トンプソングループ

数学において、トンプソン群（トンプソンの群、バガボンド群、カメレオン群とも呼ばれる）は、1965年にリチャード・トンプソンがフォン・ノイマン予想に対する反例として未発表の手書きのメモで導入した3つの群であり、一般的に と表記される。3つのうち、Fが最も広く研究されており、トンプソン群またはトンプソンの群と呼ばれることもある。 ${\displaystyle F\subseteq T\subseteq V}$

トンプソン群、特にF は、群論における多くの一般的な予想に対する反例となるような一連の珍しい特性を持っています。3 つのトンプソン群はすべて無限ですが有限に提示されます。群TとV は、無限ですが有限に提示される単純群の (まれな) 例です。群Fは単純ではありませんが、その導来部分群[ F , F ] は単純であり、 F をその導来部分群で割った商は階数2の自由アーベル群です。F は完全に順序付けられ、指数関数的に増加し、階数 2 の自由群と同型な部分群を含みません。

Fは従順ではないと予想されており、したがって、有限提示群に対する長年信じられてきたが最近反証された フォン・ノイマン予想に対するさらなる反例となります。Fは基本的従順ではないことが知られています。

ヒグマン (1974) は、特別なケースとして トンプソンの群Vを含む、有限に提示された単純群の無限族を導入しました。

Fの有限表現は次の式で与えられます。

${\displaystyle \langle A,B\mid \ [AB^{-1},A^{-1}BA]=[AB^{-1},A^{-2}BA^{2}]=\ mathrm {id} \rangle }$

ここで[ x , y ]は通常の群論交換子、xyx ⁻¹ y ⁻¹です。

F は2 つの生成元と 2 つの関係を持つ有限表現を持ちますが、最も簡単かつ直感的に記述できるのは無限表現です。

${\displaystyle \langle x_{0},x_{1},x_{2},\dots \ \mid \ x_{k}^{-1}x_{n}x_{k}=x_{n+1}\ \mathrm {for} \ k<n\rangle .}$

2つの表現は、n >0の場合、 x ₀ = A、x _n = A ^{1− n} BA ^{n −1}で関連付けられます。

群Fには、順序付き根付き二分木上の演算による実現値、および向きを保存し、微分不可能な点が二項有理数であり、傾きがすべて 2 の累乗である単位区間の区分線型同相写像の部分群としての実現値もあります。

群F は、単位区間の 2 つの端点を識別することによって単位円に作用するものと見なすこともできます。この場合、群Tは、同相写像x → x +1/2 mod 1 をFに追加することによって得られる単位円の自己同型群です。二分木では、これはルートの下の 2 つのツリーを交換することに対応します。群Vは、半開区間 [0,1/2) の点を固定し、[1/2,3/4) と [3/4,1) を明らかな方法で交換する不連続写像を T に追加することによって得られます。二分木では、これはルートの右側の子孫 (存在する場合) の下の 2 つのツリーを交換することに対応します。

トンプソン群Fは、1 つの生成元上の自由ヨンソン-タルスキ代数の順序保存自己同型群です。

Fは従属的ではないという Thompson の予想は、R. Geoghegan によってさらに普及しました。以下の参考文献で引用されている Cannon–Floyd–Parry の論文も参照してください。この予想は現在未解決です。E. Shavgulidze ^{[1] は2009 年に}Fは従属的であることを証明したと主張する論文を発表しましたが、 MRレビューで説明されているように、誤りが見つかりました。

F は基本的従順ではないことが知られています。Cannon–Floyd–Parry の定理 4.10 を参照してください。

Fが従順でない場合、それは有限提示群に対する現在は反証されているフォン・ノイマン予想 に対する別の反例になります。フォン・ノイマン予想は、有限提示群が従順であるためには、階数 2 の自由群のコピーが含まれていないことを述べています。

群F は 1970 年代に少なくとも 2 回位相学者によって再発見されました。ずっと後になってから出版されましたが、当時はプレプリントとして流通していた論文で、P. Freydと A. Heller ^[2]は、F上のシフト マップがEilenberg–MacLane 空間K(F,1)上に分割不可能なホモトピー冪等性を誘導し、これが興味深い意味で普遍的であることを示しました。これは Geoghegan の本で詳しく説明されています (以下の参考文献を参照)。それとは独立して、J. Dydak と P. Minc ^{[3] は}形状理論の問題に関連して、あまり知られていない Fのモデルを作成しました。

1979 年に、R. Geoghegan はFについて 4 つの予想を立てました: (1) F はFP _∞型である、(2) Fの無限遠におけるホモトピー群はすべて自明である、(3) Fには非可換自由部分群がない、(4) Fは非従順である。(1) は、KS Brown と R. Geoghegan によって強い形式で証明されました。つまり、正の次元ごとに 2 つのセルを持つ K(F,1) が存在するということです。^[4] (2)は、コホモロジー H*(F,ZF) が自明であることが示されたという意味で、Brown と Geoghegan ^{[5]によっても証明されました。M. Mihalik [6]の以前の定理は}Fが無限遠で単連結であることを意味し、述べられた結果は無限遠でのすべてのホモロジーが消えることを意味するので、ホモトピー群に関する主張は従います。(3) は、M. Brin と C. Squier によって証明されました。^[7]（4）の状況については上で議論した。

F がファレル・ジョーンズ予想を満たすかどうかは不明です。Fが強いバス予想を満たすことは簡単に示されているものの、 Fのホワイトヘッド群(ホワイトヘッド捩れを参照) やFの射影類群(ウォールの有限性障害を参照) が自明であるかどうかも不明です。

D.ファーリー^[8]は、Fが局所有限CAT(0)立方体複体（必然的に無限次元）上のデッキ変換として作用することを示した。その結果、Fはバウム・コネス予想を満たす。

• ヒグマングループ
• 非可換暗号

• Cannon, ジョンソン州;フロイド, ウィスコンシン州; Parry, WR (1996)、「Richard Thompson のグループに関する紹介ノート」(PDF)、L'Enseignement Mathématique、IIe Série、42 (3): 215–256、ISSN  0013-8584、MR  1426438
• Cannon , JW; Floyd, WJ (2011 年 9 月)。「Thompson のグループとは何か?」(PDF)。アメリカ数学会の通知。58 (8): 1112–1113。ISSN 0002-9920  。2011年12 月 27 日閲覧。
• ジオゲガン、ロス (2008)、「群論における位相的方法」、Graduate Texts in Mathematics、vol. 243、Springer Verlag、arXiv : math/0601683、doi :10.1142/S0129167X07004072、ISBN 978-0-387-74611-1、MR  2325352
• ヒグマン、グラハム(1974)、「有限に提示された無限単純群」、純粋数学ノート、第 8 巻、純粋数学部、数学部、IAS オーストラリア国立大学、キャンベラ、ISBN 978-0-7081-0300-5、MR  0376874