変位電流密度

電磁気学において、変位電流密度は電束密度 $D$ の変化率であり、マクスウェル方程式では $\partial D / \partial t$ として現れます。変位電流密度は電流密度と同じ単位を持ち、実際の電流と同様に磁場の発生源となります。ただし、これは移動する電荷の電流ではなく、時間とともに変化する電場です。物理的な物質（真空とは対照的に）では、原子に束縛された電荷のわずかな動きによる寄与もあり、これは誘電分極と呼ばれます。

このアイデアは、ジェームズ・クラーク・マクスウェルが1861年の論文「物理的な力線について」（第3部）^{[ 1 ]}で、誘電体媒体中の電気粒子の変位に関連して考案したものです。マクスウェルは、アンペールの周回法則の電流項に変位電流を追加しました。1865年の論文「電磁場の動力学的理論」で、マクスウェルはこの修正されたアンペールの周回法則を用いて電磁波方程式を導出しました。この導出は、電気、磁気、光学を1つの統一理論に統合したことから、物理学における歴史的な金字塔として現在では広く認められています。変位電流項は、マクスウェル方程式を完成させる重要な追加要素であり、多くの現象、特に電磁波の存在を説明するために必要であると考えられています。

説明

電束密度場 $D$ は次のように定義される。

$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \ ,$

どこ：

$ε₀ は$ 真空の誘電率である
$E$ は電界強度であり、
$P$ は媒質の分極率である

この方程式を時間に関して微分すると、変位電流密度（ $J D$ ）が定義され、誘電体では2つの成分を持つ^{[ 2 ]} （「電流密度#変位電流」も参照）。

$\mathbf {J} _{\mathrm {D} }=\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\,.$

The first term on the right hand side is present in material media and in free space. It doesn't necessarily come from any actual movement of charge, but it does have an associated magnetic field, just as a current does due to charge motion. Some authors apply the name displacement current to the first term by itself.^[3]

The second term on the right hand side, called polarization current density, comes from the change in polarization of the individual molecules of the dielectric material. Polarization results when, under the influence of an applied electric field, the charges in molecules have moved from a position of exact cancellation. The positive and negative charges in molecules separate, causing an increase in the state of polarization $P$ . A changing state of polarization corresponds to charge movement and so is equivalent to a current, hence the term "polarization current". Thus,

$I_{\mathrm {D} }=\iint _{S}\mathbf {J} _{\mathrm {D} }\cdot \operatorname {d} \!\mathbf {S} =\iint _{S}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\cdot \operatorname {d} \!\mathbf {S} ={\frac {\partial }{\partial t}}\iint _{S}\mathbf {D} \cdot \operatorname {d} \!\mathbf {S} ={\frac {\partial \Phi _{\mathrm {D} }}{\partial t}}\,.$

This polarization is the displacement current as it was originally conceived by Maxwell. Maxwell made no special treatment of the vacuum, treating it as a material medium. For Maxwell, the effect of $P$ was simply to change the relative permittivity $ε r$ in the relation $D = ε 0 ε r E$ .

The modern justification of displacement current is explained below.

Isotropic dielectric case

In the case of a very simple dielectric material the constitutive relation holds:

$\mathbf {D} =\varepsilon \,\mathbf {E} ~,$

where the permittivity $\varepsilon =\varepsilon _{0}\,\varepsilon _{\mathrm {r} }$ is the product of:

$ε 0$ , the permittivity of free space, or the electric constant; and
$ε r$ , the relative permittivity of the dielectric.

In the equation above, the use of $ε$ accounts for the polarization (if any) of the dielectric material.

The scalar value of displacement current may also be expressed in terms of electric flux:

$I_{\mathrm {D} }=\varepsilon \,{\frac {\,\partial \Phi _{\mathrm {E} }\,}{\partial t}}~.$

The forms in terms of scalar $ε$ are correct only for linear isotropic materials. For linear non-isotropic materials, $ε$ becomes a matrix; even more generally, $ε$ may be replaced by a tensor, which may depend upon the electric field itself, or may exhibit frequency dependence (hence dispersion).

