連続体力学

表面力または接触力は、単位面積あたりの力として表され、他の物体との機械的接触の結果として物体の境界面に作用するか、または表面の両側の物体の部分間の機械的相互作用の結果として物体の一部を囲む仮想の内部面に作用します（オイラー・コーシーの応力原理）。物体に外部接触力が作用すると、ニュートンの運動第三法則である線運動量と角運動量の保存に従って、内部接触力が物体内部の点から点へと伝達され、その作用を釣り合わせます（連続体の場合、これらの法則はオイラーの運動方程式と呼ばれます）。内部接触力は、構成方程式によって物体の変形と関連付けられます。内部接触力は、物体の材質に関係なく、物体の運動とどのように関連しているかによって数学的に記述できます。

物体の体積全体にわたる内部接触力の分布は連続であると仮定される。したがって、接触力密度またはコーシー牽引場が存在する^{[ 4 ]。}${\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {n} ,\mathbf {x} ,t)}$これは、特定の時点における身体の特定の構成におけるこの分布を表すものである。${\displaystyle t\,\!}$これはベクトル場ではありません。なぜなら、位置だけでなく、${\displaystyle \mathbf {x} }$特定の物質点だけでなく、法線ベクトルによって定義される表面要素の局所的な向きにも関係する。${\displaystyle \mathbf {n} }$[ ^{5 ]​}

差額領域${\displaystyle dS\,\!}$法線ベクトル付き${\displaystyle \mathbf {n} }$特定の内部表面積${\displaystyle S\,\!}$身体の一部を囲む接触力は${\displaystyle d\mathbf {F} _{C}\,\!}$体の両側の両部分間の接触から生じる${\displaystyle S\,\!}$、それは次のように与えられる。

${\displaystyle d\mathbf {F} _{C}=\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dS}$

どこ$\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$は表面牽引力であり、^{[ 6 ]}応力ベクトル、^{[ 7 ]}牽引力、^{[ 8 ]}または牽引ベクトルとも呼ばれます。^{[ 9 ]}応力ベクトルはフレーム不変ベクトルです（オイラー・コーシーの応力原理を参照）。

特定の内部表面にかかる総接触力${\displaystyle S\,\!}$これは、すべての微小表面上の接触力の合計（面積分）として表されます。${\displaystyle dS\,\!}$:

${\displaystyle \mathbf {F} _{C}=\int _{S}\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dS}$

連続体力学では、物体は、重力を含むすべての外部影響がない状態で、物体を結合させ、その形状を維持するために必要な原子間力（イオン力、金属力、ファンデルワールス力）のみが存在する場合に、応力がないとみなされます。 ^{[ 9 ] [ 10 ]}物体を特定の形状に製造する際に発生する応力も、物体内の応力を考慮する際には除外されます。したがって、連続体力学で考慮される応力は、物体の変形によって生じる応力のみであり、つまり、応力の絶対値ではなく、相対的な応力の変化のみが考慮されます。

体力とは、体の外部から発生し、体の体積（または質量）に作用する^{力のことです[ 11 ] 。体力が外部からの発生源によるものであるということは、体の異なる部分間の相互作用（内部力）は接触力のみによって現れることを意味します[ 6 ]} 。これらの力は、重力場（重力）や電磁場（電磁力）などの 力場に体が存在していることから生じるか、あるいは体が運動しているときの慣性力から生じます。連続体の質量は連続的に分布していると仮定されるため、質量から発生する力も連続的に分布します。したがって、体力はベクトル場によって指定され、ベクトル場は体の体積全体にわたって連続していると仮定されます^{[ 12 ]} 。つまり、体内のすべての点に作用します。体力は体力密度によって表されます。${\displaystyle \mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)}$（単位質量あたり）これは、座標系に依存しないベクトル場である。

重力の場合、力の強さは質量密度に依存するか、質量密度に比例する。${\displaystyle \mathbf {\rho } (\mathbf {x} ,t)\,\!}$材料の、単位質量あたりの力で指定されます（${\displaystyle b_{i}\,\!}$）または単位体積あたり（${\displaystyle p_{i}\,\!}$これら2つの仕様は、材料密度を介して次の式で関連付けられます。${\displaystyle \rho b_{i}=p_{i}\,\!}$同様に、電磁力の強さは、電磁場の強さ（電荷）に依存する。

