伝搬定数

正弦波電磁波の伝搬定数は、波が特定の方向に伝搬する際に振幅と位相が受ける変化の尺度です。測定される量は、電圧、回路内の電流、または電界強度や磁束密度などの電界ベクトルです。伝搬定数自体は、単位長さあたりの大きさまたは位相の無次元変化を測定します。2ポートネットワークとそのカスケード接続の文脈では、伝搬定数は、ソース量が1つのポートから次のポートに伝搬する際に受ける変化を測定します。

伝搬定数の値は、通信分野で一般的に用いられる10を底とする対数ではなく、ほぼ普遍的にeを底とする対数で表されます。電圧などの測定量は正弦波フェーザで表されます。正弦波の位相は距離によって変化するため、伝搬定数は複素数となり、虚数部は位相変化によって生じます。

「伝搬定数」という用語は、ωによって大きく変化することが多いため、やや不適切な名称です。おそらく最も広く使われている用語ですが、この量に対してさまざまな著者がさまざまな代替名を使用しています。これらには、伝送パラメータ、伝送関数、伝搬パラメータ、伝搬係数、および伝送定数が含まれます。複数形が使用されている場合は、伝送パラメータ、伝搬パラメータなどのように、 αとβが別々に、しかしまとめて参照されていることを示唆しています。伝送線路理論では、αとβ は「二次係数」に含まれ、二次という用語は一次線路係数と対比して使用されます。一次係数は、線路の物理的特性、つまりR、C、L 、およびGであり、二次係数は電信方程式を使用して導出できます。伝送線路の分野では、伝送係数という用語は、名前が似ているにもかかわらず、異なる意味を持ちます。それは反射係数の相棒です。

特定のシステムにおける伝搬定数（記号γ）は、波の発生源における複素振幅と距離xにおける複素振幅の比によって定義され、

${\displaystyle {\frac {A_{0}}{A_{x}}}=e^{\gamma x}.}$

上記の式を反転させてγを分離すると、複素振幅比の自然対数とxの移動距離の商が得られます。

${\displaystyle \gamma =\ln \left({\frac {A_{0}}{A_{x}}}\right)/x}$

伝播定数は複素数であるため、次のように記述できます。

$${\displaystyle \gamma =\alpha +i\beta \ }$$

どこ

• α（実数部）は減衰定数と呼ばれる。
• βの虚数部は位相定数と呼ばれる。
• ${\displaystyle i\equiv j\equiv {\sqrt {-1\ }}}$記号jは、電気・電子工学においてより一般的です。

βが確かに位相を表していることは、オイラーの公式からわかる。

${\displaystyle e^{i\theta }=\cos {\theta }+i\sin {\theta }\ }$

これは、 θが変化すると位相が変化するが振幅は変化しない正弦波である。

${\displaystyle \left|e^{i\theta }\right|={\sqrt {\cos ^{2}{\theta }+\sin ^{2}{\theta }\;}}=1}$

底eを使用する理由もこれで明らかになった。虚数位相定数iβは、減衰定数αに直接加算することで、同じ底であれば1つの複素数として扱うことができ、1回の演算で処理できる。ラジアンを求めるには底eが必要であり、同様に減衰のネーパーを求めるにも底eが必要である。

導線の伝搬定数は、次の関係式を用いて一次線路係数から計算できる。

${\displaystyle \gamma ={\sqrt {ZY\ }}}$

どこ

${\displaystyle Z=R+i\ \omega L}$は単位長さあたりの線路の直列インピーダンスであり、

${\displaystyle Y=G+i\ \omega C}$これは、単位長さあたりの回線の並列アドミタンスです。

電気通信において、減衰定数（減衰パラメータまたは減衰係数とも呼ばれる）とは、電磁波が媒体中を伝搬する際の、発生源からの単位距離あたりの減衰量を指します。これは伝搬定数の実数部であり、単位はネーパー/メートルで表されます。1ネーパーは約8.7 dBです。減衰定数は振幅比によって定義できます。 

$\displaystyle \left|{\frac {A_{0}}{A_{x}}}\right|=e^{\alpha x}}$

単位長さあたりの伝搬定数は、送信端の電流または電圧と受信端の電流または電圧の比の自然対数を、関係する距離xで割ったものとして定義される。

${\displaystyle \alpha =\ln \left(\left|{\frac {A_{0}}{A_{x}}}\right|\right)/x}$

電磁気理論において、位相定数（位相変化定数、パラメータ、係数とも呼ばれる）は、平面波の伝搬定数の虚数部です。これは、任意の瞬間における波の経路に沿った単位長さあたりの位相変化を表し、波の角波数実数部に等しくなります。記号β （ SI単位：ラジアン/メートル）で表されます。

無損失媒体における横電磁波（TEM波）の（角）波数の定義から、

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}=\beta }$

伝送線路の場合、電信方程式によれば、時間領域で波の伝送が歪みなく行われるためには、波数（波数）は周波数に比例しなければならない。これは、損失のない理想的な線路の場合を含むが、それに限定されるものではない。この条件の理由は、有用な信号が周波数領域で多くの異なる波長から構成されていることを考慮すると理解できる。波形に歪みが生じないためには、これらの波はすべて同じ速度で伝播し、線路の遠端に同時に到達する必要がある。波の位相速度は次のように与えられる。

