ブライアン・ボウディッチ

ブライアン・ヘイワード・ボウディッチ（1961年生まれ^[1]）は、幾何学と位相幾何学、特に幾何群論と低次元位相幾何学の分野への貢献で知られるイギリスの数学者である。彼はまた、天使問題を解いたことでも知られている^{[2] 。ボウディッチは、}ウォーリック大学で数学の教授職に就いている。

ブライアン・ボウディッチは1961年ウェールズのニースに生まれる。 1983年ケンブリッジ大学で文学士号を取得。^[1]その後ウォーリック大学でデイビッド・エプスタインの指導の下、数学の博士課程に進み、1988年に博士号を取得。 ^{[3]その後、ニュージャージー州}プリンストン高等研究所、ウォーリック大学、ビュール・シュル・イヴェット高等科学研究所、メルボルン大学、アバディーン大学でポスドク研究員や客員研究員を歴任。^{[1] 1992年}サウサンプトン大学に着任し、2007年まで在籍。2007年ウォーリック大学に移り、数学の教授に就任。

ボウディッチは、1997年にロンドン数学会から幾何群論と幾何位相幾何学の研究でホワイトヘッド賞を受賞した。^{[4] [5]彼は、2004年にストックホルムで開催された}ヨーロッパ数学会議で招待講演を行った。^{[6]ボウディッチは}、トゥールーズ科学年報^[7] の元編集委員会メンバーであり、ロンドン数学会の元編集顧問でもある。^[8]

ボウディッチの初期の注目すべき成果には、定曲率および可変曲率の高次元クライン群の幾何学的有限性の古典的な概念を明確にしたことなどがある。1993年の論文[9]で、ボウディッチは、双曲的3次元空間と双曲的平面の等長写像の離散群に対する幾何学的有限性の5つの標準的な特徴付け（^有限辺の基本多面体を持つという定義を含む）が、n ≥ 4の双曲的n次元空間の等長写像の群に対して同等であることを証明した。しかし、彼は、 n ≥ 4 の次元では、有限辺のディリクレ領域 を持つという条件が、幾何学的有限性の標準的な概念と同等ではなくなることを示した。その後の論文^[10]で、ボウディッチは、負の曲率が狭く（必ずしも一定ではない）、任意の次元n ≥ 2であるアダマール多様体の等長変換の離散群について同様の問題を考察した 。彼は、以前の論文で考察した幾何学的有限性の同等な5つの定義のうち4つがこの一般的な設定でも同等であるが、有限辺の基本多面体を持つという条件はもはやそれらと同等ではないことを証明した。

1990 年代の Bowditch の研究の多くは、語双曲群の無限遠における境界の研究に関するものであった。彼は、片端語双曲群の境界にはグローバルなカットポイントがないとするカットポイント予想を証明した。Bowditch は、こ​​の予想を、両端部分群[ ^11] (つまり、有限指数の無限巡回部分群を含む部分群) で分割されない片端双曲群の主なケースと、「強くアクセス可能な」片端双曲群^[12]について初めて証明した。この予想の一般的なケースは、その後まもなく G. ​​Ananda Swarup ^[13]によって完成され、Swarup は Bowditch の研究を次のように特徴づけた。「この方向で最も重要な進歩は、Brian Bowditch による一連の素晴らしい論文 ([4]-[7]) によって達成されました。私たちは彼の研究から多くのことを学びました。」スワルプの論文のすぐ後に、ボウディッチは一般的な場合のカットポイント予想の代替証明を提供した。^[14]ボウディッチの研究は、単語双曲群の境界への 作用からさまざまな離散的な木のような構造を抽出することに依存していた。

Bowditch はまた、（いくつかの例外を除いて）片端語双曲群Gの境界が局所カットポイントを持つための必要十分条件は、G が、実質的に無限巡回群上の融合自由積またはHNN 拡大として本質的分割を許容する場合であることも証明しました。これにより、Bowditch は、Zlil Selaの元のJSJ 分解理論^{[ 16]}よりも標準的でより一般的な（特に、非自明な捩れを持つ群をカバーしていたため）語双曲群の JSJ 分解理論を生み出すことができました。Bowditchの研究の結果の 1 つは、片端語双曲群（いくつかの例外を除く）の場合、実質的に巡回部分群上の非自明な本質的分割を持つことは、準等長不変量であるということです。

