ファン・カンペン図

幾何学的群論の数学の分野において、ファン・カンペン図（リンドン・ファン・カンペン図とも呼ばれる^{[1] [2] [3] ）は、}群の表現によって与えられた群の生成元の特定の単語がその群の 単位元を表すという事実を表すために使用される平面図です。

ファン・カンペン図の概念は、1933年にエグバート・ファン・カンペンによって導入されました。 ^[4]この論文は、American Journal of Mathematicsの同じ号に、現在ザイフェルト-ファン・カンペンの定理として知られるものを証明したファン・カンペンの別の論文とともに掲載されました。^[5]現在ファン・カンペンの補題として知られるファン・カンペン図に関する論文の主な結果は、ザイフェルト-ファン・カンペンの定理を群の表示複体に適用することで演繹できます。^[6]しかし、当時ファン・カンペンはこれに気付かず、この事実はずっと後になってから明確にされました（例えば^{[7]を参照）。ファン・カンペン図は、1960年代に}小相殺理論が登場するまで、約30年間群論で十分に活用されていないツールのままでしたが、この理論ではファン・カンペン図が中心的な役割を果たします。^{[8]現在、ファン・カンペン図は}幾何群論の標準的なツールとなっている。特に、群内の等周関数や、等直径関数、充填長関数などの様々な一般化の研究に使用されている。

以下の定義と表記は主にリンドンとシュップに従っています。^[9]

させて

${\displaystyle G=\langle A|R\,\rangle }$   （†）

を群表現とします。ここで、すべてのr ∈ Rは自由群F ( A )の巡回簡約語です。アルファベットAと定義関係の集合R は有限であると仮定されることが多く、これは有限群表現に対応しますが、この仮定はファン・カンペン図の一般的な定義には必要ありません。R ∗_をRの対称閉包とします。つまり、Rの元とその逆の すべての巡回置換を追加することでRからR _{∗ を}取得します。

プレゼンテーション(†)上のファン・カンペン図は、特定の埋め込みで与えられ、次の追加データを持つ、次の追加プロパティを満たす 平面有限セル複体です。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$${\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,}$

1. 複合体は接続されており、単純に接続されています。${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$
2. の各辺（1セル）には矢印と文字a ∈ Aのラベルが付けられます。${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$
3. の位相境界に属するいくつかの頂点（ゼロセル）がベース頂点として指定されます。${\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,}$
4. の各領域（2セル）について、その領域の境界サイクル上のすべての頂点について、および2つの方向（時計回りまたは反時計回り）のそれぞれについて、その頂点からその方向に読み取られた領域の境界サイクルのラベルは、R _∗に属するF ( A ) 内の自由に簡約された単語です。${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

したがって、 の 1 スケルトンはΓに埋め込まれた有限連結平面グラフであり、 の 2 セルはまさにこのグラフの境界付き補完領域です。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\,}$${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$

R _∗の選択により、条件 4 は、 の各領域に対して、 その領域の境界頂点と方向 (時計回りまたは反時計回り) の選択が存在し、その頂点からその方向に読み取られた領域の境界ラベルが自由に縮小され、 Rに属することを要求するのと同等になります。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$

ファン・カンペン図には境界サイクルもあり、これはΓグラフ内の辺パスで、の基底頂点で始まり、 で終わる、の非有界補完領域の境界に沿って時計回り方向に 1周することに対応します。境界サイクルのラベルは、アルファベットA  ∪  A ⁻¹ (必ずしも自由に簡約されるわけではありません) の単語wであり、の境界ラベルと呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$${\displaystyle \partial {\mathcal {D}}\,}$${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$

• が位相ディスクである場合、つまり のすべての辺がのいずれかの領域の境界エッジであり、 にカット頂点がない場合、ファン カンペン図はディスク図と呼ばれます。${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$
• ファン・カンペン図が非簡約であるとは、に簡約ペア、つまり の異なる領域のペアが存在し、それらの境界サイクルが共通の辺を共有し、その辺から始めて、一方の領域については時計回りに、もう一方の領域については反時計回りに読むと、A  ∪  A ⁻¹内の単語として等しい場合です。このような領域のペアが存在しない場合は、 は簡約されていると呼ばれます。${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$
• の領域（2 つのセル）の数はの面積と呼ばれます。${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$${\displaystyle {\rm {面積}}({\mathcal {D}})\,}$

