マクスウェル方程式

マクスウェル方程式は、電荷と電流によって電場と磁場がどのように生成されるかを記述する連立偏微分方程式です。ローレンツ力の法則とともに、古典電磁気学、古典光学、電気回路、磁気回路の基礎を形成しています。これらの方程式は、発電、電動機、無線通信、レンズ、レーダーなど、電気、光学、無線技術の数学的モデルを提供します。

マクスウェル方程式には大きく分けて2つのバリエーションがある。

• 微視的な方程式は普遍的に適用可能であるが、一般的な計算には扱いにくい。これらの方程式は、電場と磁場を総電荷と総電流に関連付けており、原子スケールでの物質中の複雑な電荷と電流も含まれる。
• 巨視的な方程式は、原子スケールの電荷やスピンなどの量子現象を考慮することなく、物質の大規模な挙動を記述する2つの新しい補助場を定義する。ただし、これらの補助場を用いるには、物質の電磁応答の現象論的記述のための実験的に決定されたパラメータが必要となる。

「マクスウェル方程式」という用語は、同等の別の定式化にもしばしば使用されます。境界値問題、解析力学、または量子力学で方程式を明示的に解くには、電気および磁気スカラーポテンシャルに基づくマクスウェル方程式のバージョンが好まれます。共変定式化（空間と時間を別々にではなく、時空上で）は、マクスウェル方程式と特殊相対性理論との整合性を明らかにします。高エネルギー物理学および重力物理学で一般的に使用される曲がった時空におけるマクスウェル方程式は、一般相対性理論と整合性があります。^{[注1 ]}

マクスウェル方程式は、物理学者で数学者のジェームズ・クラーク・マクスウェルにちなんで名付けられました。彼は1861年と1862年に、ローレンツ力の法則を含む方程式の初期の形を発表しました。この方程式の発表は、それまで別々に記述されていた現象、すなわち磁気、電気、光、および関連する放射線の理論の統一を意味しました。最も一般的な定式化における方程式の現代版は、オリバー・ヘヴィサイドによるものとされています。^{[ 1 ]}

20世紀半ば以降、マクスウェル方程式は電磁現象を正確に記述するものではなく、より精密な量子電磁力学理論の古典的な極限であるということが理解されてきた。

マクスウェル方程式の最も一般的な2つの変形は、SI単位系における微視的微分形式と巨視的微分形式である。

電場と磁場の定式化には、与えられた電荷と電流分布に対する場を決定する 4 つの方程式があります。ローレンツ力の法則という別の自然法則は、電場と磁場が荷電粒子と電流にどのように作用するかを記述します。慣例として、マクスウェルの元の方程式にあるこの法則のバージョンはもはや含まれていません。以下のベクトル解析形式は、オリバー・ヘヴィサイドの研究[ ^{5 ] [ 6 ]によるもので}、標準となっています。これは回転不変であり、したがって、x、y、z成分のマクスウェルの元の 20 の方程式よりも数学的に明快です。相対論的定式化はより対称的でローレンツ不変です。テンソル解析または微分形式を使用して表現された同じ方程式については、§代替定式化を参照してください。 

微分形式と積分形式は数学的に等価であり、どちらも有用です。積分形式は空間領域内の場と境界上の場を関連付け、対称的な電荷と電流の分布から場を簡略化して直接計算するためによく使用されます。一方、微分方程式は純粋に局所的であり、有限要素解析などを使用して、より複雑な（対称性の低い）状況で場を計算するためのより自然な出発点となります。^{[ 7 ]}

微分形式と積分形式の等価性は、ガウスの発散定理とケルビン・ストークスの定理の結果である。

流束と発散

（純粋に数学的な）ガウス発散定理によれば、境界表面∂Ωを通過する 電気束は次のように書き換えられる。

${\displaystyle {\vphantom {\oint }}_{\scriptstyle \partial \Omega }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{\Omega }\nabla \cdot \mathbf {E} \,\mathrm {d} V}$

