グループのグラフ

幾何学的群論において、群のグラフとは、グラフの頂点と辺によって添え字付けられた群の集合と、辺群から頂点群への単射の族からなる対象である。各有限連結群グラフには、基本群と呼ばれる一意の群が標準的に関連付けられている。基本群は木に対して向きを保存する作用を許容し、商グラフと安定化部分群から元の群グラフを復元することができる。この理論は一般にバス・セール理論と呼ばれ、ハイマン・バスとジャン＝ピエール・セールの研究によるものである。

グラフY上の群のグラフとは、 Yの各頂点xに群G _xを割り当て、 Yの各辺yに群G _yを割り当てること、およびG _yをその両端の頂点に割り当てられた群に写像する単射φ _{y ,0}とφ _{y ,1 のことである。}

Yの全域木をTとし、基本群Γを、 Yの各辺の頂点群G _xと要素yによって生成される群で、以下の関係を満たすものと定義する。

• y = y ^−1は、 y が逆向きのエッジy場合
• y φ _{y ,0} ( x ) y ⁻¹ = φ _{y ,1} ( x )すべてのx ∈ G _yに対して。
• y = 1 は、 yがTの辺である場合。

この定義はTの選択に依存しない。

Higgins (1976)が示したように、群のグラフの基本群を定義する利点は、それが基点や木とは独立して定義されることです。また、基本群の要素の優れた正規形も証明されています。これには、融合を伴う自由積とHNN 拡張( Bass 1993 )の正規形定理が含まれます。

Γ を全域木Tに対応する基本群とする。すべての頂点xと辺yに対して、G _xとG _{y は}Γにおけるそれらの像と同一視できる。頂点と辺がそれぞれΓ/ G _xとΓ/ G _yのすべての剰余類空間の非交和であるグラフを定義することができる。このグラフは、普遍被覆木と呼ばれる木であり、Γ が作用する。このグラフは、基本領域としてグラフYを許容する。基本領域上の安定化部分群によって与えられる群のグラフは、元の群のグラフに対応する。

• 1つの辺と2つの頂点を持つグラフ上の群のグラフは、融合を伴う自由積に対応する。
• ループを持つ単一頂点上のグループのグラフは、HNN拡張に対応します。

群のグラフの最も単純な一般化は、2 次元群の複体である。これらは、CAT(0) 空間の構造を持つ2 次元単体複体上の離散群の適切な不連続な共コンパクト作用から生じるオービフォールドに基づいてモデル化されている。単体複体の商は、頂点、辺、三角形に有限の安定化群が付属し、単体のすべての包含に対して単射が存在する。群の複体は、 CAT(0) 単体複体の商として生じる場合、展開可能であると言われる。展開可能性は、群の複体に対する非正曲率条件であり、頂点のリンクに現れるすべての回路の長さが少なくとも 6 であることを確認することで局所的に検証できる。このような群の複体は、もともと2 次元ブルハット-ティッツ ビルディングの理論で現れたものであり、その一般的な定義と継続的な研究は、グロモフのアイデアに触発されている。

• バス＝セール理論
• 直角アルティングループ

• Bass, Hyman (1993)、「群のグラフの被覆理論」、Journal of Pure and Applied Algebra、89 ( 1–2 ): 3–47、doi : 10.1016/0022-4049(93)90085-8、MR 1239551 。
• マーティン・R・ブリドソン; Haefliger、André (1999)、非正曲率の計量空間、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [数学科学の基本原理]、vol.  319、ベルリン: Springer-Verlag、ISBN 3-540-64324-9MR 1744486​ 。
• ディックス、ウォーレン、ダンウッディ、MJ (1989)、「グラフに作用する群」、ケンブリッジ高等数学研究、第 17巻、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-23033-0MR 1001965​ 。
• Haefliger、André (1990)、「Orbi-espaces [Orbispaces]」、Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov (ベルン、1988)、Progress in Mathematics (フランス語)、vol.  83、マサチューセッツ州ボストン: ビルクホイザー、203 ～ 213 ページ、ISBN  0-8176-3508-4MR 1086659​ 
• Higgins, PJ (1976)、「群のグラフの基本群圏」、Journal of the London Mathematical Society、第2シリーズ、13 (1): 145–149、doi : 10.1112/jlms/s2-13.1.145、MR 0401927 
• Scott, Peter ; Wall, Terry (1979)、「群論における位相的方法」、ホモロジー群論、ロンドン数学会講義ノートシリーズ、第 36巻、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、137–203頁、ISBN  0-521-22729-1MR 0564422​ 。
• Serre、Jean-Pierre (2003)、Trees、Springer Monographs in Mathematics、ベルリン: Springer-Verlag、ISBN 3-540-44237-5MR 1954121​ ジョン・スティルウェルによる翻訳。「arbres, amalgames, SL _{2 」より。}ハイマン・バスとの共著、第3版、アステリスク46（1983年）。第1章5節を参照。