グリゴルチュクグループ

数学の群論の分野において、グリゴルチュク群または第一グリゴルチュク群は、ロスティスラフ・グリゴルチュクによって構築された有限生成群であり、中間成長（つまり、多項式よりは速いが指数関数よりは遅い）の有限生成群の最初の例を提供した。この群はもともとグリゴルチュクによって1980年の論文^[1]で構築され、その後1984年の論文^{[2]でこの群が中間成長であることを証明し、}ジョン・ミルナーによって1968年に提起された重要な未解決問題に解答を与えた。グリゴルチュク群は、特にいわゆる分岐群とオートマトン群の研究において、幾何群論の重要な研究対象であり、反復モノドロミー群の理論と重要なつながりがある。^[3]

有限生成群の成長は、群のケーリーグラフ内のn球の大きさ（つまり、 G の生成集合内の長さが最大でnの語として表現できるGの要素の数）の漸近線を測定する。有限生成群の成長率の研究は1950 年代に遡り、微分幾何学におけるコンパクトリーマン多様体の普遍被覆空間における体積エントロピー（つまり、球の体積の成長率）の概念に部分的に動機付けられている。有限生成群の成長率が最大で指数関数的であることは明らかであり、有限生成冪零群が多項式成長を持つことも早くから理解されていた。1968 年にジョン・ミルナーは、中間の成長、つまりどの多項式関数よりも速く、どの指数関数よりも遅い有限生成群の存在について疑問^{[4] を}提起した。この分野で重要な結果は、 1981 年にグロモフによって得られた多項式増加群に関するグロモフの定理であり、有限生成群が多項式増加を持つ必要十分条件は、この群が有限指数の冪零部分群を持つ場合だけであることを示しています。グリゴルチュクの研究以前には、線型群、可解群、^{[5] [6]}など、 有限生成群のさまざまなクラスに対して、増加の二分法 (つまり、増加は常に多項式または指数のいずれか) を確立する多くの結果がありました。${\displaystyle n\to \infty }$

グリゴルチュク群Gはロスティスラフ・グリゴルチュクの1980年の論文^[1]で構築され、この群は無限、周期的、残差有限であることを証明した。その後の1984年の論文^[2]でグリゴルチュクはこの群が中間成長であることを証明した（この結果は1983年にグリゴルチュクによって発表された）。^{[7]より正確には、彼は}Gの成長b ( n )が よりも速いがよりも遅いことを証明した。上限は後にローラン・バルトルディ^[8]によって次のように改良された。 ${\displaystyle \exp({\sqrt {n}})}$${\displaystyle \exp(n^{s})}$${\displaystyle s=\log _{32}31\approx 0.991}$

${\displaystyle s={\frac {\log 2}{\log 2-\log \eta }}\約 0.7674,\qquad \eta ^{3}+\eta ^{2}+\eta =2.}$

の下限はユーリ・レオノフによって証明された。^[9]の限界は ${\displaystyle \exp(n^{0.504})}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\log _{n}\log b(n),}$

この問題は2020年にAnna ErschlerとTianyi Zheng ^[10]によって解決され、極限が に等しいことが示されるまで、大きな未解決問題のままでした。 ${\displaystyle s}$

グリゴルチュクのグループは、従順ではあるが基本従順ではないグループの最初の例でもあり、 1957年にマロン・マーシュ・デイが提起した問題に答えた。^[11]

もともと、グリゴルチュク群Gは単位区間上のルベーグ測度保存変換の群として構築されましたが、その後、Gのより単純な記述が見つかり、現在では無限正則二分 根付き木の自己同型群として表現されることが多いです。グリゴルチュク群の研究は、1990年代から2000年代にかけての枝群、オートマトン群、自己相似群の理論の発展に大きく貢献しており、グリゴルチュク群はこの理論の中心的な対象であり続けています。最近、この理論と複素力学、特に反復モノドロミー群の概念との間の重要なつながりが、Volodymyr Nekrashevych ^[12]ら の研究で明らかにされました。