ガウス方程式の積分形は次のように書き換えることができる。 $${\displaystyle \iiint _{\Omega }\left(\nabla \cdot \mathbf {E} -{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\right)\,\mathrm {d} V=0}$$Ωは任意の値（例えば、任意の中心を持つ任意の小さな球）である ため、この条件は被積分関数が至るところでゼロである場合に限り満たされます。これは、ガウス方程式を微分方程式で定式化したもので、簡単な変形を加えるだけで済みます。

同様に、磁気に関するガウスの法則の 磁束を積分形式で書き直すと、次のようになる。

${\displaystyle {\vphantom {\oint }}_{\scriptstyle \partial \Omega }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{\Omega }\nabla \cdot \mathbf {B} \,\mathrm {d} V=0.}$

これは、すべてのΩに対して、以下の条件を満たす場合に限り満たされる。${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$どこにでも。

循環とカール

ケルビン・ストークスの定理により、閉じた境界曲線∂Σ の周りの場の線積分を、その曲線が囲む曲面上の 「場の循環」（つまり回転）の積分に書き換えることができる。$${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,}$$ したがって、アンペールの周回積分法則の修正版であるアンペール・マクスウェルの法則は、積分形式で次のように書き換えることができる。 $${\displaystyle \iint _{\Sigma }\left(\nabla \times \mathbf {B} -\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0.}$$Σは任意に選択できる ため、例えば任意の大きさ、任意の向き、任意の中心を持つ円盤として選択できます。したがって、被積分関数がゼロになるのは、微分方程式形式のアンペール・マクスウェルの法則が満たされる場合のみであると結論付けられます。ファラデーの法則の微分形式と積分形式の等価性も同様に導かれます。

線積分と回転は、古典的な流体力学における量に類似している。流体の循環は、閉じたループに沿った流体の流れ速度場の線積分であり、流体の渦度は速度場の回転である。

電荷の不変性は、マクスウェル方程式の系として導出できる。アンペール・マクスウェルの法則の左辺は、div-curl恒等式により発散がゼロである。右辺の発散を展開し、微分を入れ替え、ガウスの法則を適用すると、次の式が得られる。 $${\displaystyle 0=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\nabla \cdot \left(\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\right)=\mu _{0}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot \mathbf {E} \right)=\mu _{0}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\right)}$$ つまり、 $$\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0.}$$ ガウスの発散定理によれば、これは、一定体積内の電荷の変化率が、境界を通過する正味の電流に等しいことを意味する。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}Q_{\Omega }={\frac {d}{dt}}\iiint _{\Omega }\rho \mathrm {d} V=-}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle \mathbf {J} \cdot {\rm {d}}\mathbf {S} =-I_{\partial \Omega }.}$

特に、孤立系においては、総電荷は保存される。

電荷（ ρ = 0）も電流（J = 0 ）も存在しない領域、例えば真空中では、マクスウェル方程式は以下のように簡略化される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0,&\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=0,\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0,&\nabla \times \mathbf {B} -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=0.\end{aligned}}}$$

回転方程式の回転(∇×)を取り、回転恒等式の回転を用いると、次の式が得られる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} =0,\\\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} =0.\end{aligned}}}$$

数量${\displaystyle \mu _{0}\varepsilon _{0}}$次元は(T/L) ²である。${\displaystyle c=(\mu _{0}\varepsilon _{0})^{-1/2}}$上記の式は、標準的な波動方程式の形をしている。$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} =0,\\{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} =0.\end{aligned}}}$$

マクスウェルの生前にすでに、${\displaystyle \varepsilon _{0}}$そして${\displaystyle \mu _{0}}$与える${\displaystyle c\approx 2.998\times 10^{8}~{\text{m/s}}}$当時すでに自由空間における光速として知られていた。このことから彼は、光と電波は伝播する電磁波であると提唱し、それは十分に確認された。旧SI単位系では、${\displaystyle \mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}}$そして${\displaystyle c=299\,792\,458~{\text{m/s}}}$は定義定数であり、（つまり定義により）${\displaystyle \varepsilon _{0}=8.854\,187\,8...\times 10^{-12}~{\text{F/m}}}$）アンペアとメートルを定義する。新しいSIシステムでは、cのみが定義値を維持し、電子の電荷が定義値を得る。

