反復モノドロミー群

幾何群論と力学系において、被覆写像の反復モノドロミー群は、被覆のすべての反復に対する基本群のモノドロミー作用を記述する群である。したがって、空間間の単一の被覆写像は、被覆をそれ自体の上に繰り返し配置することによって、被覆の塔を作成するのに使用されます。被覆空間のガロア理論では、この空間上の構成は群上の構成に対応することが期待されます。反復モノドロミー群はこの構成を提供し、被覆の組合せ論と記号ダイナミクスをエンコードし、自己相似群の例を提供するのに適用されます。

fの反復モノドロミー群は次の商群である。

${\displaystyle \mathrm {IMG} f:={\frac {\pi _{1}(X,t)}{\bigcap _{n\in \mathbb {N} }\mathrm {Ker} \,\digamma ^{n}}}}$

どこ ：

• ${\displaystyle f:X_{1}\rightarrow X}$は、経路連結かつ局所経路連結な位相空間Xのその部分集合による被覆であり、${\displaystyle X_{1}}$
• ${\displaystyle \pi_{1}(X,t)}$はXの基本群であり、
• ${\displaystyle \digamma :\pi _{1}(X,t)\rightarrow \mathrm {Sym} \,f^{-1}(t)}$はfに対するモノドロミー作用です。
• ${\displaystyle \digamma ^{n}:\pi _{1}(X,t)\rightarrow \mathrm {Sym} \,f^{-n}(t)}$はfの反復のモノドロミー作用です。${\displaystyle n^{\mathrm {th} }}$${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} _{0}}$

反復モノドロミー群は、原像の 根付き木に対して自己同型性によって作用する。

${\displaystyle T_{f}:=\bigsqcup _{n\geq 0}f^{-n}(t),}$

ここで頂点は辺によって接続されています。 ${\displaystyle z\in f^{-n}(t)}$${\displaystyle f(z)\in f^{-(n-1)}(t)}$

させて ：

• fは複素有理関数である
• ${\displaystyle P_{f}}$臨界点の前方軌道の和集合（臨界後集合）とする。

が有限である場合（または有限の集積点の集合を持つ場合）、fの反復モノドロミー群は被覆 の反復モノドロミー群であり、 はリーマン球面です。 ${\displaystyle P_{f}}$${\displaystyle f:{\hat {C}}\setminus f^{-1}(P_{f})\rightarrow {\hat {C}}\setminus P_{f}}$${\displaystyle {\hat {C}}}$

有理関数の反復モノドロミー群は、通常、古典的な群論の観点から見ると、特異な特性を持ちます。そのほとんどは無限に提示され、多くは中間成長を持ちます。

バシリカ群は多項式の反復モノドロミー群である。${\displaystyle z^{2}-1}$

• 成長率（群論）
• 従順なグループ
• 複雑なダイナミクス
• ジュリア集合

• Volodymyr Nekrashevych、「自己相似群」、数学サーベイおよびモノグラフ第117巻、Amer. Math. Soc.、プロビデンス、ロードアイランド州、2005年、ISBN  0-412-34550-1。
• Kevin M. Pilgrim,複雑動的システムの組み合わせ、Springer-Verlag、ベルリン、2003年、ISBN 3-540-20173-4。 

• arXiv.org - 反復モノドロミー グループ - 反復モノドロミー グループに関するプレプリント。
• ローラン・バルトルディのページ -ジュリア集合に関するデーンのひねりを説明する映画。
• mathworld.wolfram.com - モノドロミー グループのページ。