${\displaystyle v_{p}={\frac {\lambda }{T}}={\frac {f}{\tilde {\nu }}}={\frac {\omega }{\beta }},}$

βはωに比例する必要があることが証明されている。線路の基本係数に関して言えば、歪みのない線路に対する電信方程式から、次の条件が得られる。

${\displaystyle \beta =\omega {\sqrt {LC}},}$

ここで、 LとCはそれぞれ、線路の単位長さあたりのインダクタンスと静電容量である。ただし、実際の線路では、限られた周波数帯域においてのみ、この条件を近似的に満たすことが期待できる。

特に、位相定数${\displaystyle \beta }$波数と必ずしも等価ではない${\displaystyle k}$関係

${\displaystyle \beta =k}$

これは、自由空間や同軸ケーブルや2本の平行線伝送線路などのTEMデバイスを伝搬するTEM波に適用されます。ただし、 TE波（横電界波）やTM波（横磁界波）には適用されません。例えば、^{[ 2 ]} TEM波は存在できないがTE波とTM波は伝搬できる中空導波管では、

${\displaystyle k={\frac {\omega }{c}}}$

${\displaystyle \beta =k{\sqrt {1-{\frac {\omega _{c}^{2}}{\omega ^{2}}}}}}$

ここ$\displaystyle \omega _{c}}$はカットオフ周波数 です。矩形導波管では、カットオフ周波数は

${\displaystyle \omega _{c}=c{\sqrt {\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}\right)^{2}}},}$

どこ${\displaystyle m,n\geq 0}$長さの長方形の辺のモード番号は${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$それぞれ。TEモードの場合、${\displaystyle m,n\geq 0}$（しかし${\displaystyle m=n=0}$（許可されていません）一方、TMモードでは${\displaystyle m,n\geq 1}$。

位相速度は

${\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{\beta }}={\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {\omega _{\mathrm {c} }^{2}}{\omega ^{2}}}}}}>c}$

伝搬定数または伝搬関数という用語は、信号処理に使用されるフィルタやその他の2 ポートネットワークに適用されます。ただし、これらの場合、減衰係数と位相係数は、単位長さあたりではなく、ネットワークセクションあたりのネーパーとラジアンで表されます。一部の著者^{[ 3 ]}は、単位長さあたりの測定値 (「定数」が使用される) とセクションあたりの測定値 (「関数」が使用される) を区別しています。

伝搬定数は、カスケード接続されたセクション構成を用いるフィルタ設計において有用な概念です。カスケード接続された構成では、個々のセクションの伝搬定数、減衰定数、位相定数を単純に加算することで、全体の伝搬定数などを求めることができます。

カスケードネットワーク

各ネットワークの出力電圧と入力電圧の比率は^{[ 4 ]で与えられる。}

${\displaystyle {\frac {V_{1}}{V_{2}}}={\sqrt {\frac {Z_{I1}}{Z_{I2}}}}e^{\gamma _{1}}}$

${\displaystyle {\frac {V_{2}}{V_{3}}}={\sqrt {\frac {Z_{I2}}{Z_{I3}}}}e^{\gamma _{2}}}$

${\displaystyle {\frac {V_{3}}{V_{4}}}={\sqrt {\frac {Z_{I3}}{Z_{I4}}}}e^{\gamma _{3}}}$

条件${\displaystyle {\sqrt {\frac {Z_{In}}{Z_{Im}}}}}$これらはインピーダンススケーリング用語^{[ 5 ]}であり、その使用法はイメージインピーダンスの記事で説明されています。

全体の電圧比は次のように表される。

${\displaystyle {\frac {V_{1}}{V_{4}}}={\frac {V_{1}}{V_{2}}}\cdot {\frac {V_{2}}{V_{3}}}\cdot {\frac {V_{3}}{V_{4}}}={\sqrt {\frac {Z_{I1}}{Z_{I4}}}}e^{\gamma _{1}+\gamma _{2}+\gamma _{3}}}$

したがって、互いに向き合うインピーダンスが一致するn個のカスケード接続されたセクションの場合、全体の伝搬定数は次のように与えられる。

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {total} }=\gamma _{1}+\gamma _{2}+\gamma _{3}+\cdots +\gamma _{n}}$

浸透深さの概念は、電磁波の吸収を記述する多くの方法の一つです。その他の方法とその相互関係については、「不透明度の数学的記述」の記事を参照してください。

• 伝搬速度

• 「伝搬定数」。マイクロ波百科事典。2011年。2014年7月14日にオリジナル（オンライン）からアーカイブ。2011年2月2日に取得。
• パショッタ、リューディガー博士 (2011)。「伝搬定数」(オンライン)。レーザー物理学および技術百科事典。 2011年2月2日取得。
• Janezic, Michael D.; Jeffrey A. Jargon (1999年2月)。「伝搬定数測定からの複素誘電率の決定」(PDF) . IEEE Microwave and Guided Wave Letters . 9 (2): 76–78 . Bibcode : 1999IMGWL...9...76J . doi : 10.1109/75.755052 . 2011年2月2日取得。無料のPDF版がダウンロード可能です。2002年8月6日付けの更新版があります。