連続体に加わる総体力は次のように表される。

${\displaystyle \mathbf {F} _{B}=\int _{V}\mathbf {b} \,dm=\int _{V}\rho \mathbf {b} \,dV}$

物体に作用する物体力と接触力は、特定の点に対する対応する力のモーメント（トルク）を生じさせる。したがって、加えられたトルクの合計は${\displaystyle {\mathcal {M}}}$原点については、

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\mathbf {M} _{C}+\mathbf {M} _{B}}$

材料の機械的挙動の解析では通常考慮されない特定の状況では、他の 2 種類の力を含める必要が生じます。これらは、偶力応力^{[注 1 ] [注 2 ]} (表面偶力、^{[ 11 ]}接触トルク) ^{[ 12 ]}とボディモーメントです。偶力応力は、表面に作用する単位面積あたりのモーメントです。ボディモーメント、またはボディ偶力は、物体の体積に作用する単位体積または単位質量あたりのモーメントです。どちらも、電場の作用下にある分極誘電体固体の応力解析、分子構造が考慮される材料 (骨など)、外部磁場の作用下にある固体、および金属の転位理論において重要です。^{[ 7 ] [ 8 ] [ 11 ]}

力のみによって生じるモーメントに加えて、物体の偶力や偶力応力を示す材料は極性材料と呼ばれます。^{[ 8 ] [ 12 ]}非極性材料とは、力のモーメントのみを持つ材料のことです。連続体力学の古典的な分野では、応力理論の発展は非極性材料に基づいています。

したがって、物体に作用するすべての力とトルク（座標系の原点に関するもの）の合計は、次のように表される。

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\int _{V}\mathbf {a} \,dm=\int _{S}\mathbf {T} \,dS+\int _{V}\rho \mathbf {b} \,dV}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {T} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \rho \mathbf {b} \,dV}$

ラグランジュ記述では、粒子の位置と物理的特性は、物質座標または基準座標と時間によって記述されます。この場合、基準配置は、次の配置です。${\displaystyle t=0}$基準系に立つ観測者は、時間の経過とともに物質体が空間内を移動するにつれて、位置と物理的特性の変化を観測する。得られる結果は、初期時間と基準構成の選択に依存しない。${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$この記述は通常、固体力学で使用されます。

ラグランジュ記述では、連続体の運動は写像関数によって表現される。${\displaystyle \chi (\cdot )}$（図2）

${\displaystyle \mathbf {x} =\chi (\mathbf {X} ,t)}$

これは初期構成のマッピングです${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$現在の構成に${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$それらの間に幾何学的な対応関係を与える、つまり位置ベクトルを与える${\displaystyle \mathbf {x} =x_{i}\mathbf {e} _{i}}$粒子${\displaystyle X}$位置ベクトル付き${\displaystyle \mathbf {X} }$変形していない状態または基準構成において${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$、現在の構成または変形した構成で占められます${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$その時${\displaystyle t}$構成要素${\displaystyle x_{i}}$これらは空間座標と呼ばれます。

物理的特性および運動学的特性${\displaystyle P_{ij\ldots }}$すなわち、熱力学的特性と流速は、物質体の特徴を記述または特徴付けるものであり、位置と時間の連続関数として表現される。${\displaystyle P_{ij\ldots }=P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)}$。

あらゆる特性の物質派生物${\displaystyle P_{ij\ldots }}$連続体のスカラー、ベクトル、またはテンソルの微分とは、移動する連続体を構成する特定の粒子群における、その特性の時間変化率のことです。物質微分は、実体微分、共動微分、または対流微分とも呼ばれます。これは、その粒子群とともに移動する観測者によって測定された特性の変化率と考えることができます。

ラグランジュ記述では、物質微分は${\displaystyle P_{ij\ldots }}$は単に時間に関する偏微分であり、位置ベクトルは${\displaystyle \mathbf {X} }$は時間とともに変化しないため一定に保たれます。したがって、

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}[P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)]={\frac {\partial }{\partial t}}[P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)]}$

瞬間位置${\displaystyle \mathbf {x} }$これは粒子の特性であり、その物質微分は瞬間流速である。${\displaystyle \mathbf {v} }$粒子の。したがって、連続体の流速場は次のように与えられる。

${\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {\mathbf {x} }}={\frac {d\mathbf {x} }{dt}}={\frac {\partial \chi (\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}}$

同様に、加速度場は次のように与えられる。

${\displaystyle \mathbf {a} ={\dot {\mathbf {v} }}={\ddot {\mathbf {x} }}={\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\chi (\mathbf {X} ,t)}{\partial t^{2}}}}$