For a linear isotropic dielectric, the polarization $P$ is given by:

$\mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi _{\mathrm {e} }\,\mathbf {E} =\varepsilon _{0}(\varepsilon _{\mathrm {r} }-1)\,\mathbf {E} ~,$

ここで、 $χe は$ 誘電体の電場に対する感受率として知られています。

$\varepsilon =\varepsilon _{\mathrm {r} }\,\varepsilon _{0}=\left(1+\chi _{\mathrm {e} }\right)\,\varepsilon _{0}~.$

必要性

変位電流から導かれるいくつかの意味合いは、実験観察結果と、電磁気学理論における論理的一貫性の要件と一致する。

アンペールの周回法則の一般化

コンデンサー内の電流

変位電流の必要性を示す例として、極板間に媒体がないコンデンサが挙げられます。図に示す充電中のコンデンサを考えてみましょう。

コンデンサは、左のプレートと右のプレートに等しく反対の電荷が発生する回路内にあり、コンデンサを充電し、プレート間の電界を増大させます。プレート間の真空を通して実際の電荷は輸送されません。それにもかかわらず、プレート間には電流が存在するかのように磁場が存在します。一つの説明としては、変位電流 $I D が$ 真空中に「流れ」、この電流がアンペールの法則に従ってプレート間の領域に磁場を生成するというものです。^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

$\oint _{C}\mathbf {B} \cdot \operatorname {d} \!{\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}I_{\mathrm {D} }~,$

どこ

$\oint _{C}$ は、ある閉曲線 $C$ の周りの閉線積分です。
$\mathbf {B}$ はテスラ単位で測定される磁場です。
$\operatorname {\cdot } ~$ ベクトルの内積です。
$\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}$ は曲線 $Cに沿った$ 微小ベクトル線要素であり、すなわち、大きさが $Cの長さ要素に等しく、方向が曲線$ $C$ の接線によって与えられるベクトルである。
$\mu _{0}\,$ は磁気定数であり、自由空間の透磁率とも呼ばれます。
$I_{\mathrm {D} }\,$ は、曲線 $C$ で囲まれた小さな面を通過する正味の変位電流です。

プレート間の磁場はプレートの外側の磁場と同じなので、変位電流はワイヤ内の伝導電流と同じでなければなりません。つまり、

$I_{\mathrm {D} }=I\,,$

これは、電流の概念を単なる電荷の輸送を超えて拡張するものである。

次に、この変位電流はコンデンサの充電と関係しています。左側のプレートを囲む仮想的な円筒面内の電流を考えてみましょう。電流 $I$ は円筒の左側の表面 $L を外向きに流れますが、右側の表面$ $R$ を伝導電流 (実際の電荷の輸送) は流れません。コンデンサが充電されるにつれて、プレート間の電場 $E が$ 増加することに注意してください。つまり、プレート間に誘電体がないと仮定すると、ガウスの法則で説明されるような形で増加します。

$Q(t)=\varepsilon _{0}\oint _{S}\mathbf {E} (t)\cdot \operatorname {d} \!\mathbf {S} \,,$

ここで $Sは$ 仮想的な円筒面を表す。均一な電界を持つ平行平板コンデンサを仮定し、平板の端の周りのフリンジ効果を無視すると、電荷保存方程式によれば

$I=-{\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}=-\varepsilon _{0}\oint _{S}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\cdot \operatorname {d} \!\mathbf {S} =S\,\varepsilon _{0}{\Biggl .}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}{\Biggr |}_{R}~,$