グリゴルチュクの1984年の論文の後、多くの拡張と一般化が行われました。^{[13] [14] [15] [16]}

当初、グリゴルチュク群は単位区間のルベーグ測度保存変換の群として定義されましたが、現在ではこの群は通常、無限正則二分 根付き木 T ₂の自己同型群として実現されることによって与えられます。木T ₂は、アルファベット Σ = {0,1}のすべての有限文字列の集合Σ ^*であり、T ₂の根となる空文字列∅も含まれます。T ₂の頂点 xについて、文字列x 0はxの左の子であり、文字列x 1はT ₂におけるxの右の子です。したがって、すべての自己同型群 Aut( T ₂ )は、初期セグメント関係も尊重するΣ ^*のすべての長さ保存順列σの群と考えることができます。つまり、文字列 xが文字列yの初期セグメントである 場合は常に、σ( x )はσ( y )の初期セグメントです。   

グリゴルチュク群 Gは_、 Aut ( T2 )の4つの特定の元によって生成されるAut ( T2 )の部分群であり_、次のように定義される（∅は任意の木自己同型によって固定されることに注意）：ここで、 $${\displaystyle G=\langle a,b,c,d\rangle \leq {\text{Aut}}(T_{2}){\text{,}}}$$$${\displaystyle a(0)=1{\text{,}}\qquad a(1)=0{\text{,}}\qquad \forall x\in \Sigma ^{*}\quad {\begin{cases}a(0x)=1x\\a(1x)=0x\end{cases}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}&b(0)=c(0)=d(0)=0\\&b(1)=c(1)=d(1)=1{\text{,}}\end{aligned}}\qquad \forall x\in \Sigma ^{*}\quad {\begin{aligned}&{\begin{cases}b(0x)=0a(x)\\b(1x)=1c(x)\end{cases}}\\&{\begin{cases}c(0x)=0a(x)\\c(1x)=1d(x)\end{cases}}\\&{\begin{cases}d(0x)=0x\\d(1x)=1b(x){\text{.}}\end{cases}}\end{aligned}}}$$

要素aのみが明示的に定義されており、 ∅の子ツリーを交換します。要素b、c、およびd は相互再帰を通じて定義されます。

後者の操作の効果を理解するために、  {∅, 1, 11, 111, ...}で始まるT ₂の右端の枝B を考えます。枝として、B はと順序同型です。 元の木T ₂は、 Bの各要素でT ₂と同型の木をルートにすることで取得できます。逆に、T ₂をの要素でインデックス付けされた同型サブツリーに分解することもできます。 ${\displaystyle \mathbb {N} .}$${\displaystyle B\cong \mathbb {N} }$

操作b、c、およびd はすべてこの分解を尊重します。つまり、 Bの各要素を固定し、各インデックス付きサブツリーに対して自己同型として機能します。b が機能する場合、インデックス≡ 2 (mod 3)のすべてのサブツリーを固定しますが、残りに対してはaとして機能します。同様に、 c が機能する場合、インデックス≡ 1 (mod 3)のサブツリーのみを固定し、d はインデックス≡ 0 (mod 3)のサブツリーを固定します。

これらの操作の簡潔な表記法は次のとおりです。T _{2の左（右）ブランチを}T _L = 0Σ ^*（TR = 1Σ ^* ）とすると、f = ( g , h ) と書き、 f がT _Lではg_として、TRではhとして作用することを意味します。したがって、 同様に、id は_恒等関数です。 $${\displaystyle a(T_{L})\subseteq T_{R},\quad a(T_{R})\subseteq T_{L}{\text{.}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}b=(a,c)\quad &\Longleftrightarrow \quad b(x)={\begin{cases}a(x)&x\in T_{L}\\c(x)&x\in T_{R}\end{cases}}\\c=(a,d)\quad &\Longleftrightarrow \quad c(x)={\begin{cases}a(x)&x\in T_{L}\\d(x)&x\in T_{R}\end{cases}}\\d=({\text{id}},b)\quad &\Longleftrightarrow \quad d(x)={\begin{cases}x&x\in T_{L}\\b(x)&x\in T_{R}{\text{.}}\end{cases}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle aba=(c,a),\quad aca=(d,a),\quad ada=(b,{\text{id}}){\text{,}}}$$