比誘電率εr、比透磁率μrの材料では、光の 位相速度は_次のようになる_。$${\displaystyle v_{\text{p}}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\mu _{\text{r}}\varepsilon _{0}\varepsilon _{\text{r}}}}},}$$ これは通常^{[注4 ]} cより小さい。

さらに、EとBは互いに垂直であり、波の伝播方向にも垂直で、互いに同位相です。正弦波平面波は、これらの方程式の特殊な解の1つです。マクスウェル方程式は、これらの波が物理的に空間を伝播する方法を説明します。変化する磁場は、ファラデーの法則によって変化する電場を生成します。次に、その電場は、アンペールの周回法則のマクスウェルによる修正によって変化する磁場を生成します。この永久的なサイクルにより、現在電磁放射として知られるこれらの波は、速度cで空間を移動することができます。

上記の式は、マクスウェル方程式の微視的なバージョンであり、存在する（おそらく原子レベルの）電荷と電流を用いて電場と磁場を表しています。これは「一般形」と呼ばれることもありますが、下記の巨視的なバージョンも同様に一般的であり、違いは計算方法の違いだけです。

微視的なバージョンは「真空中のマクスウェル方程式」と呼ばれることもあります。これは、物質媒体が方程式の構造に組み込まれておらず、電荷と電流の項にのみ現れるという事実を指しています。微視的なバージョンはローレンツによって導入され、彼はそれを用いてバルク物質の巨視的な性質を微視的な構成要素から導き出そうとしました。^{[ 11 ]： 5}

「マクスウェルの巨視的方程式」、別名「物質におけるマクスウェル方程式」は、マクスウェル自身が提唱した方程式により近いものである。

巨視的な方程式では、束縛電荷Q _bと束縛電流I _bの影響が変位場Dと磁化場Hに組み込まれている一方、方程式は自由電荷Q _fと自由電流I _fのみに依存します。これは、全電荷Qと電流I (およびそれらの密度ρとJ ) を自由部分と束縛部分に分割することを反映しています。 $${\displaystyle {\begin{aligned}Q&=Q_{\text{f}}+Q_{\text{b}}=\iiint _{\Omega }\left(\rho _{\text{f}}+\rho _{\text{b}}\right)\,\mathrm {d} V=\iiint _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V,\\I&=I_{\text{f}}+I_{\text{b}}=\iint _{\Sigma }\left(\mathbf {J} _{\text{f}}+\mathbf {J} _{\text{b}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .\end{aligned}}}$$

この分割に伴うコストは、追加の場DとHを、これらの場を電場Eと磁場B、束縛電荷と電流に関連付ける現象論的な構成方程式によって決定する必要があることである。

空気/真空で有用な、物質の寄与を含む全電荷と電流を扱う微視的方程式^{[注5 ]}と、物質内での使用に実用的な自由電荷と電流 を扱う巨視的方程式の違いについては、以下を参照してください。

束縛電荷と電流

誘電体材料に電場を印加すると、その分子は微視的な電気双極子を形成することで応答します。原子核は電場の方向にわずかな距離だけ移動し、電子は反対方向にわずかな距離だけ移動します。これにより、関与するすべての電荷が個々の分子に束縛されているにもかかわらず、材料内に巨視的な束縛電荷が生成されます。たとえば、図に示すようにすべての分子が同じように応答する場合、これらの電荷の微小な動きが組み合わさって、材料の一方の側に正の束縛電荷の層と、もう一方の側に負の束縛電荷の層が生成されます。束縛電荷は、材料の分極P 、つまり単位体積あたりの双極子モーメントによって最も簡単に説明できます。P が均一な場合、巨視的な電荷の分離は、 P が材料に出入りする表面でのみ生成されます。Pが不均一な場合、電荷はバルク内にも生成されます。^{[ 12 ]}