一般に、ファン カンペン図は、1 つ以上のディスク コンポーネントが (おそらく縮退した) 弧で結合された「サボテンのような」構造を持ちます (下の図を参照)。

次の図は、階数2の自由アーベル群のファン・カンペン図の例を示している。

${\displaystyle G=\langle a,b|aba^{-1}b^{-1}\rangle .}$

この図の境界ラベルは、

${\displaystyle w=b^{-1}b^{3}a^{-1}b^{-2}ab^{-1}ba^{-1}ab^{-1}ba^{-1}a.}$

この図の面積は 8 です。

この理論の重要な基本結果は、いわゆるヴァン・カンペンの補題^[9]であり、それは次のように述べている。

1. 境界ラベルwがアルファベットA  ∪  A ⁻¹の単語（必ずしも自由に簡約される必要はない）である表現 (†) 上の Van Kampen 図があるとします。このとき、Gではw =1です。${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$
2. w をアルファベットA  ∪  A ^{−1の自由に簡約された単語とし、} Gにおいてw =1となるものとする。このとき、表現 (†) 上の簡約された Van Kampen 図が存在し、その境界ラベルは自由に簡約され、 wに等しい。${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$

まず、元w∈F(A)に対して、 wがRのF ( A )における正規閉包に属する場合、すなわちwが次のように表される場合 に限り、 G においてw  = 1となることに注意する。

${\displaystyle w=u_{1}s_{1}u_{1}^{-1}\cdots u_{n}s_{n}u_{n}^{-1}{\text{ in }}F(A),}$   （♠）

ただしn  ≥ 0であり、 s _i  ∈  R _∗（i  = 1, ...,  n）である。

ファン・カンペンの補題の第1部は、 の領域上での帰納法によって証明される。帰納的ステップは、 の境界領域の1つを「剥がして」境界サイクルwを持つファン・カンペン図を得ることであり、 F ( A ) において次式が成り立つことを観察する。${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'\,}$

${\displaystyle w=usu^{-1}w',\,}$

ここで、s∈R _∗は、から取得するために削除された領域の境界サイクルです。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}'\,}$${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$

ファン・カンペンの補題のパート 2 の証明は、より複雑です。まず、wが自由に簡約され、Gでw  = 1 である場合、境界ラベルw ₀を持つファン・カンペン図が存在し、 w  =  w _0がF ( A )で成立することが簡単にわかります ( w _{0 を}自由に簡約した後でもかまいません)。つまり、上記の形式 (♠) のwの表現を考えます。次に、を、 u _iでラベル付けされた「茎」とs _iでラベル付けされた「キャンディー」(2 セル) を持つn 個の「ロリポップ」のくさびとします。すると、の境界ラベルは、 w  =  w _0がF ( A )で成立する単語w _{0になります。ただし、単語}w ₀が自由に簡約されない可能性もあります。次に、「折りたたみ」動作を実行して、境界ラベルをどんどん自由に簡約し、シーケンス内の各図の境界ラベルが各ステップでF ( A )のwに等しいことを確認しながら、ファン・カンペン図のシーケンスを取得します。このシーケンスは有限数のステップで Van Kampen 図で終了し、その境界ラベルは自由に縮小され、したがって単語としてwに等しくなります。図は縮小されない場合があります。その場合は、境界ラベルに影響を与えずに、簡単な手術操作でこの図から縮小ペアを削除できます。最終的に、境界サイクルが自由に縮小され、wに等しい縮小 Van Kampen 図が生成されます。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{0}\,}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{0}\,}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{0}\,}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{0},{\mathcal {D}}_{1},{\mathcal {D}}_{2},\dots \,}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{k}\,}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{k}\,}$${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$

さらに、上記の証明は、ファン・カンペンの補題の結論が次のように強化できることを示している。^[9]パート1 は、境界ラベルがwで面積がnのファン・カンペン図式である場合、 R _∗の元のn個の共役の積としてwの表現 (♠) が存在すると強化できる。パート 2 は、w が自由に簡約され、 R _∗の元のn個の共役の積としてF ( A ) の表現 (♠) を許容する場合、境界ラベルがwで面積が最大でnの簡約ファン・カンペン図式が存在すると強化できる。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$

w  ∈  F ( A ) がGにおいてw  = 1となるようなものとしましょう。このとき、 Area( w ) で表されるwの面積は、境界ラベルがw であるすべての Van Kampen 図の面積の最小値として定義されます(Van Kampen の補題によれば、そのような図が少なくとも 1 つ存在します)。

wの面積は、定義関係子のn個の共役のF ( A )における積としてwを表現する表現(♠)が存在するような最小のn ≥ 0として同値に定義できることを示すことができる。

非負単調非減少関数f ( n ) が表現の等周関数(†)であるとは、 Gにおいて w  = 1となる任意の簡約語wに対して、

${\displaystyle {\rm {面積}}(w)\leq f(|w|),}$

ここで、 | w | は単語wの長さです。

ここで、(†)のアルファベットAが有限であると仮定する。すると、 (†)のデーン関数は次のように定義される。

${\displaystyle {\rm {Dehn}}(n)=\max\{{\rm {Area}}(w):w=1{\text{ in }}G,|w|\leq n,w{\text{ 自由に縮小}}.\}}$

