ガリレオ砲

ガリレオ砲は、線型運動量保存則を実証する装置である。^[1]これはボールの積み重ねで構成され、積み重ねの底部にある大きくて重いボールから始まり、上部の小さくて軽いボールまで進んでいく。基本的な考え方は、このボールの積み重ねを地面に落とすと、下のボールの運動エネルギーのほぼすべてが最上部のボールに伝達され、そのボールは落とした高さの何倍もの高さまで跳ね返るというものである。一見すると、この動作は非常に直感に反しているように見えるが、実際には運動量保存則が予測していることとまったく同じである。主な難しさは、最初の落下中にボールの構成を安定に保つことである。初期の説明では、ボールを整列させるために 何らかの接着剤/テープ、 ^[2]、チューブ、またはネット^{[3]が使用されるとされていた。}

ガリレオ砲の現代版はエドモンド・サイエンティフィック社から販売されており、現在でも「アストロブラスター」として販売されている。^{[4] [5]}この装置では、すべてのボールに太いワイヤーが通されており、ボールが正確に一列に並んでいるが、原理は同じである。その結果生じる反発力はかなり強力であり、実際、目の安全に関する問題が蔓延したため、この玩具には現在安全ゴーグルが付属している。

この原理は、バスケットボールとテニスボールなど、たった2つのボールでもっと簡単に実証することができます。実験者がバスケットボールの上にテニスボールを乗せてバランスを取り、そのペアを地面に落とすと、テニスボールは投げられたときの高さの何倍も跳ね返ります。^[6]

弾性衝突、均一な重力、空気抵抗なし、そしてボールを落とした高さに比べてボールの大きさが無視できるほど小さいことを前提に、運動量と運動エネルギーの保存則の公式を使用して、小さなボールの跳ね返りの速度と高さを計算できます。

${\displaystyle \;\;\,m_{1}v_{1}^{\プライム }\,+\;\;\,m_{2}v_{2}^{\プライム }\,=\;\ ;\,m_{1}v_{1}+\;\;\,m_{2}v_{2}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{\prime 2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{\prime 2}={\tfrac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}}$。

上記の連立方程式をv ₂ ′について解くと、

${\displaystyle v_{2}^{\prime }={\frac {(m_{2}-m_{1})v_{2}+2m_{1}v_{1}}{m_{1}+m_{2}}}}$

上向きの速度を正とすると、ボールは同じ高さから落ち、大きなボールは同じ速度で床から跳ね返るので、v ₁ = − v ₂となります（負の符号は方向が逆であることを示します）。したがって、

${\displaystyle \;\,v_{2}^{\prime }\,\;=-{\frac {3m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}v_{2}}$

${\displaystyle {\Bigg |}{\frac {v_{2}^{\prime }}{v_{2}}}{\Bigg |}=\;\;\,{\frac {3m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}=3-{\frac {4}{{\tfrac {m_{1}}{m_{2}}}+1}}}$。

なぜなら、跳ね返りの高さは発射速度の2乗に比例するため、2つの弾丸を発射する大砲の最大跳ね返りの高さは、 m ₁ >> m ₂のとき、元の落下高さの3 ² = 9倍になります。 ${\displaystyle {\frac {m_{1}}{m_{2}}}>1,1<{\Bigg |}{\frac {v_{2}^{\prime }}{v_{2}}}{\Bigg |}<3}$

• ニュートンのゆりかご