同様に、すべての物質において、構成原子は、原子の構成要素、特に電子の角運動量と本質的に結びついた磁気モーメントを示します。角運動量との関連は、微視的な電流ループの集合体というイメージを示唆しています。物質の外部では、個々の電荷が大きな距離を移動していないにもかかわらず、このような微視的な電流ループの集合体は、物質の表面を循環する巨視的な電流と違いはありません。これらの束縛電流は、磁化Mを使用して記述できます。^{[ 13 ]}

したがって、非常に複雑で微細な束縛電荷と束縛電流は、巨視的なスケールではPとMを用いて表すことができる。PとMは、個々の原子の微細さが目立たないほど十分に大きなスケールでこれらの電荷と電流を平均化するが、同時に、物質内の位置によって変化するほど十分に小さなスケールで平均化している。このように、マクスウェルの巨視的な方程式は、適切な体積にわたって平均化された場を計算することで、大まかなスケールでの理解には重要でない微細なスケールの多くの詳細を無視している。

以下に、マクスウェル方程式の他のいくつかの数学的定式化を示します。列は、2 つの同次マクスウェル方程式と 2 つの非同次マクスウェル方程式を分けています。各定式化には、電場と磁場を直接用いたバージョンと、電位φとベクトル電位Aを間接的に用いたバージョンがあります。電位は同次方程式を解くための便利な方法として導入されましたが、すべての観測可能な物理現象は電場と磁場 (または相対論的にファラデー テンソル) に含まれていると考えられていました。しかし、電位は量子力学において中心的な役割を果たし、電場と磁場が消滅した場合でも観測可能な結果を​​もたらす量子力学的に作用します (アハロノフ-ボーム効果)。

各表はそれぞれ一つの形式体系を表しています。各定式化の詳細については、本文を参照してください。

直接的な時空定式化では、空間と時間が同等に扱われる場合、マクスウェル方程式が相対論的に不変であることが明らかになります。この対称性により、電場と磁場は同等に扱われ、ファラデーテンソルの成分として認識されます。これにより、4 つのマクスウェル方程式が 2 つに減り、方程式は簡略化されますが、おなじみのベクトル形式は使用できなくなります。空間と時間が明らかに同等に扱われない形式のマクスウェル方程式には、隠れた対称性としてローレンツ不変性があります。これは、相対性理論の発展における主要なインスピレーション源でした。実際、空間と時間を別々に扱う形式でさえ、非相対論的近似ではなく、単に変数の名前を変更するだけで同じ物理を記述します。このため、相対論的に不変な方程式も通常、マクスウェル方程式と呼ばれます。

以下の各表は、それぞれ一つの形式体系について説明しています。

• テンソル計算の定式化では、電磁テンソルF _αβは反対称共変 2 次テンソルです。4次元ポテンシャルA αは共変ベクトルです。電流J ^αはベクトルです。角括弧[ ]は添え字の反対称化を表します。∂ _αは座標x ^αに関する偏微分です。ミンコフスキー空間では_、座標は慣性系( x ^α ) = ( ct , x , y , z )   に関して選択され、添え字を上げ下げするために使用される計量テンソルはη _αβ = diag(1,  −1,  −1,  −1)です。ミンコフスキー空間上のダランベール演算子は、ベクトルの定式化と同様に◻ = ∂ _α ∂ ^αです。一般時空では、座標系x ^αは任意であり、共変微分∇ _α、リッチテンソルR _αβ、および添え字の上げ下げはローレンツ計量g _αβによって定義され、ダランベール演算子は◻ = ∇ _α ∇ ^αと定義されます。位相的制約は、空間の 2 番目の実コホモロジー群がゼロになることです (説明については微分形式の定式化を参照)。これは、直線が除去されたミンコフスキー空間では破られ、直線の補空間上の点状モノポールを持つ (平坦な) 時空をモデル化することができます。
• 任意の時空における微分形式の定式化では、 F = ⁠ 1 / 2 ⁠ F _αβ ‍ d x ^α ∧ d x ^βは 2 形式として考えられる電磁テンソルであり、A = A _α d x ^αはポテンシャル 1 形式である。${\displaystyle J=-J_{\alpha }{\star }\mathrm {d} x^{\alpha }}$は現在の3形式、dは外微分であり、${\displaystyle {\star }}$ホッジスターは、時空のローレンツ計量によって定義される形式（その向き、つまり符号を除いて）上のホッジスターです。Fのような 2 形式の特殊な場合、ホッジスターは${\displaystyle {\star }}$は、その局所スケールに関してのみ計量テンソルに依存します。これは、定式化された微分形式場の方程式は共形不変ですが、ローレンツゲージ条件が共形不変性を破ることを意味します。演算子${\displaystyle \Box =(-{\star }\mathrm {d} {\star }\mathrm {d} -\mathrm {d} {\star }\mathrm {d} {\star })}$は、任意のローレンツ時空上の 1 形式に対するダランベール・ラプラス・ベルトラミ作用素である。位相的な条件は、第 2 実コホモロジー群が「自明」であること（つまり、その形式が定義から導かれること）である。第 2ド・ラームコホモロジーとの同型性により、この条件は、すべての閉じた 2 形式が完全であることを意味する。