ここで、最初の項は電荷が表面 $L$ から離れるため（電荷が減少しているため）、負の符号を持ち、最後の項は表面 $R$ の単位ベクトルが左から右に向かうのに対し、電場の方向が右から左に向かうため、正の符号を持ちます $。Sは表面$ $R$ の面積です。表面 $Lはコンデンサの外側にあるため、表面$ $L$ における電場はゼロです。コンデンサ内部の電場分布が一様であると仮定すると、変位電流密度 $J$ _{D は、}表面積で割ることによって求められます。

$\mathbf {J} _{\mathrm {D} }={\frac {\mathbf {I} _{\mathrm {D} }}{S}}={\frac {\mathbf {I} }{S}}=\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}~,$

ここで、 $I$ は円筒面から流出する電流（ $I$ _Dと等しくなければならない）であり、 $J$ _{D は面} $R$ を介して円筒面に入る単位面積あたりの電荷の流れである。

これらの結果を組み合わせると、磁場は、伝導電流密度に変位電流密度項を加えることを条件として、任意の経路選択によるアンペールの法則の積分形式を使用して求められます（アンペール・マクスウェル方程式）： ^{[ 6 ]}

$\oint _{\partial S}\mathbf {B} \cdot \operatorname {d} \!{\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}\int _{S}\left(\mathbf {J} +\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\cdot \operatorname {d} \!\mathbf {S} \,.$

この式は、端の周りの磁場 $Bの積分が$ $\partial S$ 表面 $Sの$ 電流は、同じエッジを持つ任意の表面を通過する積分電流 $Jに変位電流項を加えたものに等しい$ 。 $\varepsilon _{0}\partial \mathbf {E} /\partial t$ どの表面を通してでも。

右図に示すように、表面 $S1 を横切る電流はすべて伝導電流である。表面$ $S1$ にアンペール・マクスウェル方程式を適用すると、次の式 $が$ 得られる。

$B={\frac {\mu _{0}I}{2\pi r}}~.$

$しかし、表面S 2$ を横切る電流は完全に変位電流である。この法則を、まったく同じ曲線で囲まれた表面 $S 2に適用すると$ 、 $\partial S$ しかし、プレートの間にあるため、以下を生成します。

$B={\frac {\mu _{0}I_{\mathrm {D} }}{2\pi r}}~.$

ワイヤーと交差する任意の面 $S 1$ $には電流I$ が流れているため、アンペールの法則は正しい磁場を与えます。しかし、同じエッジで囲まれた2 番目の面 $S 2$ は $\partial S$ コンデンサプレート間を通過するように描画できるため、電流は流れません。変位電流項がない場合、アンペールの法則ではこの表面の磁場はゼロになります。したがって、変位電流項がない場合、アンペールの法則は矛盾した結果を与え、磁場は積分対象として選択された表面に依存します。したがって、変位電流項は $\varepsilon _{0}\partial \mathbf {E} /\partial t$ は、積分面がコンデンサの極板間を通過する際に正しい磁場を与える第2のソース項として必要です。電流によってコンデンサの極板上の電荷が増加するため、極板間の電場が増加し、電場の変化率によって、上で求めた電場 $B$ の正しい値が得られます。

数式表現

より数学的な観点から言えば、基礎となる微分方程式からも同じ結果が得られる。簡単にするために、相対透磁率が1で、磁化電流（束縛電流）の複雑さが存在しない非磁性媒体を考える。 $\mathbf {M} =0$ そして $\mathbf {J} =\mathbf {J} _{\mathrm {f} }$ 体積から流出する電流は、体積内の電荷の減少率と等しくなければならない。微分形式で表すと、この連続の式は次のようになる。

$\nabla \cdot \mathbf {J} _{\mathrm {f} }=-{\frac {\partial \rho _{\mathrm {f} }}{\partial t}}\,,$

ここで、左辺は自由電流密度の発散、右辺は自由電荷密度の減少率である。しかし、アンペールの法則の本来の形は次のようになる。

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} _{\mathrm {f} }\,,$

これは、電流項の発散がゼロになることを意味し、連続方程式と矛盾します。（発散がゼロになるのは、回転の発散は常にゼロであるという数学的恒等式の結果です。）この矛盾は、変位電流を追加することで解消され、次のようになります。^[⁷^]^[⁸^]

