リッチ曲率

微分幾何学において、リッチ曲率テンソルは、グレゴリオ・リッチ＝クルバストロにちなんで名付けられ、多様体上のリーマン計量または擬リーマン計量の選択によって決定される幾何学的対象である。広義には、与えられた計量テンソルの幾何学が、通常のユークリッド空間または擬ユークリッド空間の幾何学と局所的にどの程度異なるかを示す尺度として考えることができる。

リッチテンソルは、空間内の測地線に沿って移動すると形状がどのように変形するかを測定することによって特徴付けることができます。擬似リーマン設定を含む一般相対性理論では、これはレイショードリ方程式におけるリッチテンソルの存在によって反映されています。この理由の一部は、アインシュタイン場の方程式が、リッチテンソルと宇宙の物質内容の間に驚くほど単純な関係を持つ擬似リーマン計量によって時空を記述できることを提案しているからです。

計量テンソルと同様に、リッチテンソルは多様体の各接空間に対称双線型形式を割り当てます(Besse 1987、p. 43)。^[1]大まかに言えば、リーマン幾何学におけるリッチ曲率の役割は、関数の解析におけるラプラシアンの役割に類推できます。この類推では、リッチ曲率が自然な副産物であるリーマン曲率テンソルは、関数の 2 次導関数の完全な行列に対応します。ただし、同じ類推を描く 方法は他にもあります。

3次元位相幾何学では、リッチテンソルは、高次元ではより複雑なリーマン曲率テンソルによって符号化されるすべての情報を含みます。この単純さにより、多くの幾何学的および解析的ツールを適用することができ、リチャード・S・ハミルトンとグリゴリー・ペレルマンの研究を通じてポアンカレ予想が解決されました。

微分幾何学では、リーマン多様体上のリッチテンソルの下界により、定曲率空間形式の幾何学との比較（比較定理を参照）によって、大域的な幾何学的および位相的な情報を抽出することができます。これは、1941 年にマイヤーズの定理によって初めて示されたように、リッチテンソルの下界がリーマン幾何学の長さ関数の研究に効果的に使用できるためです。

リッチテンソルの一般的な発生源の 1 つは、共変微分とテンソルラプラシアンを交換するたびにリッチテンソルが発生することです。これは、たとえば、リーマン幾何学で広く使用されているボクナーの公式にリッチテンソルが存在する理由を説明しています。たとえば、この公式は、 Shing-Tung Yau (および Cheng-Yau 不等式や Li-Yau 不等式などのその発展形)による勾配推定が、ほとんど常にリッチ曲率の下限に依存する理由を説明しています。

2007年、ジョン・ロット、カール・テオドール・シュトゥルム、セドリック・ヴィラニは、リッチ曲率の下限はリーマン多様体の計量空間構造とその体積形式だけで完全に理解できることを決定的に証明した。^{[2]これにより、リッチ曲率と}ワッサーシュタイン幾何学および最適輸送の間に深いつながりが確立され、現在多くの研究が行われている。^[要出典]

が、レヴィ・チヴィタ接続を備えた次元 リーマン多様体または擬リーマン多様体であるとします。 のリーマン曲率は、滑らかなベクトル場、、を取り、ベクトル場上のベクトル場を返す写像です。はテンソル場なので、各点 に対して、（多重線型）写像が生成されます。各点 に対して、写像を次のように 定義します。${\displaystyle \left(M,g\right)}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \nabla}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$$${\displaystyle R(X,Y)Z:=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]} Z}$$ ${\displaystyle X,Y,Z}$${\displaystyle R}$${\displaystyle p\in M}$$${\displaystyle \operatorname {R} _{p}:T_{p}M\times T_{p}M\times T_{p}M\to T_{p}M.}$$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}(Y,Z):=\operatorname {tr} {\big (}X\mapsto \operatorname {R} _{p}(X,Y)Z{\big )}.}$$

つまり、 と を固定すると、ベクトル空間 の任意の正規直交基底に対して 、 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$${\displaystyle T_{p}M}$

$${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}(Y,Z)=\sum _{i=1}\langle \operatorname {R} _{p}(v_{i},Y)Z,v_{i}\rangle .}$$