その他の形式としては、幾何代数による定式化やマクスウェル方程式の行列表現などがある。歴史的には、四元数による定式化^{[ 16 ] [ 17 ]}が用いられてきた。

マクスウェル方程式は、電場と磁場を互いに、そして電荷と電流に関連付ける偏微分方程式です。多くの場合、電荷と電流自体も、ローレンツ力方程式と構成関係式を介して電場と磁場に依存します。これらはすべて連立偏微分方程式を形成し、解くのは非常に困難な場合が多く、その解は古典電磁気学のあらゆる多様な現象を網羅しています。以下にいくつかの一般的な考察を示します。

任意の微分方程式と同様に、一意解を得るためには境界条件^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]}と初期条件^{[ 21 ]}が必要です。たとえば、時空全体に電荷も電流も存在しない場合でも、EとBがゼロまたは一定となる明らかな解がありますが、電磁波に対応する非自明な解も存在します。場合によっては、マクスウェル方程式は空間全体で解かれ、境界条件は無限遠での漸近極限として与えられます。^{[ 22 ]}また別の場合には、マクスウェル方程式は有限の空間領域で解かれ、その領域の境界に適切な条件が課されます。たとえば、宇宙の残りの部分を表す人工的な吸収境界^{[ 23 ] [ 24 ]}や周期境界条件、または小さな領域を外部から隔離する壁 (導波管や空洞共振器など) ^{[ 25 ]などです。}

ジェフィメンコ方程式（またはそれと密接に関連するリエナール・ヴィーヘルト電位）は、任意の電荷と電流の分布によって生成される電場と磁場に関するマクスウェル方程式の明示的な解です。この方程式は、特定の初期条件を仮定することで、電荷によって生成される場のみが存在する、いわゆる「遅延解」を得ます。しかし、電荷と電流自体が、それらが生成する場の影響を受けるような状況では、ジェフィメンコ方程式は役に立ちません。

微分方程式の数値解法は、厳密解が不可能な場合にマクスウェル方程式の近似解を計算するために使用できます。これには、有限要素法と有限差分時間領域法が含まれます。^{[ 18 ] [ 20 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]}詳細については、計算電磁気学を参照してください。

マクスウェル方程式は、 6 つの未知数( EとBの 3 つの成分) を含むが、方程式は 8 つ (2 つのガウスの法則それぞれに 1 つずつ、ファラデーの法則とアンペールの周回法則それぞれに 3 つのベクトル成分) であるため、過剰決定されているように見える。 (電流と電荷は未知数ではなく、電荷保存則に従って自由に指定できる。) これは、マクスウェル方程式におけるある種の限定的な冗長性に関連している。ファラデーの法則とアンペールの周回法則を満たす任意のシステムは、システムの初期条件が満たされ、電荷保存則と磁気単極子の非存在を仮定すれば、自動的に2 つのガウスの法則も満たすことが証明できる。^{[ 29 ] [ 30 ]}この説明は、 1941 年にJulius Adams Stratton によって初めて導入された。^{[ 31 ]}

