リップマシン

幾何群論において、リップスマシンはR 木上の群の作用を研究する方法である。これは1991 年頃の Eliyahu Ripsの未発表の研究で導入された。

R木は、すべての弧が何らかの実区間に等長である、一意に弧状に接続された距離空間です。Rips は、 R木上で自由に作用する任意の有限生成群は、自由アーベル群と曲面群の自由積であるというMorgan と Shalen の予想^[1]を証明しました。^[2]

R木上の表面群の作用

バス・セール理論によれば、単体木に自由に作用する群は自由である。しかし、 R木ではこれは当てはまらなくなり、モーガンとシャレンは、オイラー標数が−1未満の曲面の基本群もR木に自由に作用することを示した。^[1] 彼らは、連結した閉曲面Sの基本群がR木に自由に作用するのは、Sがオイラー標数が≥−1の3つの向き付け不可能な曲面の1つではない場合のみであることを証明した。

アプリケーション

Rips マシンは、有限生成群Gの安定な等長作用に、単体木へのGの安定作用によるその作用の特定の「標準形」近似を割り当て、したがってBass-Serre 理論の意味でのGの分割を割り当てます。実数木への群作用は、幾何学的位相幾何学のいくつかのコンテキストで自然に発生します。たとえば、Teichmüller 空間の境界点として^[3] (Teichmüller 空間の Thurston 境界内のすべての点は、表面上の測定された測地線積層によって表されます。この積層は表面の普遍被覆まで持ち上げられ、その持ち上げに対する自然な双対オブジェクトは、表面の基本群の等長作用を備えた - 木です)、適切に再スケールされたKlein 群作用のGromov-Hausdorff 限界として^[4]^[5]などです。-木の使用は、ハーケン 3 次元多様体に対するサーストンの双曲化定理の現代的な証明において、実質的な近道を提供する。^[5]^[6]同様に、 -木は、カラー-フォークトマンの外部空間^[7]^[8]の研究だけでなく、幾何学的群論の他の分野でも重要な役割を果たしている。たとえば、群の漸近錐はしばしば木のような構造を持ち、実数の木に対する群作用を生じる。^[9]^[10] -木の使用は、バス-セール理論とともに、セラによる (捩れのない)語双曲群の同型性の問題の解決、セラによる JSJ 分解理論、および自由群のタルスキ予想と極限群の理論に関する研究において重要なツールである。^[11]^[12] $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

参考文献

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さらに読む

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