この定義が基底の選択に依存しないことを確認することは、（多重）線型代数の標準的な演習です 。 ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$

抽象インデックス表記では、

$${\displaystyle \mathrm {Ric} _{ab}=\mathrm {R} ^{c}{}_{bca}=\mathrm {R} ^{c}{}_{acb}.}$$

符号規則。一部のソースではを と定義していますが、ここではと定義します 。 リーマン テンソルについては符号規則が異なりますが、リッチ テンソルについては同じです。 ${\displaystyle R(X,Y)Z}$${\displaystyle -R(X,Y)Z;}$${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}}$${\displaystyle -\operatorname {tr} (X\mapsto \operatorname {R} _{p}(X,Y)Z).}$

を滑らかなリーマン多様体 または擬リーマン多様体とする。滑らかなチャートが与えられたとき、 それぞれに対して 関数とが存在し 、 ${\displaystyle \left(M,g\right)}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$${\displaystyle g_{ij}:\varphi (U)\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle g^{ij}:\varphi (U)\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle i,j=1,\ldots ,n}$

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}g^{ik}(x)g_{kj}(x)=\delta _{j}^{i}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}}}$$

すべての に対して が成り立ちます。後者は、 が行列として表されることを示しています。関数は座標ベクトル場 を評価することによって定義され、関数は行列値関数として、行列値関数 の逆関数を提供するように定義されます。 ${\displaystyle x\in \varphi (U)}$${\displaystyle g^{ij}(x)=(g^{-1})_{ij}(x)}$${\displaystyle g_{ij}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g^{ij}}$${\displaystyle x\mapsto g_{ij}(x)}$

ここで、 1から までのそれぞれの、、、に対して、関数 を定義する。${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{ab}^{c}&:={\frac {1}{2}}\sum _{d=1}^{n}\left({\frac {\partial g_{bd}}{\partial x^{a}}}+{\frac {\partial g_{ad}}{\partial x^{b}}}-{\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{d}}}\right)g^{cd}\\R_{ij}&:=\sum _{a=1}^{n}{\frac {\partial \Gamma _{ij}^{a}}{\partial x^{a}}}-\sum _{a=1}^{n}{\frac {\partial \Gamma _{ai}^{a}}{\partial x^{j}}}+\sum _{a=1}^{n}\sum _{b=1}^{n}\left(\Gamma _{ab}^{a}\Gamma _{ij}^{b}-\Gamma _{ib}^{a}\Gamma _{aj}^{b}\right)\end{aligned}}}$$

地図として。 ${\displaystyle \varphi :U\rightarrow \mathbb {R} }$

ここで、 とを の 2 つの滑らかなチャートとします。をチャート で上記のように計算された関数とし、をチャート で上記のように計算された関数とします。次に、連鎖律と積の法則を使った計算によって、次のことが確認できます。 ${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$${\displaystyle \left(V,\psi \right)}$${\displaystyle U\cap V\neq \emptyset }$${\displaystyle R_{ij}:\varphi (U)\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$${\displaystyle r_{ij}:\psi (V)\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle \left(V,\psi \right)}$

$${\displaystyle R_{ij}(x)=\sum _{k,l=1}^{n}r_{kl}\left(\psi \circ \varphi ^{-1}(x)\right)D_{i}{\Big |}_{x}\left(\psi \circ \varphi ^{-1}\right)^{k}D_{j}{\Big |}_{x}\left(\psi \circ \varphi ^{-1}\right)^{l}.}$$

ここで はの 方向に沿った第1導関数である。これは、次の定義が の選択に依存しないことを示す 。任意の に対して、双線型写像を 次のように 定義する。${\displaystyle D_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$${\displaystyle p\in U}$${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}:T_{p}M\times T_{p}M\rightarrow \mathbb {R} }$

$${\displaystyle (X,Y)\in T_{p}M\times T_{p}M\mapsto \operatorname {Ric} _{p}(X,Y)=\sum _{i,j=1}^{n}R_{ij}(\varphi (x))X^{i}(p)Y^{j}(p),}$$

ここで、およびは、の座標ベクトル場に対する、およびにおける接線ベクトルの成分です。 ${\displaystyle X^{1},\ldots ,X^{n}}$${\displaystyle Y^{1},\ldots ,Y^{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$