数値アルゴリズムでは（初期条件を除いて）ガウスの2つの法則を単純に無視することも可能ですが、計算の精度が不完全なため、これらの法則の違反がますます大きくなる可能性があります。これらの違反を特徴付けるダミー変数を導入することで、4つの方程式は結局過剰決定されなくなります。結果として得られる定式化は、4つの法則すべてを考慮に入れた、より正確なアルゴリズムにつながります。^{[ 32 ]}

両方のアイデンティティ${\displaystyle \nabla \cdot \nabla \times \mathbf {B} \equiv 0,\nabla \cdot \nabla \times \mathbf {E} \equiv 0}$8 つの方程式を 6 つの独立した方程式に還元するものが、過剰決定の本当の理由である。^{[ 33 ] [ 34 ]}

言い換えれば、過剰決定は電気電荷と磁気電荷の保存を意味すると見なすことができる。なぜなら、これらは上述の導出において必要とされるものであり、ガウスの2つの法則によって暗黙のうちに示されているからである。

線形代数方程式の場合、方程式と未知数を書き換えるための「適切な」規則を設けることができます。方程式は線形従属になることがあります。しかし、微分方程式、特に偏微分方程式（PDE）では、適切な境界条件が必要であり、境界条件は方程式に必ずしも明白な形で依存しません。さらに、ベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャルを用いて方程式を書き換えると、ゲージ固定のために方程式が不確定になります。

マクスウェル方程式とローレンツ力法則（および古典電磁気学のその他の法則）は、様々な現象を説明し予測する上で非常に優れた能力を発揮します。しかし、量子効果を考慮していないため、適用範囲は限られています。マクスウェル方程式は、量子電磁力学（QED）の古典極限とみなされています。

電磁場の発生源が電荷と電流の古典的な分布である場合、観測される電磁現象の中にはマクスウェル方程式では説明できないものがあります。これには、光子-光子散乱や、光子または仮想光子に関連するその他の多くの現象、「非古典的光」、電磁場の量子もつれ（量子光学を参照）などが含まれます。例えば、量子暗号はマクスウェル理論では近似的にも記述できません。マクスウェル方程式の近似的な性質は、極めて強い場領域（オイラー-ハイゼンベルク・ラグランジアンを参照）や極めて小さな距離になると、ますます明らかになります。

最後に、マクスウェル方程式は、光電効果、プランクの法則、デュアン・ハントの法則、単一光子検出器など、個々の光子と量子物質の相互作用に関わる現象を説明することはできません。しかし、そのような現象の多くは、量子物質と古典的な電磁場が結合した中間的な理論を用いることで説明できます。この理論は、外部場として、あるいはマクスウェル方程式の右辺の電荷電流と密度の期待値として用いられます。これは半古典理論、あるいは自己場QEDとして知られており、当初はド・ブロイとシュレーディンガーによって発見され、後にE.T.ジェインズとA.O.バルートによって完全に発展させられました。

電磁場の古典理論としてのマクスウェル方程式の一般的な変形は比較的少ない。なぜなら、標準的な方程式は長年にわたって非常に優れた妥当性を示してきたからである。

• 今枝和夫 (1995)「マクスウェル方程式とその解の双四元数形式」、Ablamowicz, Rafał; Lounesto, Pertti (編)『クリフォード代数とスピノル構造』、Springer、pp. 265–280、doi : 10.1007/978-94-015-8422-7_16、ISBN  978-90-481-4525-6

• 「マクスウェル方程式」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• maxwells-equations.com — マクスウェル方程式の直感的なチュートリアル。
• ファインマン物理学講義 第2巻 第18章：マクスウェル方程式
• ウィキバーシティのマックスウェル方程式に関するページ