ラグランジュ記述における連続性は、基準配置から物質点の現在の配置への写像の空間的および時間的な連続性によって表現される。連続体を特徴づけるすべての物理量はこのように記述される。この意味で、関数${\displaystyle \chi (\cdot )}$そして${\displaystyle P_{ij\ldots }(\cdot )}$これらは単一値かつ連続であり、空間および時間に関して、必要とされる任意の次数（通常は2次または3次）まで連続な導関数を持つ。

連続性により逆演算が可能になる${\displaystyle \chi (\cdot )}$粒子が現在どこにあるのかを遡って調べる${\displaystyle \mathbf {x} }$初期構成または参照構成に存在していた${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$この場合、運動の記述は空間座標で行われ、これは空間記述またはオイラー記述と呼ばれ、つまり現在の構成が基準構成として扱われます。

オイラー記述は、現在の構成に焦点を当てています。${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$空間と時間の中で個々の粒子が移動する様子に注目するのではなく、時間の経過とともに空間内の固定点で何が起きているかに注目する。このアプローチは、流体の流れの研究に都合よく適用され、最も関心のある運動学的特性は、基準時間における流体の形状ではなく、変化が起こる速度である。^{[ 14 ]}

数学的には、オイラー記述を用いた連続体の運動は、写像関数によって表現される。

${\displaystyle \mathbf {X} =\chi ^{-1}(\mathbf {x} ,t)}$

これは、現在その位置を占めている粒子の軌跡を示す。${\displaystyle \mathbf {x} }$現在の構成では${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$元の位置に戻す${\displaystyle \mathbf {X} }$初期構成において${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$。

この逆関数が存在するための必要十分条件は、ヤコビ行列の行列式（単にヤコビ行列と呼ばれることが多い）がゼロと異なることである。したがって、

${\displaystyle J=\left|{\frac {\partial \chi _{i}}{\partial X_{J}}}\right|=\left|{\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{J}}}\right|\neq 0}$

オイラー記述では、物理的特性${\displaystyle P_{ij\ldots }}$は次のように表現されます

${\displaystyle P_{ij\ldots }=P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)=P_{ij\ldots }[\chi ^{-1}(\mathbf {x} ,t),t]=p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)}$

ここで、関数形式は${\displaystyle P_{ij\ldots }}$ラグランジュ記述では、形式は同じではない。${\displaystyle p_{ij\ldots }}$オイラー的な記述において。

材料の派生${\displaystyle p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)}$連鎖律を用いると、

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]={\frac {\partial }{\partial t}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]+{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]{\frac {dx_{k}}{dt}}}$

この方程式の右辺の最初の項は、その特性の局所的な変化率を表す。${\displaystyle p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)}$位置で発生${\displaystyle \mathbf {x} }$右辺の第２項は対流変化率であり、空間内での位置変化（運動）による粒子の寄与を表しています。

オイラー記述における連続性は、流速場の空間的および時間的な連続性と連続微分可能性によって表現される。すべての物理量は、現在の構成において、ベクトル位置の関数として、各瞬間にこのように定義される。${\displaystyle \mathbf {x} }$。

粒子の位置を結ぶベクトル${\displaystyle P}$変形前の状態と変形後の状態における変位ベクトルを変位ベクトルと呼ぶ。${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}}$ラグランジュ記述では、または${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=U_{J}\mathbf {E} _{J}}$オイラー記述において。

変位場は、物体内のすべての粒子のすべての変位ベクトルからなるベクトル場であり、変形後の形状と変形前の形状を関連付けます。連続体の変形や運動の解析は、変位場を用いて行うと便利です。一般に、変位場は物質座標を用いて次のように表されます。

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} +\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}}$

または空間座標の観点から

${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} +\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}\,}$

どこ${\displaystyle \alpha _{Ji}}$は、単位ベクトルを持つ物質座標系と空間座標系の間の方向余弦です。${\displaystyle \mathbf {E} _{J}}$そして${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$それぞれ。したがって

${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}}$

そして、${\displaystyle u_{i}}$そして${\displaystyle U_{J}}$は次のように与えられる。

${\displaystyle u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}}$

知っておくと

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}}$

それから

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)}$

変形前と変形後の座標系を重ね合わせることは一般的であり、その結果、${\displaystyle \mathbf {b} =0}$、そして方向余弦はクロネッカーデルタになります。