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)=\mu _{0}\left(\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)\,,$

そして

$\nabla \cdot \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)=0=\mu _{0}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} _{\mathrm {f} }+{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot \mathbf {D} \right)\,,$

これはガウスの法則により連続の式と一致する。

$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\mathrm {f} }\,.$

波動伝播

追加された変位電流は、磁場の方程式の回転を取ることによって波動伝播も引き起こす。^{[ 9 ]}

$\mathbf {J} _{\mathrm {D} }=\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,.$

この形式を $J$ に代入してアンペールの法則に当てはめ、 $J$ に寄与する束縛電流密度や自由電流密度がないと仮定すると、次のようになります。

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} _{\mathrm {D} }\,,$

その結果：

$\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)=\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {E} \,.$

しかし、 $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} \,,$

波動方程式につながる：^{[ 10 ]} $-\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)=\nabla ^{2}\mathbf {B} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {B} \,,$

$ここで、任意のベクトル場V (r, t)$ に対して成り立つベクトル恒等式が用いられる。

$\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {V} \,,$

そして、磁場の発散がゼロであるという事実。回転を取ることで、電場についても同様の波動方程式が得られる。

$\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {E} \right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {B} =-\mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {J} +\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {E} \right)\,.$

$J$ 、 $P$ 、 $ρ$ がゼロの場合、結果は次のようになります。

$\nabla ^{2}\mathbf {E} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {E} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {E} \,.$

電場は一般的に次の形式で表すことができる。

$\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,$

ここで、 $φ$ は電位(ポアソン方程式を満たすように選択可能) であり、 $A$ はベクトルポテンシャル(すなわち磁気ベクトルポテンシャル、 $A$ は他の箇所で表されているため表面積と混同しないように) です。右辺の $\nabla φ$ 成分はガウスの法則成分であり、これは上記の電荷保存の議論に関連する成分です。右辺の第 2 項は、 $E$ の回転に寄与する項であるため、電磁波方程式に関連する項です。勾配の回転はゼロであるというベクトル恒等式により、 $\nabla φ は$ $\nabla\times E$ に寄与しません。

歴史と解釈

マクスウェルの変位電流は、1861年の論文「物理的な力線について」の第3部で提唱されました。現代物理学において、変位電流ほど多くの混乱と誤解を引き起こしたトピックはほとんどありません。^{[ 11 ]} これは、マクスウェルが導出において分子渦の海を使用したのに対し、現代の教科書では変位電流が自由空間に存在できるという前提で説明されていることが一因です。マクスウェルの導出は、磁場に対するアンペールの周回法則と電荷に対する連続方程式の整合性に基づく、真空中の変位電流の現代の導出とは無関係です。

マクスウェルの目的は、彼自身が（第1部、161ページで）述べているとおりである。

そこで私は、磁気現象を力学的な観点から考察し、媒質中のどのような張力や運動が、観測された力学的現象を引き起こすことができるのかを明らかにすることを提案する。

彼は、この治療法は類推に基づくものであることを慎重に指摘している。

この表現方法の考案者は、弾性固体におけるこれらのひずみによる影響によって観測された力の起源を説明しようとはせず、両方の問題を研究する際の想像力を助けるために、2つの問題の数学的な類似性を利用している。

第3部では、変位電流に関して、彼はこう述べている。

私は、回転する物質は特定の細胞の物質であり、それらの細胞は細胞に比べて非常に小さな粒子からなる細胞壁によって互いに隔てられており、これらの粒子の運動と、細胞内の物質に対する接線方向の作用によって、回転が細胞から細胞へと伝達されるのだと考えた。

