収束グループ

数学において、収束群または離散収束群は、コンパクトな距離化可能空間に同相写像によって作用する群 であり、クライン群の作用の性質を、双曲的 3 次元空間の理想境界へのメビウス変換によって一般化する。収束群の概念は、ゲーリングとマーティン(1987) ^{[1]によって導入され、それ以来、}幾何学的位相幾何学、準等角解析、幾何学的群論で広く応用されている。 ${\displaystyle \ガンマ}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$

を、コンパクト距離化可能空間 上で同相写像によって作用する群とします。この作用は、任意の無限相異なる要素列に対して、写像がを に送る定数写像へのコンパクト部分集合上で一様に収束するような部分列と点が存在する場合、収束作用または離散収束作用と呼ばれます(そして、 はこの作用に対して収束群または離散収束群と呼ばれます)。ここで、コンパクト部分集合上で一様に収束するとは、内の のすべての開近傍とすべてのコンパクトに対して、任意の に対してとなるインデックスが存在することを意味します。部分列に関連付けられた 「極」は、必ずしも相異なる必要はないことに注意してください。 ${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \gamma _{n}\in \Gamma }$${\displaystyle \gamma _{n_{k}},k=1,2,\dots }$${\displaystyle a,b\in M}$${\displaystyle \gamma _{n_{k}}{\big |}_{M\setminus \{a\}}}$${\displaystyle M\setminus \{a\}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle U}$${\displaystyle b}$${\displaystyle M}$${\displaystyle K\subset M\setminus \{a\}}$${\displaystyle k_{0}\geq 1}$${\displaystyle k\geq k_{0},}$ ${\displaystyle \gamma _{n_{k}}(K)\subseteq U}$${\displaystyle a,b\in M}$${\displaystyle \gamma _{n_{k}}}$

収束群の上記の定義は、 の「異なる三つ組の空間」へのの作用に関して、有用で同等な再定式化が認められます。 集合 に対して、と表します。ここで、 です。 集合はに対して「異なる三つ組の空間」と呼ばれます。 ${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Theta (M):=M^{3}\setminus \Delta (M)}$${\displaystyle \Delta (M)=\{(a,b,c)\in M^{3}\mid \#\{a,b,c\}\leq 2\}}$${\displaystyle \Theta (M)}$${\displaystyle M}$

すると、次の同値関係が成り立つことが知られている：^[2]

を、少なくとも 2 つの点を持つコンパクトな距離化可能な空間上で同相写像によって作用する群とします。このとき、の誘導作用が適切に不連続である場合に限り、この作用は離散収束作用です。 ${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \Theta (M)}$

• メビウス変換によるクライン群 の作用は収束群作用である。${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}=\partial \mathbb {H} ^{3}}$
• 理想境界上の平行移動による単語双曲群 の作用は、収束群の作用です。${\displaystyle G}$${\displaystyle \partial G}$
• 相対双曲群の ボウディッチ境界上の並進による作用は収束群作用である。${\displaystyle G}$${\displaystyle \partial G}$
• を適切な測地グロモフ双曲的距離空間とし、を上の等長変換によって適切に不連続に作用する群とする。このとき、上の対応する境界作用は離散収束作用である（ ^[2]の補題2.11 ）。${\displaystyle X}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \partial X}$

を少なくとも3点を持つコンパクトな距離化可能な空間上で同相写像によって作用する群とし、とする。このとき、（ ^[2]の補題3.1または^[3]の補題6.2）次のうち正確に1つが起こることが知られている。 ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$

(1) 元はにおいて有限の位数を持ち、この場合 は楕円型 と呼ばれる。 ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \gamma }$

（２）要素は無限の位数を持ち、固定された集合は単一の点である。この場合、放物線状 と呼ばれる。 ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \operatorname {Fix} _{M}(\gamma )}$${\displaystyle \gamma }$

（３）要素は無限の順序を持​​ち、固定された集合は２つの異なる点から構成される。この場合、これは斜航性と 呼ばれる。 ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \operatorname {Fix} _{M}(\gamma )}$${\displaystyle \gamma }$

さらに、すべての に対して、元と は同じ型を持ちます。また、(2) と (3) の場合(ただし)、群は に対して適切に不連続に作用します。さらに、が斜航性である場合、 は に対して適切に不連続かつコンパクトに作用します。 ${\displaystyle p\neq 0}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma ^{p}}$${\displaystyle \operatorname {Fix} _{M}(\gamma )=\operatorname {Fix} _{M}(\gamma ^{p})}$${\displaystyle p\neq 0}$${\displaystyle \langle \gamma \rangle }$${\displaystyle M\setminus \operatorname {Fix} _{M}(\gamma )}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \langle \gamma \rangle }$${\displaystyle M\setminus \operatorname {Fix} _{M}(\gamma )}$