${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}}$

したがって、

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}}$

または空間座標の観点から

${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}}$

させて${\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)}$を、物体内を流れる物理量とする。${\displaystyle g(\mathbf {x} ,t)}$体の表面にあるソースであり、${\displaystyle h(\mathbf {x} ,t)}$体内の源とする。${\displaystyle \mathbf {n} (\mathbf {x} ,t)}$表面に対する外向き単位法線とする${\displaystyle \partial \Omega }$。 させて${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$は、流れている物理量を運ぶ物理粒子の流れ速度とする。また、境界面が${\displaystyle \partial \Omega }$移動中${\displaystyle u_{n}}$（方向へ）${\displaystyle \mathbf {n} }$)

すると、バランス法則は一般的に次のように表すことができる。

${\displaystyle {\cfrac {d}{dt}}\left[\int _{\Omega }f(\mathbf {x} ,t)~{\text{dV}}\right]=\int _{\partial \Omega }f(\mathbf {x} ,t)[u_{n}(\mathbf {x} ,t)-\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\cdot \mathbf {n} (\mathbf {x} ,t)]~{\text{dA}}+\int _{\partial \Omega }g(\mathbf {x} ,t)~{\text{dA}}+\int _{\Omega }h(\mathbf {x} ,t)~{\text{dV}}~.}$

機能${\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)}$、${\displaystyle g(\mathbf {x} ,t)}$、 そして${\displaystyle h(\mathbf {x} ,t)}$バランス方程式が扱う物理量に応じて、スカラー値、ベクトル値、またはテンソル値をとることができます。物体内部に境界が存在する場合は、バランス法則にジャンプ不連続性も指定する必要があります。

オイラー的な観点から見ると、固体の質量、運動量、エネルギーの保存則は次のように表されることが示される（質量と角運動量の方程式のソース項がゼロであると仮定する）。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\rho }}+\rho ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )&=0&&\qquad {\text{Balance of Mass}}\\\rho ~{\dot {\mathbf {v} }}-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}-\rho ~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Balance of Linear Momentum (Cauchy's first law of motion)}}\\{\boldsymbol {\sigma }}&={\boldsymbol {\sigma }}^{T}&&\qquad {\text{Balance of Angular Momentum (Cauchy's second law of motion)}}\\\rho ~{\dot {e}}-{\boldsymbol {\sigma }}:({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} )+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} -\rho ~s&=0&&\qquad {\text{Balance of Energy.}}\end{aligned}}}$

上記の式において${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$は質量密度（電流）です。 ${\displaystyle {\dot {\rho }}}$は、${\displaystyle \rho }$、${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$は粒子の速度です。${\displaystyle {\dot {\mathbf {v} }}}$は、${\displaystyle \mathbf {v} }$、${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {x} ,t)}$はコーシー応力テンソルであり、${\displaystyle \mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)}$は物体力密度です。${\displaystyle e(\mathbf {x} ,t)}$は単位質量あたりの内部エネルギーであり、${\displaystyle {\dot {e}}}$は、${\displaystyle e}$、${\displaystyle \mathbf {q} (\mathbf {x} ,t)}$は熱流束ベクトルであり、${\displaystyle s(\mathbf {x} ,t)}$は単位質量あたりのエネルギー源です。使用される演算子は以下に定義されています。

基準配置（ラグランジュ的観点）に関して、保存則は次のように記述できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ~\det({\boldsymbol {F}})-\rho _{0}&=0&&\qquad {\text{Balance of Mass}}\\\rho _{0}~{\ddot {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot {\boldsymbol {P}}-\rho _{0}~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Balance of Linear Momentum}}\\{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {P}}^{T}&={\boldsymbol {P}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}&&\qquad {\text{Balance of Angular Momentum}}\\\rho _{0}~{\dot {e}}-{\boldsymbol {P}}:{\dot {\boldsymbol {F}}}+{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot \mathbf {q} -\rho _{0}~s&=0&&\qquad {\text{Balance of Energy.}}\end{aligned}}}$

上記において、${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$は第1ピオラ・キルヒホフ応力テンソルであり、 ${\displaystyle \rho _{0}}$は基準配置における質量密度である。第1ピオラ・キルヒホフ応力テンソルは、コーシー応力テンソルと次の関係にある。

${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}~{\text{where}}~J=\det({\boldsymbol {F}})}$