上記の正式なプレゼンテーションは、次のスタイルで省略するのが一般的です。

を滑らかな多様体とし、gをリーマン計量または擬リーマン計量とする。局所滑らかな座標において、クリストッフェル記号を定義する。 ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{ij}^{k}&:={\frac {1}{2}}g^{kl}\left(\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij}\right)\\R_{jk}&:=\partial _{i}\Gamma _{jk}^{i}-\partial _{j}\Gamma _{ki}^{i}+\Gamma _{ip}^{i}\Gamma _{jk}^{p}-\Gamma _{jp}^{i}\Gamma _{ik}^{p}.\end{aligned}}}$$

直接確認できるのは

$${\displaystyle R_{jk}={\widetilde {R}}_{ab}{\frac {\partial {\widetilde {x}}^{a}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial {\widetilde {x}}^{b}}{\partial x^{k}}},}$$

となるので、 は上の (0,2)-テンソル場を定義する。特に、と が上のベクトル場である場合、任意の滑らかな座標に対して、 ${\displaystyle R_{ij}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle M}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{jk}X^{j}Y^{k}&=\left({\widetilde {R}}_{ab}{\frac {\partial {\widetilde {x}}^{a}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial {\widetilde {x}}^{b}}{\partial x^{k}}}\right)\left({\widetilde {X}}^{c}{\frac {\partial x^{j}}{\partial {\widetilde {x}}^{c}}}\right)\left({\widetilde {Y}}^{d}{\frac {\partial x^{k}}{\partial {\widetilde {x}}^{d}}}\right)\\&={\widetilde {R}}_{ab}{\widetilde {X}}^{c}{\widetilde {Y}}^{d}\left({\frac {\partial {\widetilde {x}}^{a}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial x^{j}}{\partial {\widetilde {x}}^{c}}}\right)\left({\frac {\partial {\widetilde {x}}^{b}}{\partial x^{k}}}{\frac {\partial x^{k}}{\partial {\widetilde {x}}^{d}}}\right)\\&={\widetilde {R}}_{ab}{\widetilde {X}}^{c}{\widetilde {Y}}^{d}\delta _{c}^{a}\delta _{d}^{b}\\&={\widetilde {R}}_{ab}{\widetilde {X}}^{a}{\widetilde {Y}}^{b}.\end{aligned}}}$$

最後の行には、双線形写像 Ric が明確に定義されていることの証明が含まれており、これは非公式表記法で記述する方がはるかに簡単です。

上記の 2 つの定義は同一です。座標アプローチでと を定義する式は、レヴィ-チヴィタ接続を定義する式、およびレヴィ-チヴィタ接続を介したリーマン曲率を定義する式と完全に一致しています。前述のリーマン テンソルの「重要な特性」が成立するにはハウスドルフであることが必要なため、おそらく、ローカル座標を直接使用する定義の方が望ましいと言えます。対照的に、ローカル座標アプローチでは滑らかなアトラスのみが必要です。また、ローカル アプローチの根底にある「不変性」の考え方を、スピノル場などのよりエキゾチックな幾何学的オブジェクトを構築する方法と結び付けることも、いくぶん容易です。 ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$${\displaystyle R_{ij}}$${\displaystyle M}$

導入部で定義した複雑な式は、次のセクションのものと同じです。唯一の違いは、用語がグループ化されているため、簡単にわかることです。${\displaystyle R_{ij}}$${\displaystyle R_{ij}=R_{ji}.}$

リーマン曲率テンソルの対称性からわかるように、リーマン多様体のリッチテンソルは次の意味で 対称である。

$${\displaystyle \operatorname {Ric} (X,Y)=\operatorname {Ric} (Y,X)}$$

全ての${\displaystyle X,Y\in T_{p}M.}$

したがって、線型代数的に、単位長さのすべてのベクトルの 量を知ることによって、リッチテンソルが完全に決定されることがわかります。単位接線ベクトルの集合上のこの関数は、リッチ曲率とも呼ばれます。これは、これを知ることがリッチ曲率テンソルを知ることと同等であるためです。 ${\displaystyle \operatorname {Ric} (X,X)}$${\displaystyle X}$