Dehn( n )は(†)に対して等周関数であることは容易にわかります。さらに、 f ( n )が(†)に対して他の等周関数である場合、n≥0の任意の値に対してDehn( n ) ≤f (  n )が成り立ちます 。

w  ∈  F ( A ) を、 Gにおいてw  = 1となるような自由に簡約された語とする。境界ラベルwを持つファン・カンペン図は、極小ファン・カンペン図がリーマン幾何学における極小面 の離散類似体である場合、極小と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,}$${\displaystyle {\rm {面積}}({\mathcal {D}})={\rm {面積}}(w).}$

• ファン・カンペン図には、平面、連結、単連結（つまり円板とホモトピー的に同値）ではなく、図が他の面上に描かれるか、他の面とホモトピー的に同値になるような一般化がいくつかあります。面の幾何学と特定の群論的概念の間には密接な関係があることがわかります。これらのうち特に重要な概念は、環状ファン・カンペン図の概念で、これは環状とホモトピー的に同値です。環状図は共役図とも呼ばれ、群の表現によって与えられた群の共役を表すために使用できます。^[9] また、球面ファン・カンペン図は、群論的非球面性のいくつかのバージョンやホワイトヘッドの非球面性予想と関連している。^[10]トーラス上のファン・カンペン図は可換要素に関連し、実射影平面上の図は群の反転に関連し、クラインの瓶上の図は自身の逆元に共役な要素に関連している。
• ファン・カンペン図は、1960年代から1970年代にかけてグリーンリンガー、リンドン、シュップによって開発された小相殺理論の中心的なオブジェクトです。 ^{[9] [11]}小相殺理論は、定義関係が互いに「小さな重なり」を持つグループ表示を扱います。この条件は、小相殺表示上の縮小されたファン・カンペン図の幾何学に反映され、特定の種類の非正曲面または負のcn曲面の挙動を強制します。この挙動は、特にワードと共役の問題に関して、小相殺群の代数的およびアルゴリズム的特性に関する有用な情報をもたらします。小相殺理論は、1980年代後半に独自の数学領域として登場し、現在でも幾何学的群論の重要な前身の1つであり、現在でも幾何学的群論の重要な部分となっています。
• ファン・カンペン図は、 1987年にグロモフが導入した語双曲群の理論において重要な役割を果たしている。 ^[12]特に、有限提示群が語双曲群であるためには、線形等周不等式を満たす必要がある。さらに、有限提示群の等周関数の可能なスペクトルには等周ギャップがある。つまり、有限提示群は双曲群であり、線形等周不等式を満たすか、そうでなければデーン関数が少なくとも2次関数である。^{[13] [14]}
• 有限に提示された群の等周関数の研究は、大きな進歩を遂げてきた幾何学的群論の重要な一般テーマとなっている。多くの研究が、「分数」デーン関数（つまり、デーン関数が非整数次多項式である）を持つ群の構築に費やされてきた。 ^[15] Rips、Ol'shanskii、Birget、Sapirの研究^{[16] [17]は、デーン関数と}チューリングマシンの時間計算量関数の関係を調査し、任意の「合理的な」時間関数が（適切な同値性まで）有限に提示された群のデーン関数として実現できることを示した。
• ファン・カンペン図の様々な層別化および相対化バージョンもこの分野で研究されてきた。特に、オルシャンスキーが開発した小さな相殺理論の層別バージョンは、タルスキモンスター[ ^18]などの様々な群論的「モンスター」の構築や、大きな指数の周期群に対するバーンサイド問題の幾何学的解[19]に^{つながった。 [20]ファン・カンペン図の相対バージョン（部分群の集合に関するもの）は、オシンが}相対双曲群の理論に対する等周関数アプローチを開発するために使用した。^[21]

• 幾何群論
• グループのプレゼンテーション
• ザイフェルト・ファン・カンペンの定理

• アレクサンダー・ユウ・オルシャンスキー著「群の関係を定義する幾何学」。1989年のロシア語原著からユウ・A・バクトゥリン訳。『数学とその応用 (ソビエト版)』70。クルワー・アカデミック・パブリッシャーズ・グループ、ドルドレヒト、1991 年。ISBN 0-7923-1394-1 
• Roger C. LyndonおよびPaul E. Schupp。組合せ群論。Springer-Verlag、ニューヨーク、2001 年。「Classics in Mathematics」シリーズ、1977 年版の再版。ISBN 978-3-540-41158-1 ; Ch. V. Small Cancellation Theory。pp. 235–294。 

• デビッド・A・ジャクソンのファイルからのヴァン・カンペンの図