ボウディッチはまた、語双曲群の位相的特徴付けを与え、ミハイル・グロモフが提唱した予想を解決した。すなわち、ボウディッチは、群Gが語双曲的であるためには、G が^{「一様収束群」として}同相写像による完全計量可能コンパクトMへの作用を許容すること、すなわち、 Mとは異なる三つ組の集合に対するGの対角作用が適切に不連続かつ共コンパクトであることが必要であることを証明した [17]。さらに、その場合、M はGの境界∂ GにG同変同相である。後に、この研究を基にして、ボウディッチの博士課程の学生ヤマンが相対双曲群の位相的特徴付けを与えた^[18]。

2000 年代の Bowditch の研究の多くは、曲線複体の研究に関するもので、3 次元多様体、写像類群、クライン群へのさまざまな応用があります。有限型曲面Sの曲線複体 C ( S ) は、1970 年代後半に Harvey によって導入され、^{[19]、頂点の集合として}S上の必須単純閉曲線の自由ホモトピー類の集合を持ち、対応する曲線が互いに素に実現できる場合、いくつかの異なる頂点が単体を張ることになります。曲線複体は、タイヒミュラー空間、写像類群、クライン群の幾何学の研究における基本的なツールであることがわかりました。1999 年の論文^[20]で、 Howard MasurとYair Minsky は、有限型有向曲面Sに対して曲線複体C ( S ) がグロモフ双曲的であることを証明しました。この結果は、ヤイール・ミンスキー、ハワード・マズア、ジェフリー・ブロック、リチャード・カナリーの共同研究に基づくサーストンの終結積層予想のその後の証明の重要な要素となった。^[21] 2006年にボウディッチは曲線複体の双曲性に関する別の証明^[22]を与えた。ボウディッチの証明はより組合せ論的であり、マズア＝ミンスキーの当初の議論とはかなり異なっている。ボウディッチの結果はまた、曲面の複雑さが対数である曲線複体の双曲性定数の推定値を提供し、また交差数に関して曲線複体の測地線の記述を与える。ボウディッチのその後の2008年の論文^[23]はこれらのアイデアをさらに推し進め、曲線複体のいわゆる「タイト測地線」に関する新しい定量的な有限性の結果を得た。これは、曲線複体が局所的に有限ではないという事実に対抗するためにマズアとミンスキーが導入した概念である。応用として、ボウディッチは、複雑さの小さい表面のいくつかの例外を除いて、写像類群Mod( S )のC ( S )への作用は「非円筒形」であり、 C ( S )上のMod( S )の擬似アノソフ要素の漸近的並進長は分母が有界な有理数であることを証明した。

2007年のボウディッチの論文^[2]は、ジョン・コンウェイの天使問題の肯定的な解を提示している。^[24]ボウディッチは^{[2]、 4人の天使が勝利戦略を持ち、「天使ゲーム」で悪魔を回避できることを証明した。天使問題の独立した解は、ほぼ同時期にアンドラーシュ・マテ[25]とオッドヴァル・クロスター[26]}によって提示された。

• Bowditch, Brian H. (1995)、「負の曲率を持つ幾何学的有限性」、Duke Mathematical Journal、77 : 229–274、doi :10.1215/S0012-7094-95-07709-6、MR  1317633
• ボウディッチ、ブライアン H. (1998)、「双曲群の位相的特徴づけ」、アメリカ数学会誌、11 (3): 643–667、doi : 10.1090/S0894-0347-98-00264-1、MR  1602069
• Bowditch, Brian H. (1998)、「双曲群のカットポイントと標準分割」、Acta Mathematica、180 (2): 145–186、doi : 10.1007/BF02392898、MR  1638764
• Bowditch, Brian H. (2006)、「交差数と曲線複体の双曲性」、Crelle's Journal、2006 (598): 105–129、doi :10.1515/CRELLE.2006.070、MR  2270568、S2CID  10831464
• ボウディッチ、ブライアン H. (2007)、「平面におけるエンジェルゲーム」、組合せ論、確率および計算、16 (3): 345–362、doi :10.1017/S0963548306008297、MR  2312431、S2CID  14682115
• Bowditch, Brian H. (2008)、「曲線複体におけるタイト測地線」、Inventiones Mathematicae、171 (2): 281–300、doi :10.1007/s00222-007-0081-y、MR  2367021、S2CID  18808639

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• ウォーリック大学のブライアン H. ボウディッチのホームページ