が不動点を持つ放物線型である場合 、任意のに対してが成り立ちます。 が斜航型である場合、 はと書くことができ、任意の に対してが成り立ち、任意の に対してが成り立ち、これらの収束は のコンパクト部分集合上で一様になります。 ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$${\displaystyle a\in M}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\gamma ^{n}x=\lim _{n\to -\infty }\gamma ^{n}x=a}$${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$${\displaystyle \operatorname {Fix} _{M}(\gamma )}$${\displaystyle \operatorname {Fix} _{M}(\gamma )=\{a_{-},a_{+}\}}$${\displaystyle x\in M\setminus \{a_{-}\}}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\gamma ^{n}x=a_{+}}$${\displaystyle x\in M\setminus \{a_{+}\}}$${\displaystyle \lim _{n\to -\infty }\gamma ^{n}x=a_{-}}$${\displaystyle M\setminus \{a_{-},a_{+}\}}$

コンパクト距離化可能空間 への群の離散収束作用は、の への作用が共コンパクトである場合に一様と呼ばれます(この場合 は一様収束群と呼ばれます) 。したがって、は一様収束群であるためには、 への作用が適切に不連続かつ共コンパクトである必要があります。 ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Theta (M)}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Theta (M)}$

がコンパクトな距離化可能な空間に離散収束群として作用するとします。異なる元と異なる点の無限列が存在し、任意の に対しておよび が存在する場合、その点は円錐極限点(または放射極限点、近似点とも呼ばれる) と呼ばれます。 ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle M}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle \gamma _{n}\in \Gamma }$${\displaystyle a,b\in M}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\gamma _{n}x=a}$${\displaystyle y\in M\setminus \{x\}}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\gamma _{n}y=b}$

ボウディッチ^{[2] [5]}も独立して得たトゥキア[ ^4]の重要な結果は、次のように述べています。

コンパクト距離化可能空間上の群の離散収束群作用が均一となるのは、 のすべての非孤立点が円錐極限点である場合に限ります。 ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

^{グロモフ[6]}は、単語双曲群 の境界上の並進による自然な作用は一様収束作用である（正式な証明については^{[2]を参照）ことをすでに観察していた。ボウディッチ[5]は}重要な逆を証明し、単語双曲群の位相的特徴付けを得た。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \partial G}$

定理。 は、孤立点を持たないコンパクトな距離化可能な空間上の離散一様収束群として作用します。このとき、群は語双曲的であり、同変同相写像が存在します。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M\to \partial G}$

双曲平面上の群の等長作用は、その作用が適切に不連続かつココンパクトである場合に、幾何的と呼ばれる。へ の のあらゆる幾何的作用は、への の一様収束作用を誘導する。Tukia (1986)、^[7] Gabai (1992)、^[8] Casson–Jungreis (1994)、^[9]および Freden (1995) ^[10]の重要な結果から、逆も成り立つことが分かる。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}=\partial H^{2}\approx \partial G}$

定理。が上で離散一様収束群として作用する群である場合、この作用は のへの等長変換による幾何学的作用によって誘導される作用と位相的に共役である。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$

が に幾何学的に作用するときはいつでも、群は事実上双曲面群、つまり、 閉じた双曲面の基本群に同型な有限指数部分群を含むこと に注意してください。${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

キャノン予想の同等な再定式化の一つ（ジェームズ・W・キャノン^[11]によって提唱されたが、より一般的な予想であるコンパクト型に対するキャノン予想への還元はゲイヴン・J・マーティンとリチャード・K・スコラ^[12] によって提唱された ）

これらの予想は、境界が に同相な語双曲群に関して、 が上で離散一様収束群として作用する群である場合、この作用はの への幾何学的作用によって等長変換によって誘導される作用と位相的に共役である、というものです。これらの予想はまだ未解決のままです。 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$

• ヤマンは、収束作用の観点から相対双曲群の特徴付けを与え、 ^[13]ボウディッチの語双曲群の特徴付けを一様収束群として一般化した。
• 離散性仮定なしに「収束性」を持つグループ作用のより一般的なバージョンを考えることもできる。^[14]
• キャノン・サーストン写像の概念の最も一般的なバージョンは、もともとクライン群と語双曲群の文脈で定義され、収束群の設定の文脈で定義され研究されることができる。^[15]