ウルトラリミット

数学において、超極限とは、極限距離空間を距離空間の列に割り当てる幾何学的構成です。この概念は、収束を確実にするために部分列を繰り返し考慮する必要をなくすために超フィルターを使用する空間内の有限構成の極限動作を捉えます。超極限は、距離空間におけるグロモフ・ハウスドルフ収束を一般化します。 ${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X_{n}}$

自然数全体の集合上の超フィルタ（ ωと表記）は、有限交差で閉じており、上向きに閉じており、 の任意の部分集合 X に対して X または \ X のいずれかを含む、 の空でない部分集合の集合（その包含関数は測度として考えることができる）である。 上の超フィルタは、有限集合を含まない場合、 非主フィルタである。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$

以下では、ω は上の非主ウルトラフィルタです。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$

が距離空間( X , d )内の点の列であり、 x ∈ Xである場合、点x はx _nのω極限と呼ばれ、 と表記され、任意のに対して次が成り立つ。 ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N}}}$${\displaystyle x=\lim _{\omega }x_{n}}$${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle \{n:d(x_{n},x)\leq \epsilon \}\in \omega .}$

次のようなことが観察される。

• 点の列のω極限が存在する場合、それは一意です。
• 標準的な意味では、です。(この特性が成り立つためには、超フィルターが非主フィルターであることが重要です。)${\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$${\displaystyle x=\lim _{\omega }x_{n}}$

基本的な事実^[1]によれば、( X , d )がコンパクトでωが上の非主Ultrafilterであれば、X内の任意の点列のω極限が存在する（そして必然的に一意である）。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$

特に、閉区間はコンパクトであるため、実数の任意の有界列はにおいて明確に定義されたω極限を持ちます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

ω を上の非主ウルトラフィルタとする。( X _n , d _n )を指定された基点p _n ∈ X _nを持つ距離空間のシーケンスとする。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$

シーケンス（ただし、x _n ∈ X _{n ）}が許容されるとします。実数シーケンス ( d _n ( x _n、p _n )) _nが有界である場合、つまり となる 正の実数C が存在する場合、すべての許容シーケンスの集合を で表します。 ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N}}}$${\displaystyle d_{n}(x_{n},p_{n})\leq C}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

三角不等式から、任意の2つの許容シーケンスとシーケンス( d _n ( x _n , y _n ))に対して、 _nは有界であり、したがってω極限 が存在することがわかります。すべての許容シーケンスの集合上の関係を次のように定義できます。 に対して、 のときは常にが存在します。これは、が の同値関係であることを示すのに役立ちます。${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle {\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ):=\lim _{\omega }d_{n}(x_{n},y_{n })}$${\displaystyle \sim}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \mathbf {x} \sim \mathbf {y} }$${\displaystyle {\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0.}$${\displaystyle \sim}$${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$

数列( Xn , dn , pn ₎のωに関する極限は以下のように定義される距離空間である_。[ 2 ^]${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })}$

セットで書くと、. ${\displaystyle X_{\infty }={\mathcal {A}}/{\sim }}$

許容シーケンスとの2つの同値類に対して、${\displaystyle \sim}$${\displaystyle [\mathbf {x} ],[\mathbf {y} ]}$${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle d_{\infty }([\mathbf {x} ],[\mathbf {y} ]):={\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y } )=\lim _{\omega }d_{n}(x_{n},y_{n}).}$

これは、が明確に定義されており、集合 上の 計量であることを示しています。 ${\displaystyle d_{\infty}}$${\displaystyle X_{\infty}}$

を表します。 ${\displaystyle (X_{\infty},d_{\infty})=\lim _{\omega}(X_{n},d_{n},p_{n})}$