以下はグリゴルチュク群の基本的な代数的性質である（証明については^[17]を参照）。

• 群Gは無限である。^[2]
• 群Gは残差有限である。^{[2] を}Gのあらゆる元をT ₂の最初のnレベルに制限する制限準同型とする。群Aut( T [ n ])は有限であり、 Gのあらゆる非自明なgに対してnが存在し、${\displaystyle \rho _{n}:G\to {\text{Aut}}(T[n])}$${\displaystyle \rho _{n}(g)\neq 1.}$
• 群Gはaと3つの要素b、c、dのうちの2つによって生成される。例えば、次のように書くことができる。${\displaystyle G=\langle a,b,c\rangle .}$
• 要素a、b、c、d は反転です。
• 元b、c、d は互いに交換可能であり、bc = cb = d、bd = db = c、dc = cd = bであるため、 は位数 2 の巡回群2 つの直積に同型な位数 4 のアーベル群です。${\displaystyle \langle b,c,d\rangle \leqslant G}$
• 前の 2 つの特性を組み合わせると、Gのすべての要素は、 a、b、c、dの (正の) 単語として記述でき、この単語にはaa、bb、cc、dd、cd、dc、bc、cb、bd、dbの形式のサブワードが含まれないことがわかります。このような単語は、簡約と呼ばれます。
• 群Gは2群であり、つまりGの全ての要素は2の累乗である有限位数を持つ^。[1]
• 群 G は周期的（2 群として）であり、局所有限ではありません（有限生成であるため）。そのため、バーンサイド問題に対する反例となります。
• グループGは中程度の成長を示します。^[2]
• グループGは従順ではあるが、基本従順ではない。^[2]
• 群Gはまさに無限です。つまり、Gは無限ですが、Gのすべての適切な商群は有限です。
• 群Gは合同部分群の性質を持つ。部分群HがGにおいて有限の指数を持つのは、正の整数nが存在し、${\displaystyle \ker(\rho _{n})\leqslant H.}$
• 群Gには解ける部分群帰属問題が存在する。つまり、任意の単語w、u1、...、unが与えられたときに、 wが_u1、... 、 un によって生成される部分群の要素を表すかどうかを決定するアルゴリズム_{が存在する}。^[18]
• 群Gは部分群可分である、すなわち、すべての有限生成部分群はG上のpro-finite位相において閉じている。^[18]
• Gの任意の最大部分群はGにおいて有限の指数を持つ。^[19]
• 群Gは有限生成だが有限提示可能ではない。^{[2] [20]}
• Gのレベル 1 頂点の安定子(文字列 0 と 1 の単位元として機能する要素のサブグループ) は、次の要素によって生成されます。${\displaystyle T_{2}}$

${\displaystyle G_{\{0,1\}}=\langle b,c,d,aba,aca,ada\rangle .}$

${\displaystyle G_{\{0,1\}}}$はGの指数2の正規部分群であり、

${\displaystyle G=G_{\{0,1\}}\sqcup aG_{\{0,1\}}.}$

• 簡約語は、その語に が偶数回出現する場合に限り、の要素を表します。${\displaystyle G_{\{0,1\}}}$
• wがG内のaの出現回数が正の偶数である簡約語である場合、次のような単語u、v （必ずしも簡約されている必要はない）が存在する。

${\displaystyle w=(u,v)\quad {\text{and}}\quad {\begin{cases}|u|,|v|\leqslant {\tfrac {1}{2}}|w|&|w|{\text{ odd}}\\|u|,|v|\leqslant {\tfrac {1}{2}}(|w|+1)&|w|{\text{ even}}\end{cases}}}$

これは、収縮特性と呼ばれることもあります。これは、単語の長さに関する帰納的議論を使用できるようになるため、Gに関する多くの証明で重要な役割を果たします。

• 群G には、解ける文章問題と解ける共役問題(縮約性質の結果) があります。

• 幾何群論
• 有限生成群の成長
• 従順なグループ
• 反復モノドロミー群
• 非可換暗号

• Rostislav Grigorchuk と Igor Pak、「中間成長のグループ: 初心者のための入門」、プレプリント、2006 年、arXiv