終了（トポロジー）

数学の一分野である位相幾何学では、位相空間の端は、大まかに言えば、空間の「理想的な境界」の接続された要素です。つまり、各端は、空間内で無限に移動する位相的に異なる方法を表します。各端に点を追加すると、元の空間のコンパクト化が得られ、端のコンパクト化と呼ばれます。

位相空間の端の概念は、ハンス・フロイデンタール (1931) によって導入されました。

を位相空間とし 、${\displaystyle X}$

${\displaystyle K_{1}\subseteq K_{2}\subseteq K_{3}\subseteq \cdots }$

は、その内部がをカバーするコンパクト部分集合の昇順シーケンスです。すると、すべてのシーケンスに対して 1つの端点が存在します。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle U_{1}\supseteq U_{2}\supseteq U_{3}\supseteq \cdots ,}$

ここで、それぞれはの連結成分です。端の数はコンパクト セットの特定のシーケンスに依存しません。任意の 2 つのシーケンスに関連付けられた端の集合の間には自然な一対一の関係があります。 ${\displaystyle U_{n}}$${\displaystyle X\setminus K_{n}}$${\displaystyle (K_{i})}$

この定義を用いると、端の近傍は、ある に対してとなる開集合である。このような近傍は、端のコンパクト化における対応する無限遠点の近傍を表す(この「コンパクト化」は常にコンパクトであるとは限らず、位相空間X は連結かつ局所連結でなければならない)。 ${\displaystyle (U_{i})}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V\supset U_{n}}$${\displaystyle n}$

上記の端の定義は、コンパクト集合による枯渇を持つ空間（つまり、 は半コンパクトでなければならない）にのみ適用されます。ただし、次のように一般化できます。 を任意の位相空間とし、のコンパクト部分集合と包含写像の直接系を考えます。対応する逆系 が存在し、 は空間 の連結成分の集合を表し、各包含写像は関数 を誘導します。すると、の端の集合は、この逆系の 逆極限として定義されます。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{K\}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{\pi _{0}(X\setminus K)\}}$${\displaystyle \pi_{0}(Y)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y\to Z}$${\displaystyle \pi _{0}(Y)\to \pi _{0}(Z)}$${\displaystyle X}$

この定義によれば、端の集合は、位相空間のカテゴリ（射は適切な連続写像のみである）から集合のカテゴリへの関手です。明示的に、が適切な写像であり、が の端である場合（つまり、族の各要素が の連結成分であり、包含によって誘導される写像と互換性がある場合）、 は族であり、 はYのコンパクト部分集合上に範囲があり、 はからへの によって誘導される写像です。 の適切性は、のそれぞれがにおいてコンパクトであることを保証するために使用されます。 ${\displaystyle \varphi :X\to Y}$${\displaystyle x=(x_{K})_{K}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{K}}$${\displaystyle X\setminus K}$${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle \varphi _{*}(x_{\varphi ^{-1}(K')})}$${\displaystyle K'}$${\displaystyle \varphi_{*}}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \pi _{0}(X\setminus \varphi ^{-1}(K'))}$${\displaystyle \pi _{0}(Y\setminus K')}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \varphi ^{-1}(K)}$${\displaystyle X}$

上記の元の定義は、コンパクト部分集合の直接システムが共終シーケンスを持つ特殊なケースを表しています。

• 任意のコンパクト空間の端の集合は空集合です。
• 実数直線に は2 つの端点があります。たとえば、K _{n を}閉区間[− n ,  n ]とすると、2 つの端点は開集合の列U _n  = ( n , ∞) とV _n  = (−∞, − n ) になります。これらの端点は通常、それぞれ「無限大」と「マイナス無限大」と呼ばれます。${\displaystyle \mathbb {R} }$
• n > 1の場合 、ユークリッド空間には端が 1 つしかありません。これは、任意のコンパクト セットKに対して、 には無限の要素が 1 つしかないためです。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\smallsetminus K}$
• より一般的には、M が境界を持つコンパクト多様体である場合、 Mの内部の端の数はMの境界の連結成分の数に等しくなります。
• の原点から発するn 本の異なる光線の和集合にはn 本の端点があります。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• 無限完全二分木には、根から始まる無数に異なる降順パスに対応する無数の端があります。(これは、K _{n を}深さnの完全二分木とすることで確認できます。) これらの端は、無限木の「葉」と考えることができます。端のコンパクト化では、端の集合はカントール集合のトポロジを持ちます。

無限 グラフ理論では、端はグラフ内の半無限パスの同値類として、または頂点の有限集合をその補集合の接続成分にマッピングする関数である避難所として、若干異なる方法で定義されます。ただし、局所有限グラフ（各頂点の次数が有限であるグラフ）の場合、このように定義された端は、グラフから定義された位相空間の端と 1 対 1 で対応します (Diestel & Kühn 2003)。

有限生成群の端は、対応するケイリーグラフの端として定義されます。この定義は、生成集合の選択には影響されません。すべての有限生成無限群には、1、2、または無限個の端があり、群の端に関するスタリングの定理は、複数の端を持つ群の分解を提供します。

パス連結 CW 複体の場合、端点は、 Xの光線と呼ばれる、適切な写像のホモトピー類として特徴付けることができます。より正確には、これらの写像の任意の 2 つの部分集合への制限の間に適切なホモトピーが存在する場合、それらは同値であるとされ、適切な光線の同値類を定義します。この集合は、Xの端点と呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\to X}$${\displaystyle \mathbb {N} }$

• ディーステル、ラインハルト;キューン、ダニエラ(2003)、「グラフのグラフ理論的終点と位相的終点」、Journal of Combinatorial Theory、シリーズ B、87 (1): 197–206、doi : 10.1016/S0095-8956(02)00034-5、MR  1967888。
• Freudenthal、Hans (1931)、「Über die Enden topologischer Räume und Gruppen」、Mathematische Zeitschrift、33、Springer Berlin / Heidelberg: 692–713、doi :10.1007/BF01174375、ISSN  0025-5874、S2CID  120965216、Zbl  0002.05603
• Ross Geoghegan,群論における位相的手法, GTM-243 (2008), Springer ISBN 978-0-387-74611-1 . 
• スコット、ピーター; ウォール、テリー; ウォール、 CTC (1979)。「群論における位相的方法」。ホモロジー群論。pp. 137–204。doi :10.1017/ CBO9781107325449.007。ISBN 9781107325449。