( X _n , d _n ) が一様に制限された直径の距離空間の列であると仮定します。つまり、任意の に対してdiam( X _n ) ≤ Cとなるような実数C > 0 が存在するとします。すると、 X _n内のベースポイントの任意の選択p _nに対して、すべての列が許容されます。したがって、この状況では、超極限を定義するときにベースポイントの選択を指定する必要はなく、超極限は( X _n , d _n ) とωのみに依存し、ベースポイント列の選択には依存しません。この場合、 と書きます。 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (x_{n})_{n},x_{n}\in X_{n}}$${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })}$${\displaystyle p_{n}\in X_{n}}$${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$

1. ( Xn , dn ₎が測地距離空間であれば、_も測地距離空間である。^[1]${\displaystyle (X_{\infty},d_{\infty})=\lim _{\omega}(X_{n},d_{n},p_{n})}$
2. ( Xn , dn )が完全距離空間であれば、_も完全距離空間となる。_[ ^{3] [4]}${\displaystyle (X_{\infty},d_{\infty})=\lim _{\omega}(X_{n},d_{n},p_{n})}$

実際には、構成上、( Xn、dn ₎が完全でない空間( X、d )の繰り返し列で_あっても、極限空間は常に完全である。 ^[5]

1. ( X _n、d _n ) がグロモフ・ハウスドルフの意味でコンパクト計量空間 ( X、d )に収束するコンパクト計量空間である場合(これは自動的に空間 ( X _n、d _n ) が一様に制限された直径を持つことを意味する)、超極限は( X、d ) に等長である。${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$
2. ( X _n , d _n ) が適切な距離空間であり、それらが基点であり、その点列 ( X _n , d _n , p _n ) がグロモフ・ハウスドルフの意味で適切な距離空間 ( X , d )に収束すると仮定する。このとき、極限は( X , d )に等長である。^[1]${\displaystyle p_{n}\in X_{n}}$${\displaystyle (X_{\infty},d_{\infty})=\lim _{\omega}(X_{n},d_{n},p_{n})}$
3. κ ≤0 とし、( X _n , d _n ) をCAT( κ )-距離空間の列とする。このとき、極限も CAT( κ )-空間である。^[1]${\displaystyle (X_{\infty},d_{\infty})=\lim _{\omega}(X_{n},d_{n},p_{n})}$
4. ( Xn , _dn )をCAT( κn )_距離空間の列とすると、極限は実数木_となる。^[1]${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\kappa _{n}=-\infty .}$${\displaystyle (X_{\infty},d_{\infty})=\lim _{\omega}(X_{n},d_{n},p_{n})}$

極限値の重要なクラスは、距離空間のいわゆる漸近錐です。 ( X , d ) を距離空間とし、ω を上の非主超フィルタとし、p _n  ∈  X を基点列とします。すると、列のω –極限値はωに関するXの漸近錐と呼ばれ、と表記されます。基点列は定数、つまり、あるp ∈ Xに対してp _n = p であるとすることがよくあります。この場合、漸近錐はp ∈ Xの選択に依存せず、 または単にと表記されます。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle (X,{\frac {d}{n}},p_{n})}$${\displaystyle (p_{n})_{n}\,}$${\displaystyle Cone_{\omega }(X,d,(p_{n})_{n})\,}$${\displaystyle 円錐_{\omega }(X,d)\,}$${\displaystyle 円錐_{\omega }(X)\,}$

漸近錐の概念は、幾何学群論において重要な役割を果たします。漸近錐（より正確には、その位相型と双リプシッツ型）は、一般に距離空間の準等長不変量を提供し、特に有限生成群の準等長不変量を提供するからです。^{[6]漸近錐は、}相対双曲群とその一般化の研究にも役立つツールであることが判明しています。^[7]