公称応力テンソルを別の方法で定義することもできます。${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$これは、第1ピオラ・キルヒホフ応力テンソルの転置であり、

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {P}}^{T}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}~.}$

すると、バランスの法則は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ~\det({\boldsymbol {F}})-\rho _{0}&=0&&\qquad {\text{Balance of Mass}}\\\rho _{0}~{\ddot {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot {\boldsymbol {N}}^{T}-\rho _{0}~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Balance of Linear Momentum}}\\{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {N}}&={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}&&\qquad {\text{Balance of Angular Momentum}}\\\rho _{0}~{\dot {e}}-{\boldsymbol {N}}^{T}:{\dot {\boldsymbol {F}}}+{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot \mathbf {q} -\rho _{0}~s&=0&&\qquad {\text{Balance of Energy.}}\end{aligned}}}$

クラウジウス・デュエムの不等式は、弾塑性材料における熱力学第二法則を表すために用いることができる。この不等式は、特にエネルギー散逸が伴う場合における自然過程の不可逆性に関する記述である。

前節の平衡法則と同様に、ある量のフラックス、その量の源、および単位質量あたりの内部密度が存在すると仮定します。この場合、関心のある量はエントロピーです。したがって、エントロピーフラックス、エントロピー源、内部質量密度が存在すると仮定します。${\displaystyle \rho }$そして内部比エントロピー（すなわち単位質量あたりのエントロピー）${\displaystyle \eta }$関心領域において。

させて${\displaystyle \Omega }$そのような地域にして${\displaystyle \partial \Omega }$その境界となる。すると、熱力学第二法則によれば、 ${\displaystyle \eta }$この地域では、供給される量の合計以上である。${\displaystyle \Omega }$（フラックスとして、または内部源から）および内部エントロピー密度の変化${\displaystyle \rho \eta }$地域への物質の流入と流出によるものです。

させて${\displaystyle \partial \Omega }$流れの速度で移動する${\displaystyle u_{n}}$そして粒子を内部に${\displaystyle \Omega }$速度を持つ${\displaystyle \mathbf {v} }$。 させて${\displaystyle \mathbf {n} }$表面に対する外向きの法線単位とする${\displaystyle \partial \Omega }$。 させて${\displaystyle \rho }$その領域における物質の密度を、${\displaystyle {\bar {q}}}$表面におけるエントロピー流束を、${\displaystyle r}$を単位質量あたりのエントロピー源とする。すると、エントロピー不等式は次のように書ける。

${\displaystyle {\cfrac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega }\rho ~\eta ~{\text{dV}}\right)\geq \int _{\partial \Omega }\rho ~\eta ~(u_{n}-\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )~{\text{dA}}+\int _{\partial \Omega }{\bar {q}}~{\text{dA}}+\int _{\Omega }\rho ~r~{\text{dV}}.}$

スカラーエントロピー流束は、表面におけるベクトル流束と次の関係式で結び付けられる。${\displaystyle {\bar {q}}=-{\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} }$等温条件が段階的に変化するという仮定の下では、

${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {x} )={\cfrac {\mathbf {q} (\mathbf {x} )}{T}}~;~~r={\cfrac {s}{T}}}$

どこ${\displaystyle \mathbf {q} }$は熱流束ベクトルであり、${\displaystyle s}$は単位質量あたりのエネルギー源であり、${\displaystyle T}$は、物質点の絶対温度です。${\displaystyle \mathbf {x} }$その時${\displaystyle t}$。

すると、積分形式のクラウジウス・デュエムの不等式が得られる。

${\displaystyle {{\cfrac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega }\rho ~\eta ~{\text{dV}}\right)\geq \int _{\partial \Omega }\rho ~\eta ~(u_{n}-\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )~{\text{dA}}-\int _{\partial \Omega }{\cfrac {\mathbf {q} \cdot \mathbf {n} }{T}}~{\text{dA}}+\int _{\Omega }{\cfrac {\rho ~s}{T}}~{\text{dV}}.}}$

エントロピー不等式は微分形式で次のように書けることを示すことができる。

${\displaystyle {\rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\cfrac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\cfrac {\rho ~s}{T}}.}}$

コーシー応力と内部エネルギーに関して、クラウジウス・デュエムの不等式は次のように表される。

${\displaystyle {\rho ~({\dot {e}}-T~{\dot {\eta }})-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \leq -{\cfrac {\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T}{T}}.}}$

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