明らかにマクスウェルは磁化について論じていたが、同じ序文では誘電分極についても言及されている。

マクスウェルは、ヴィルヘルム・エドゥアルト・ウェーバーとルドルフ・コールラウシュが測定した電気の速度（193,088 マイル/秒）と、フィゾーの実験で決定された光の速度（195,647 マイル/秒）を比較した。両者の速度が同じであることから、彼は「光は、電気現象や磁気現象の原因となる媒質中の横方向の波動から成り立っている」と結論付けた。^[¹²^]

しかし、上記の引用文は、例えば上記の回転方程式の発散に基づいて、変位電流の磁気的な説明を示唆しているものの、マックスウェルの説明は最終的に誘電体の線形分極を強調した。

この変位は電流の発生の始まりであり、変位の量は物体の性質と起電力に依存するため、 $h$ を変位、 $R$ を起電力、 $E$ を誘電体の性質に依存する係数とすると、次のようになります。
$R=-4\pi \mathrm {E} ^{2}h\,;$ $そして、 r$ が変位による電流の値である場合 $r={\frac {dh}{dt}}\,,$ これらの関係は誘電体のメカニズムに関するいかなる理論とも無関係ですが、起電力によって誘電体に電気変位が生じ、また誘電体が電気変位の状態から回復する現象が見られる場合、私たちはその現象を、圧力によって変形し、圧力が取り除かれると元の形に戻る弾性体の現象とみなさざるを得ません。

—物理的な力線について、第 3 部、静電気に適用される分子渦の理論、14～15 ページ

記号（および単位）を一部変更し、セクション§ コンデンサ内の電流（ $r \to J$ 、 $R \to - E$ 、および材料定数 $E -2 \to 4π ε r ε 0）$ で導出された結果と組み合わせると、これらの式は、均一な電界を持つ平行平板コンデンサと、プレートの端の周りのフリンジ効果を無視した場合のよく知られた形式になります。

$J={\frac {d}{dt}}{\frac {1}{4\pi \mathrm {E} ^{2}}}E={\frac {d}{dt}}\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}E={\frac {d}{dt}}D\,.$

1865年の論文「電磁場の動力学的理論」において、変位電流から電磁波方程式を導出する際、彼はガウスの法則と誘電体変位に関連する非ゼロの発散の問題を、ガウス項を消去し、ソレノイド磁場ベクトルのみに対する波動方程式を導出することによって回避した。

マクスウェルが分極を重視したことで、電気コンデンサ回路に注目が集まり、マクスウェルが電気コンデンサ回路における電荷保存則を維持するために変位電流を考案したという通説が生まれた。マクスウェルの考え方については、場の方程式の対称性を完全にしようとしたという説から、連続方程式との整合性を達成しようとしたという説まで、さまざまな議論の余地がある。^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}

参考文献

↑物理的な力の線について、パートIII
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↑ヴャチェスラフ・ステピン (2002).理論的知識. Springer. p. 202. ISBN 978-1-4020-3045-1。

マクスウェルの論文

ファラデーの力線に関するマックスウェルの1855年の論文
マックスウェルの1861年の論文「力の物理的な線について」
電磁場の動力学的理論 マクスウェルの1864年の論文

さらに読む

AM・ボーク・マクスウェル著『変位電流と対称性』（1963年）
AM・ボーク著『マクスウェルと電磁波方程式』（1967年）

外部リンク

ウィキメディア・コモンズにある、避難民に関するメディアは現在入手可能です。

[1] 物理的な力の線について、パートIII

[Jackson-2] ジョン・D・ジャクソン（1999）。古典電磁気学（第3 版）。ワイリー。238ページ。ISBN 978-0-471-30932-1。

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変位電流密度

説明

Isotropic dielectric case

必要性

アンペールの周回法則の一般化

コンデンサー内の電流

数式表現

波動伝播

歴史と解釈

関連項目

参考文献

マクスウェルの論文

さらに読む

外部リンク

関連するトピック

電磁気学

電束密度

マクスウェル方程式

として現れます。変位電流密度は電流密度