1. ( X , d ) をコンパクトな距離空間とし、任意のに対して( X _n , d _n )=( X , d ) とします。すると、極限は( X , d )に等長になります。${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$
2. ( X , d _X ) と ( Y , d _Y ) を 2 つの異なるコンパクト距離空間とし、 ( X _n , d _n ) を各nに対して( X _n , d _n )=( X , d _X ) または( X _n , d _n )=( Y , d _Y )となる距離空間の列とします。およびとします。したがってA ₁、A _{2 は}互いに素であり、 したがってA ₁、A _{2の一方には}ω測度 1 が あり、もう一方にはω測度 0 があります。したがってω ( A 1 )=1 の場合、 は( X、d _X )と等長であり、 ω ( A ₂ )=1 の場合、 は( Y、d _Y )と等長です。これは、超極限が超_{フィルター}ωの選択に依存する可能性があることを示しています。${\displaystyle A_{1}=\{n|(X_{n},d_{n})=(X,d_{X})\}\,}$${\displaystyle A_{2}=\{n|(X_{n},d_{n})=(Y,d_{Y})\}\,}$${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}=\mathbb {N} .}$${\displaystyle \lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$${\displaystyle \lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$
3. ( M , g ) をm次元の連結コンパクトリーマン多様体とする。ここでgはM上のリーマン計量である。 d をgに対応するM上の計量とし、 ( M , d ) は測地計量空間とする。基点p ∈ Mを選ぶ。すると、超極限 (および通常のグロモフ-ハウスドルフ極限) は、内積g(p)で与えられるT _p M上の距離関数を持つpにおけるMの接空間T _p Mに等長になる。したがって、超極限は標準ユークリッド計量を持つユークリッド空間に等長である。^[8]${\displaystyle \lim _{\omega }(M,nd,p)}$ ${\displaystyle \lim _{\omega }(M,nd,p)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$
4. を標準ユークリッド計量を持つ標準m次元ユークリッド空間とします。このとき漸近円錐は に等長です。${\displaystyle (\mathbb {R} ^{m},d)}$${\displaystyle Cone_{\omega }(\mathbb {R} ^{m},d)}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{m},d)}$
5. を 2 次元整数格子とします。ここで、2 つの格子点間の距離は、グリッド内でそれらの間の最短エッジ パスの長さで与えられます。すると、漸近円錐はに等長になり、は 上のタクシー計量(またはL ¹計量) になります 。${\displaystyle (\mathbb {Z} ^{2},d)}$${\displaystyle Cone_{\omega }(\mathbb {Z} ^{2},d)}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{1})}$${\displaystyle d_{1}\,}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
6. ( X , d )をδ≥0のδ双曲測地距離空間とする。このとき漸近錐は実木となる。^{[1] [9]}${\displaystyle 円錐_{\omega }(X)\,}$
7. ( X , d ) を有限直径の距離空間とします。このとき漸近円錐は単一の点になります。${\displaystyle 円錐_{\omega }(X)\,}$
8. ( X , d )をCAT(0)距離空間とする。このとき漸近錐もCAT(0)空間となる。^[1]${\displaystyle 円錐_{\omega }(X)\,}$

• ジョン・ロー。粗い幾何学に関する講義。 アメリカ数学会、2003年。ISBN 978-0-8218-3332-2 ; 第7章。 
• L.Van den Dries、AJWilkie、「多項式成長群と初等論理に関するグロモフの定理について」Journal of Algebra、第89巻（1984年）、349～374頁。
• M. Kapovich B. Leeb. 3次元多様体の基本群の漸近円錐と準等長類について、幾何学および関数解析、第5巻（1995年）、第3号、pp. 582–603
• M. Kapovich.双曲多様体と離散群。Birkhäuser、2000年。ISBN 978-0-8176-3904-4 ;第9章。 
• Cornelia Druţu と Mark Sapir (Denis Osin と Mark Sapir による付録付き)、 Tree- graded spaces and asymptotic cones of groups。Topology 、第 44 巻 (2005 年)、第 5 号、959 ～ 1058 ページ。
• M. グロモフ。リーマン空間と非リーマン空間の計量構造。Progress in Mathematics vol. 152、Birkhäuser、1999 年。ISBN 0-8176-3898-9 ; Ch. 3。 
• B. Kleiner と B. Leeb、「対称空間とユークリッド建物の準等長写像の剛性」。 出版物 Mathématiques de L'IHÉS。第 86 巻、第 1 号、1997 年 12 月、pp. 115–197。

• 幾何群論