反発係数

反発係数（COR）は、衝突する2つの物体の特性であり、単一の物体の特性ではありません。ある物体が2つの異なる物体と衝突する場合、それぞれの衝突には独自の反発係数が存在します。単一の物体が、他の物体とは無関係な固有の特性であるかのように、特定の反発係数を持つと記述される場合、いくつかの仮定がなされています。例えば、衝突相手が同一の物体である場合、または衝突相手が完全に剛体の壁である場合などです。

衝突の基本的な解析では、eは一般的に無次元定数として扱われ、2つの物体の質量や相対速度とは無関係であり、衝突は実質的に瞬間的に起こるものとみなされます。教育でよく用いられる例としては、2つの理想化されたビリヤードボールの衝突が挙げられます。現実世界の相互作用はより複雑になる可能性があり、例えば、物体の内部構造を考慮に入れる必要がある場合や、最初の接触から最終的な分離までの間に、より複雑な影響が生じる場合などがあります。

eは通常、0から1の間の正の実数です。

• e = 0 : これは完全非弾性衝突であり、物体は全く跳ね返らず、最終的に接触します。
• 0 < e < 1 : これは現実世界における非弾性衝突であり、運動エネルギーの一部が散逸する。物体は接近速度よりも低い分離速度で跳ね返る。
• e = 1：これは完全弾性衝突であり、運動エネルギーは散逸しません。物体は接近時と同じ相対速度で跳ね返ります。

その範囲外の値も原理的には可能ですが、実際にはeを定数とする基本的な解析方法では通常は解析されません。

• e < 0 : CORがゼロ未満ということは、物体が互いにすり抜けるような衝突を意味します。例えば、弾丸が標的を貫通する場合などです。
• e > 1 : これは、衝突中に蓄積されたエネルギーが放出されるため、物体が接近速度よりも大きな相対速度で跳ね返る超弾性衝突を意味します。

eは衝突する物体の質量によって変化しないが、運動量保存の法則により、最終速度は質量に依存する。$${\displaystyle v_{\text{a}}={\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}e(u_{\text{b}}-u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}}$$ そして $${\displaystyle v_{\text{b}}={\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{a}}e(u_{\text{a}}-u_{\text{b}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}}$$ どこ

• ${\displaystyle v_{\text{a}}}$衝突後のAの速度は
• ${\displaystyle v_{\text{b}}}$衝突後のBの速度は
• ${\displaystyle u_{\text{a}}}$衝突前のAの速度は
• ${\displaystyle u_{\text{b}}}$衝突前のBの速度は
• ${\displaystyle m_{\text{a}}}$Aの質量は
• ${\displaystyle m_{\text{b}}}$Bの質量は

重心系における運動エネルギー損失： $${\displaystyle \Delta T=-(1-e^{2})\cdot \Delta T_{0,{\text{CM}}}=-(1-e^{2})\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {m_{\text{a}}m_{\text{b}}}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}\cdot (u_{\text{a}}-u_{\text{b}})^{2}}$$

どこ

• ${\displaystyle \Delta T}$衝突中に失われた運動エネルギーは
• ${\displaystyle e}$は反発係数です
• ${\displaystyle \Delta T_{0,{\text{CM}}}}$は重心座標系における初期運動エネルギーである。
• ${\displaystyle m_{\text{a}}}$物体Aの質量は
• ${\displaystyle m_{\text{b}}}$は物体Bの質量です
• ${\displaystyle u_{\text{a}}}$衝突前のAの速度は
• ${\displaystyle u_{\text{b}}}$衝突前のBの速度は

実際の状況では、2つの物体間の反発係数を実験的に決定する必要がある場合があり、例えば、リープ反発硬度試験を用いる方法がある。この試験では、入手可能な最も硬い物質の1つである炭化タングステンの先端を、特定の高さから試験サンプルに落下させる。

材料特性（弾性率、レオロジー）、衝撃の方向、摩擦係数、衝突体の接着特性に依存する反発係数の包括的な研究は、 Willert（2020）に記載されている。 ^{[ 3 ]}

薄いフェースのゴルフクラブドライバーは、「トランポリン効果」を利用して、たわみとそれに続く蓄積されたエネルギーの解放によってボールに大きなインパルスが伝わり、飛距離が伸びます。USGA （アメリカのゴルフ統括団体）はドライバーのCORをテストし^{[ 4 ]}、上限を0.83に設定しています。CORはクラブヘッド速度の関数であり、クラブヘッド速度が増加するにつれて減少します。^{[ 5 ]}レポートでは、CORは90mphで0.845から 130mphで0.797までとなっています 。上記の「トランポリン効果」は、衝突時間を長くすることで衝突時のストレス率を低下させることで、このことを示しています。ある記事（テニスラケットのCORについて）によると、「ベンチマーク条件では、すべてのラケットで0.85の反発係数が使用され、反発係数に加算または減算される可能性のあるストリングの張力とフレームの剛性の変数が排除される。」^{[ 6 ]}

国際卓球連盟は 、ボールを30.5cmの高さから 標準的な鋼鉄ブロックに落としたときに24～26cm跳ね上がることを規定しており^{[ 7 ]} 、これはCORが0.887～0.923であることを意味する。

国際バスケットボール連盟（FIBA）のルールでは、ボールが1800mm の高さから落とされたときに1035～1085mmの高さまで跳ね返る必要がある^{[ 8 ]} 。これは、 CORが0.758～0.776であることを意味する。