リッチ曲率はリーマン多様体の断面曲率によって決まりますが、一般に情報量は少なくなります。実際、 がリーマン -多様体上の単位長さのベクトルである場合、 は を 含むすべての 2-平面にわたる断面曲率の平均値のちょうど倍になります。このような 2-平面の -次元族が存在するため、次元 2 と 3 においてのみリッチテンソルが完全な曲率テンソルを決定します。注目すべき例外は、多様体がユークリッド空間の超曲面として事前に与えられている場合です。ガウス-コダッツィ方程式を介して完全な曲率を決定する2 番目の基本形式自体はリッチテンソルによって決定され、超曲面の主方向はリッチテンソルの固有方向 でもあります。このため、テンソルはリッチによって導入されました。 ${\displaystyle \xi }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \operatorname {Ric} (\xi ,\xi )}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle (n-2)}$

ビアンキの2番目の恒等式からわかるように、

$${\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {Ric} ={\frac {1}{2}}dR,}$$

ここで、はスカラー曲率であり、局所座標では と定義されます。これは、しばしば縮約された第 2 ビアンキ恒等式と呼ばれます。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle g^{ij}R_{ij}.}$

リーマン多様体 の任意の点の近くでは、測地線正規座標と呼ばれる優先局所座標を定義できます。これらは計量に適合しており、 を通る測地線は原点を通る直線に対応し、 からの測地線距離は原点からのユークリッド距離に対応します。これらの座標では、計量テンソルはユークリッド計量によって正確に近似され、次のようになります。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle \left(M,g\right)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

$${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}+O\left(|x|^{2}\right).}$$

実際、標準座標系における放射状測地線に沿った ヤコビ場に適用された計量のテイラー展開をとると、$${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}-{\frac {1}{3}}R_{ikjl}x^{k}x^{l}+O\left(|x|^{3}\right).}$$

これらの座標では、メトリック体積要素はpで次のように展開されます。

$${\displaystyle d\mu _{g}=\left[1-{\frac {1}{6}}R_{jk}x^{j}x^{k}+O\left(|x|^{3}\right)\right]d\mu _{\text{Euclidean}},}$$

これは、メトリックの 行列式の平方根を展開することによって得られます。

したがって、リッチ曲率がベクトル の方向で正の場合、約 の小さな円錐の内部で初期速度を持ち、長 さ の測地線分の密集した族によって掃引される の 円錐領域は、少なくとも が 十分に小さい限り、ユークリッド空間の対応する円錐領域よりも体積が小さくなります。同様に、リッチ曲率が与えられたベクトル の方向で負の場合、多様体内のそのような円錐領域は、ユークリッド空間での体積よりも大きくなります。 ${\displaystyle \operatorname {Ric} (\xi ,\xi )}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \xi }$

リッチ曲率は、本質的には を含む平面の曲率の平均です 。したがって、最初は円形 (または球形) の断面で放出された円錐が歪んで楕円 (楕円体) になった場合、主軸に沿った歪みが互いに打ち消し合うと、体積の歪みが消える可能性があります 。その場合、リッチ曲率は に沿って消えます。物理的な応用では、消えない断面曲率の存在は、必ずしも局所的な質量の存在を示すものではありません。世界線の円錐の最初は円形の断面が、体積を変えずに後に楕円形になった場合、これは他の場所にある質量による潮汐の影響によるものです。 ${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \xi }$

