。 $S^{1}$ によって与えられた $\mathbf {r} \colon [0,2\pi )\to \mathbb {R} ^{2}$ 、 $\mathbf {r} (\theta ):=(\cos \theta ,\sin \theta )$ 、となることによって $\mathbf {r} '(t)=(-\sin \theta ,\cos \theta )$ すると、上記の最後の積分は正確に ${\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }e^{\varphi \cos \theta }\left[\cos \theta \cos(\varphi \sin \theta )-\sin \theta \sin(\varphi \sin \theta )\right]d\theta \\[6pt]={}&\int _{0}^{2\pi }{\begin{bmatrix}e^{\varphi \cos \theta }\sin(\varphi \sin \theta )\\e^{\varphi \cos \theta }\cos(\varphi \sin \theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-\sin \theta \\{\hphantom {-}}\cos \theta \end{bmatrix}}\,d\theta \\[6pt]={}&\int _{0}^{2\pi }\mathbf {F} (\mathbf {r} (\theta ))\cdot \mathbf {r} '(\theta )\,d\theta \\[6pt]={}&\oint _{S^{1}}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =\oint _{S^{1}}F_{1}\,dx+F_{2}\,dy,\end{aligned}}$ 線積分 $\mathbf {F}$ 以上 $S^{1}$ グリーンの定理により、これは二重積分に等しい。 $\iint _{D}{\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\,dA,$ どこ $D$ は閉じた単位円盤である。その被積分関数は恒等的に0なので、 $df/d\varphi$ も同様に完全にゼロです。これは、f ( φ )が定数であることを意味します。定数は、評価することによって決定できます。 $f$ で $\varphi =0$ : $f(0)=\int _{0}^{2\pi }1\,d\theta =2\pi .$

したがって、元の積分も等しくなります。 $2\pi$ 。

解決すべきその他の問題

積分記号の下での微分法を用いて解ける積分は他にも無数に存在する。例えば、以下の各ケースでは、元の積分を新しいパラメータを持つ同様の積分に置き換えることができる。 $\alpha$ : ${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx&\to \int _{0}^{\infty }e^{-\alpha x}{\frac {\sin x}{x}}dx,\\[6pt]\int _{0}^{\pi /2}{\frac {x}{\tan x}}\,dx&\to \int _{0}^{\pi /2}{\frac {\tan ^{-1}(\alpha \tan x)}{\tan x}}dx,\\[6pt]\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln(1+x^{2})}{1+x^{2}}}\,dx&\to \int _{0}^{\infty }{\frac {\ln(1+\alpha ^{2}x^{2})}{1+x^{2}}}dx\\[6pt]\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{\ln x}}\,dx&\to \int _{0}^{1}{\frac {x^{\alpha }-1}{\ln x}}dx.\end{aligned}}$

最初の積分であるディリクレ積分は、 αが正の場合は絶対収束するが、αが正の場合は条件付き収束する。 $\alpha =0$ したがって、積分記号の下での微分は、次の場合に正当化しやすい。 $\alpha >0$ しかし、結果として得られる式が有効なままであることを証明するのは、 $\alpha =0$ 慎重な作業が必要です。

無限級数

積分記号の下での微分に関する測度論的解釈は、総和（有限または無限）を計数測度として解釈することで、総和にも適用できる。応用例としては、べき級数が収束半径に関して微分可能であるという事実が挙げられる。

オイラー・ラグランジュ方程式

ライプニッツの積分法則は、変分法におけるオイラー・ラグランジュ方程式の導出に用いられる。

大衆文化において

積分記号の下での微分は、故リチャード・ファインマン物理学者のベストセラー回顧録『冗談でしょう、ファインマンさん！』の「別の道具箱」という章で言及されている。彼は高校時代に、フレデリック・S・ウッズ（マサチューセッツ工科大学の数学教授）の古い教科書『高等微積分』（1926年）でそれを学んだと述べている。ファインマンが後に正式な微積分教育を受けた頃には、この手法はあまり教えられていなかったが、ファインマンはこの手法を用いることで、プリンストン大学の大学院に入学した際に、それまで難しかった積分問題を解くことができた。

私がどうしても習得できなかったことの一つが、複素積分でした。高校の物理教師であるベイダー先生がくれた本に載っている様々な方法で積分を解くことは覚えていました。ある日、先生は私に放課後残るように言いました。「ファインマン」と先生は言いました。「君はしゃべりすぎだし、うるさい。理由は分かっている。退屈しているんだ。だから本をあげる。後ろの隅に行ってこの本を勉強しなさい。この本に書いてあることを全て理解したら、またしゃべってもいいよ。」それで、物理の授業では毎回、パスカルの法則だろうが何だろうが、私は全く気にかけませんでした。私は後ろの隅で、ウッズ著の「Advanced Calculus」という本を読んでいました。ベイダー先生は私が「Calculus for the Practical Man」を少し勉強したことを知っていたので、大学の3年生か4年生向けの本格的な本をくれたのです。フーリエ級数、ベッセル関数、行列式、楕円関数など、私が全く知らなかった素晴らしいものがその本には載っていました。その本には、積分記号の下でパラメータを微分する方法も示されていました。これはある特定の演算です。大学ではあまり教えられていないことが分かりました。重視されていないのです。しかし、私はその方法の使い方を理解し、そのたった一つのツールを何度も何度も使いました。その本を使って独学したため、私は積分を行う独特の方法を身につけました。その結果、MITやプリンストン大学の学生が特定の積分で苦労したとき、それは彼らが学校で習った標準的な方法では解けなかったからです。もしそれが複素積分であれば、彼らは解けたでしょう。もしそれが単純な級数展開であれば、彼らは解けたでしょう。そこに私が現れて、積分記号の下で微分を試みると、多くの場合うまくいきました。だから私は積分を解くのが得意だと評判になったのですが、それは単に私の道具箱が他の人とは違っていて、他の人たちは私に問題を渡す前に自分の道具をすべて試していたからに過ぎません。

『ビッグバン★セオリー』シーズン8のエピソード2で、シェルドンはハワードに「xの2乗かけるeのマイナスx乗を、調べずに積分する方法を知ってるか？」と尋ね、ハワードは「ファインマンのトリックを使うよ。積分記号の下で微分するんだ」と答える。

参考文献

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さらに読む

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外部リンク

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[8] スピヴァック、マイケル（1994）。微積分（第3版）。テキサス州ヒューストン：Publish or Perish, Inc.、pp . 267–268。ISBN 978-0-914098-89-8。

[9] スピヴァク、マイケル (1965).多様体上の微積分. アディソン・ウェスリー出版. p. 31. ISBN 978-0-8053-9021-6。

[10] Zachmanoglou, EC; Thoe, Dale W. (1986-01-01). Introduction to Partial Differential Equations with Applications . New York: Courier Corporation. p. 228. ISBN 978-0-486-65251-1。

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