成長率（群論）

数学の分野である幾何群論では、対称生成集合に対する群の成長率は、群がどれだけ速く成長するかを表します。群内のすべての要素は生成元の積として表すことができ、成長率は長さnの積として表すことができる要素の数を数えます。

Gが有限生成群であり、T が有限対称生成元集合であるとする （対称とは、 ならば となることを意味する）。任意の元は、Tアルファベット の単語として表現できる。${\displaystyle x\in T}$${\displaystyle x^{-1}\in T}$${\displaystyle x\in G}$

${\displaystyle x=a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{k}{\text{ ただし }}a_{i}\in T.}$

Gのすべての要素のうち、長さn以下の単語で表現できる 部分集合を考える。

${\displaystyle B_{n}(G,T)=\{x\in G\mid x=a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{k}{\text{ ただし }}a_{i}\in T{\text{ かつ }}k\leq n\}。}$

この集合は、生成集合Tに関して、G上の語距離dにおける半径nの閉じた球体です。

${\displaystyle B_{n}(G,T)=\{x\in G\mid d(x,e)\leq n\}.}$

より幾何学的に言えば、Tに関してケイリーグラフ内の頂点のうち単位元から距離n以内にある頂点の集合です。 ${\displaystyle B_{n}(G,T)}$

2つの非減少正関数aとbが与えられたとき、定数Cが存在し、すべての正の整数nに対して 、 ${\displaystyle a\sim b}$

${\displaystyle a(n/C)\leq b(n)\leq a(Cn),\,}$

たとえば、の場合。 ${\displaystyle p^{n}\sim q^{n}}$${\displaystyle p,q>1}$

すると、群Gの成長率は、関数の 対応する同値類として定義できる。

${\displaystyle \#(n)=|B_{n}(G,T)|,}$

ここで、 は集合 内の要素の数を表します。関数は生成子集合Tに依存しますが、その増加率は依存しません (下記参照)。そのため、増加率は群の不変量を与えます。 ${\displaystyle |B_{n}(G,T)|}$${\displaystyle B_{n}(G,T)}$${\displaystyle \#(n)}$

単語計量dと集合は生成集合Tに依存する。しかし、任意の2つの計量は次の意味でビリプシッツ同値である。有限対称生成集合E、Fに対して、正の定数Cが存在し、 ${\displaystyle B_{n}(G,T)}$

${\displaystyle {1 \over C}\ d_{F}(x,y)\leq d_{E}(x,y)\leq C\ d_{F}(x,y).}$

この不等式の直接的な帰結として、成長率は生成セットの選択に依存しないことがわかります。

もし

${\displaystyle \#(n)\leq C(n^{k}+1)}$

ある k に対して、Gは多項式増加率 を持つと言えます。このようなkの最小値は、多項式増加の位数と呼ばれます。グロモフの定理によれば、多項式増加群は実質的に冪零群です。つまり、有限指数の冪零部分群を持ちます。特に、多項式増加の位数は自然数でなければならず、実際 です。 ${\displaystyle C,k<\infty }$${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle k_{0}}$${\displaystyle \#(n)\sim n^{k_{0}}}$

あるものに対して、Gは指数関数的成長率を持つと言えます。有限生成G は最大でも指数関数的成長を持ちます。つまり、あるものに対して が成り立ちます。 ${\displaystyle \#(n)\geq a^{n}}$${\displaystyle a>1}$ ${\displaystyle b>1}$${\displaystyle \#(n)\leq b^{n}}$

がどの指数関数よりもゆっくりと増加する場合、G は指数関数以下の増加率を持ちます。このようなグループはいずれも従順です。 ${\displaystyle \#(n)}$

• 有限ランクの自由群は指数関数的な成長率を持ちます。${\displaystyle k>1}$
• 有限群は定数増加、つまり次数 0 の多項式増加を持ち、これには普遍被覆がコンパクトである多様体の基本群が含まれます。
• M が負に曲がった閉じた リーマン多様体である場合、その基本群は指数関数的成長率を持ちます。ジョン・ミルナーは、上の語計量がMの普遍被覆に対して準等長であるという事実を利用してこれを証明しました。 ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$${\displaystyle \pi _{1}(M)}$
• 自由アーベル群は d次多項式成長率を持ちます。${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$
• 離散ハイゼンベルク群は、 4次多項式成長率を持ちます。この事実は、グロモフの定理に関する記事で説明されているHyman Bassと Yves Guivarchの一般定理の特殊なケースです。${\displaystyle H_{3}}$
• ランプライターグループは急激な成長を遂げています。
• 中間的な成長、つまり指数関数的ではないが多項式的ではない群の存在は、長年未解決のままでした。この疑問は 1968 年に Milnor によって提起され、最終的に1984 年にRostislav Grigorchukによって肯定的な回答が得られました。この分野にはまだ未解決の問題があり、どの成長順序が可能でどの順序が不可能であるかの完全な図が欠けています。
• 三角形群には、無限個の有限群 (球面に対応する球面群)、2 次増加の 3 つの群 (ユークリッド平面に対応するユークリッド群)、および無限個の指数増加の群 (双曲面に対応する双曲群) が含まれます。

• 等周不等式との関連

• Milnor J. (1968). 「曲率と基本群に関するノート」. Journal of Differential Geometry . 2 : 1–7. doi : 10.4310/jdg/1214501132 .
• Grigorchuk RI (1984)。「有限生成群の成長度と不変平均の理論」。Izv . Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. (ロシア語)。48 ( 5): 939–985。

• Rostislav Grigorchuk とIgor Pak (2006)。「中間成長群: 初心者のための入門」。arXiv : math.GR/0607384。