リッチ曲率は一般相対性理論において重要な役割を果たしており、アインシュタインの場の方程式の重要な項となっています。

リッチ曲率は、 1982 年にRichard S. Hamiltonによって初めて導入されたリッチフロー方程式にも現れます。この方程式では、リーマン計量の特定の 1 パラメータ族が、幾何学的に定義された偏微分方程式の解として選択されます。調和ローカル座標では、リッチテンソルは次のように表すことができます (Chow & Knopf 2004、Lemma 3.32)。^[3] ここで、は計量テンソルの成分であり、はラプラス–ベルトラミ演算子です。この事実は、計量に対する熱方程式の自然な拡張としてリッチフロー方程式を導入する動機となっています。熱は固体中を拡散して物体が一定温度の平衡状態に達する傾向があるため、多様体が与えられている場合、リッチフローによってアインシュタイン計量または一定曲率の「平衡」リーマン計量が生成されることが期待されます。しかし、多くの多様体はそのような測定基準をサポートできないため、このような明確な「収束」図は実現できません。主にハミルトンとグリゴリー・ペレルマンによるリッチフローの解の性質に関する詳細な研究は、収束の失敗に対応するリッチフローに沿って発生する「特異点」の種類が、3次元トポロジーに関する詳細な情報をエンコードすることを示しています。この研究の集大成は、 1970年代にウィリアム・サーストン によって最初に提案された幾何学化予想の証明であり、これはコンパクトな3次元多様体の分類と考えることができます。 $${\displaystyle R_{ij}=-{\frac {1}{2}}\Delta \left(g_{ij}\right)+{\text{lower-order terms}},}$$${\displaystyle g_{ij}}$${\displaystyle \Delta }$

ケーラー多様体では、リッチ曲率が多様体の最初のチャーン類を決定します （捩れを法とする）。しかし、リッチ曲率は、一般的なリーマン多様体では類似の位相的解釈を持ちません。

以下は、正のリッチ曲率を持つ多様体に関する大域的結果の短いリストです。リーマン幾何学の古典的な定理も参照してください。簡単に言うと、リーマン多様体の正のリッチ曲率は強い位相的影響を持ちますが、負のリッチ曲率は（少なくとも次元が 3 の場合）、位相的影響を持ちません。 （リッチ曲率は、リッチ曲率関数が非ゼロの接ベクトルの集合上で正である場合に、正であると言われます。）擬リーマン多様体についてもいくつかの結果が知られています。 ${\displaystyle \operatorname {Ric} (\xi ,\xi )}$${\displaystyle \xi }$

1. マイヤーズの定理(1941) によれば、リッチ曲率が完全リーマンn多様体上で下から で有界である場合、多様体の直径は になります。被覆空間の議論により、正のリッチ曲率を持つコンパクト多様体は有限の基本群を持つことになります。チェン(1975) は、この設定では、直径の不等式における等式は、多様体が定曲率 の球に等長である場合のみに発生することを示しました。${\displaystyle (n-1)k>0}$${\displaystyle \leq \pi /{\sqrt {k}}}$${\displaystyle k}$
2. ビショップ・グロモフの不等式は、完全な- 次元リーマン多様体が非負のリッチ曲率を持つ場合、測地球の体積はユークリッド - 空間における同じ半径の測地球の体積以下になることを述べています。さらに、 が多様体内の中心と半径を持つ球の体積を表し、 がユークリッド - 空間における半径の球の体積を表す場合、関数は非増加です。これはリッチ曲率の任意の下限値 (非負性だけでなく) に一般化でき、グロモフのコンパクト性定理の証明における重要なポイントです。${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle v_{p}(R)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle R}$${\displaystyle V(R)=c_{n}R^{n}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle n}$${\displaystyle v_{p}(R)/V(R)}$
3. チーガー・グロモルの分割定理は、を持つ完全リーマン多様体が直線、つまりすべての に対して となる測地線を含む場合、その多様体は積空間 に等長であると述べています。したがって、正のリッチ曲率を持つ完全多様体は、最大で 1 つの位相端を持つことができます。この定理は、非負のリッチテンソルを持つ（計量シグネチャ の）完全ローレンツ多様体に対するいくつかの追加仮定の下でも成り立ちます（Galloway 2000）。${\displaystyle \left(M,g\right)}$${\displaystyle \operatorname {Ric} \geq 0}$${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \to M}$${\displaystyle d(\gamma (u),\gamma (v))=\left|u-v\right|}$${\displaystyle u,v\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} \times L}$${\displaystyle \left(+--\ldots \right)}$
4. ハミルトンのリッチフローに対する最初の収束定理は、帰結として、リーマン計量が正のリッチ曲率を持つ唯一のコンパクトな 3 次元多様体は、適切に不連続に作用する SO(4) の離散部分群による 3 次元球面の商である、というものである。彼は後にこれを拡張し、非負のリッチ曲率を許容した。特に、単連結な唯一の可能性は 3 次元球面そのものである。

