線路（数学）

数学の位相幾何学の分野では、線路は表面上に埋め込まれた曲線の族であり、次の条件を満たします。

1. 曲線は、スイッチと呼ばれる有限の頂点の集合で交わります。
2. スイッチから離れた部分の曲線は滑らかで、互いに接触しません。
3. 各スイッチでは、3 つの曲線が同じ接線で交わり、2 つの曲線が一方の方向から入り、1 つの曲線がもう一方の方向から入ります。

数学における線路の主な応用は、面の積層、つまり面の閉じた部分集合を滑らかな曲線の和集合に分割することを研究することです。線路はグラフの描画にも使用されています。

表面の積層とは、表面の閉じたサブセットを滑らかな曲線に分割することです。線路の研究は、もともと次のような観察から始まりました。表面上の一般的な積層を近視の人が遠くから見ると、線路のように見えるでしょう。

線路の分岐器は、図に示すように、積層内の 2 つの平行曲線群が結合して 1 つの曲線群になる点をモデル化します。分岐器は 1 つの点で終了して交差する 3 つの曲線で構成されていますが、積層内の曲線には端点がなく、互いに交差しません。

線路を積層構造に適用する場合、線路の曲線間の表面の接続コンポーネントによって形成できる形状を制約することが重要になることがよくあります。たとえば、Penner と Harer は、各コンポーネントを境界に沿って自身のコピーに接着して尖端のある滑らかな表面を形成するときに、負の尖端オイラー特性を持つことを要求します。

重みを持つ線路、または重み付き線路または測定線路は、各分岐に割り当てられた重みと呼ばれる負でない実数を持つ線路で構成されます。重みを使用して、ラミネーションからの平行な曲線族のどの曲線がスイッチのどちら側に分岐するかをモデル化できます。重みは次のスイッチ条件を満たす必要があります。スイッチの入力分岐に割り当てられる重みは、そのスイッチから出力される分岐に割り当てられる重みの合計と等しくなければなりません。重みは、搬送の概念と密接に関連しています。線路の近傍が存在し、ラミネーションのすべての葉が近傍に含まれ、各垂直繊維と横方向に交差する場合、線路はラミネーションを搬送していると言われます。各垂直繊維が何らかの葉と非自明な交差を持つ場合、ラミネーションは線路によって 完全に搬送されます。

• Penner, RC、Hare, JL (1992) 共著。『線路の組合せ論』。プリンストン大学出版局、Annals of Mathematics Studies。ISBN 0-691-02531-2。{{cite book}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)