これらの結果、特にマイヤーズとハミルトンの結果は、正のリッチ曲率が強い位相的意味を持つことを示している。対照的に、曲面の場合を除いて、負のリッチ曲率には現在位相的意味はないことがわかっている。ローカンプ (1994) は、2 次元より大きい任意の多様体は負のリッチ曲率の完全なリーマン計量を許容することを示した。2 次元多様体の場合、リッチ曲率が負であることはガウス曲率が負であることと同義であり、非常に明確な位相的意味を持つ。負のガウス曲率のリーマン計量を許容しない 2 次元多様体は非常に少ない。

計量が共形因子 を乗じて変更された 場合、新しい共形関係の計量のリッチテンソルは 次のように表される（Besse 1987, p. 59）。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle e^{2f}}$${\displaystyle {\tilde {g}}=e^{2f}g}$

$${\displaystyle {\widetilde {\operatorname {Ric} }}=\operatorname {Ric} +(2-n)\left[\nabla df-df\otimes df\right]+\left[\Delta f-(n-2)\|df\|^{2}\right]g,}$$

ここで、（正のスペクトルの）ホッジ ラプラシアン、つまりヘッセ行列の通常のトレースの 反対です。${\displaystyle \Delta =*d*d}$

特に、リーマン多様体内の点が与えられれば、リッチテンソルが でゼロになるような、与えられた計量に共形な計量を見つけることは常に可能です。ただし、これは点ごとの主張にすぎないことに注意してください。通常、共形再スケーリングによってリッチ曲率を多様体全体で同じようにゼロにすることは不可能です。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle g}$${\displaystyle p}$

2次元多様体の場合、上記の式は、 が調和関数である 場合、共形スケーリングによって リッチテンソルは変化しないことを示しています（ただし、 でない限り、計量に対するトレースは変化します）。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle g\mapsto e^{2f}g}$${\displaystyle f=0}$

リーマン幾何学および擬リーマン幾何学において、 リーマン多様体または擬リーマン多様体のトレースフリーリッチテンソル（トレースレスリッチテンソルとも呼ばれる）は、次 のように定義されるテンソルである。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \left(M,g\right)}$

$${\displaystyle Z=\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg,}$$

ここで、およびは のリッチ曲率とスカラー曲率を表します。このオブジェクトの名前は、そのトレースが自動的に消えるという事実を反映しています。 ただし、リッチテンソルの「直交分解」を反映するため、これは非常に重要なテンソルです。 ${\displaystyle \operatorname {Ric} }$${\displaystyle R}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \operatorname {tr} _{g}Z\equiv g^{ab}Z_{ab}=0.}$

次の、それほど重要ではない特性は

$${\displaystyle \operatorname {Ric} =Z+{\frac {1}{n}}Rg.}$$

右側の 2 つの項が互いに直交していることは、すぐには分かりません。

$${\displaystyle \left\langle Z,{\frac {1}{n}}Rg\right\rangle _{g}\equiv g^{ab}\left(R_{ab}-{\frac {1}{n}}Rg_{ab}\right)=0.}$$

これと密接に関係する（しかし直接証明できる）同一性は、

$${\displaystyle \left|\operatorname {Ric} \right|_{g}^{2}=|Z|_{g}^{2}+{\frac {1}{n}}R^{2}.}$$

発散を取り、縮約されたビアンキ恒等式を使用すると、 が 意味することがわかります。したがって、 n ≥ 3かつ が連結である場合、 が消えることはスカラー曲率が一定であることを意味します。次に、次の式が同値であることがわかります。 ${\displaystyle Z=0}$${\textstyle {\frac {1}{2}}dR-{\frac {1}{n}}dR=0}$${\displaystyle M}$${\displaystyle Z}$

• ${\displaystyle Z=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ric} =\lambda g}$ある数字について${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle \operatorname {Ric} ={\frac {1}{n}}Rg}$

リーマンの設定では、上記の直交分解は、が これらの条件と同値であることを示している。対照的に、擬似リーマンの設定では、条件は 必ずしも意味しないので、これらの条件が意味することはせいぜい次のようになる。${\displaystyle R^{2}=n|\operatorname {Ric} |^{2}}$${\displaystyle |Z|_{g}^{2}=0}$${\displaystyle Z=0,}$${\displaystyle R^{2}=n\left|\operatorname {Ric} \right|_{g}^{2}.}$

特に、トレースフリーのリッチテンソルが消失することは 、 数 に対する条件によって定義されるアインシュタイン多様体を特徴付けます。一般相対性理論では、この方程式は、が宇宙定数を持つアインシュタインの真空場方程式の解であることを示しています。 ${\displaystyle \operatorname {Ric} =\lambda g}$${\displaystyle \lambda .}$${\displaystyle \left(M,g\right)}$

ケーラー多様体 上では、リッチ曲率が 正準直線束の曲率形式を決定する (Moroianu 2007、第 12 章)。正準直線束は、 正則ケーラー微分束の上の外部冪である。 ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \kappa ={\textstyle \bigwedge }^{n}~\Omega _{X}.}$$

上の計量に対応するレヴィ・チヴィタ接続は、上の接続を生み出す。この接続の曲率は、次のように定義される2次元形式である。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \kappa }$

$${\displaystyle \rho (X,Y)\;{\stackrel {\text{def}}{=}}\;\operatorname {Ric} (JX,Y)}$$

ここで、 はケーラー多様体の構造によって決定される接バンドル上の複素構造写像です。リッチ形式は閉じた2 形式です。そのコホモロジー類は、実定数因子を除いて、標準バンドルの最初のチャーン類であり、したがって、の位相と 複素構造のホモトピー類のみに依存するという意味で(コンパクトな に対して) の位相不変量です。 ${\displaystyle J}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

逆に、リッチ形式はリッチテンソルを次のように決定する。

$${\displaystyle \operatorname {Ric} (X,Y)=\rho (X,JY).}$$

局所正則座標では、リッチ形式は次のように与えられる。 ${\displaystyle z^{\alpha }}$

$${\displaystyle \rho =-i\partial {\overline {\partial }}\log \det \left(g_{\alpha {\overline {\beta }}}\right)}$$

ここで∂はドルボー演算子であり、

$${\displaystyle g_{\alpha {\overline {\beta }}}=g\left({\frac {\partial }{\partial z^{\alpha }}},{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}^{\beta }}}\right).}$$

リッチテンソルがゼロであれば、標準バンドルは平坦なので、 構造群は特殊線型群 のサブグループに局所的に簡約できます。しかし、ケーラー多様体はにおいてすでにホロノミーを持っているので、リッチ平坦ケーラー多様体の (制限付き) ホロノミーは に含まれます。逆に、2次元リーマン多様体の (制限付き) ホロノミーが に含まれる場合、多様体はリッチ平坦ケーラー多様体です (Kobayashi & Nomizu 1996, IX, §4)。 ${\displaystyle SL(n;\mathbb {C} )}$${\displaystyle U(n)}$${\displaystyle SU(n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle SU(n)}$

リッチテンソルは任意のアフィン接続に一般化することもでき、射影幾何学（非パラメータ化測地線に関連する幾何学）の研究において特に重要な役割を果たす不変量である （Nomizu & Sasaki 1994）。 が アフィン接続を表す場合、曲率テンソルは次のように定義される（1,3）テンソルである。 ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle R}$

$${\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z}$$

任意のベクトル場に対して、リッチテンソルはトレースとして定義されます。 ${\displaystyle X,Y,Z}$

$${\displaystyle \operatorname {ric} (X,Y)=\operatorname {tr} {\big (}Z\mapsto R(Z,X)Y{\big )}.}$$

このより一般的な状況では、接続に対して 局所的に平行体積形式が存在する場合にのみ、リッチ テンソルは対称になります。

離散多様体上のリッチ曲率の概念はグラフとネットワーク上で定義されており、エッジの局所的発散特性を定量化しています。オリヴィエのリッチ曲率は最適輸送理論を使用して定義されています。^[4] 別の（そしてより古い）概念であるフォルマンのリッチ曲率は位相的議論に基づいています。^[5]

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