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数学の分野である群論において、1 関係子群は、単一の定義関係を持つ群の表現によって与えられる群です。1 関係子群は、有限に表現された群の多くの明示的な例を提供することで、 幾何学的群論において重要な役割を果たします。

1関係子群とは、次のような形式のグループ表現が可能な 群Gである。

ここで、X は集合（一般には無限大の可能性がある）であり、は自由に循環的に簡約された単語です。 ${\displaystyle r\in F(X)}$

Yがrに現れるすべての 文字の集合である場合、${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle X'=X\setminus Y}$

${\displaystyle G=\langle Y\mid r=1\,\rangle \ast F(X').}$

そのため、（１ ）のXは、通常、１関係子群を議論する場合には有限であると仮定され、その場合、（１）はより明示的に次のように書き直すことができる。

ここで、ある整数に対して${\displaystyle X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$${\displaystyle n\geq 1.}$

G を上記の表現 ( 1 )で与えられた 1 関係子群とする。rは F(X) の自由に巡回的に簡約された語であることを思い出す。rにまたはが現れる文字を とする。とする。この部分群はGのマグヌス部分群と呼ばれる。 ${\displaystyle y\in X}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y^{-1}}$${\displaystyle X_{1}\subseteq X\setminus \{y\}}$${\displaystyle H=\langle X_{1}\rangle \leq G}$

1930年のヴィルヘルム・マグヌスの有名な定理^[1]は自由定理として知られ、この状況ではHはによって自由に生成される${\displaystyle X_{1}}$、つまり であると述べている。その他の証明については^{[2] [3]}も参照のこと。 ${\displaystyle H=F(X_{1})}$

ここでは、1関係子群Gが有限生成集合と非自明な自由に巡回的に簡約された定義関係を持つ表現( 2 )によって与えられると仮定する。 ${\displaystyle X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$${\displaystyle 1\neq r\in F(X)}$

• 1-関係群Gが捩れなしとなるのは、が適切な冪でないときだけです。${\displaystyle r\in F(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

• あらゆる1関係群G は実質的に捩れがない、つまり有限指数の捩れがない部分群を許容する。^[4]

• 1つのリレータによるプレゼンテーションは図式的に非球面である。^[5]

• が適切な冪でない場合には、表示( 2 )の表示複体Pは有限のアイレンバーグ・マクレーン複体である。^[6]${\displaystyle r\in F(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle K(G,1)}$

• が真冪でない場合には、1関係群Gはコホモロジー次元 を持ちます。${\displaystyle r\in F(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \leq 2}$

• 1関係群Gが自由であるためには原始元が必要であり、この場合Gはランクn  −1から自由である。^[7]${\displaystyle r\in F(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

• の作用下で要素が最小の長さであるとし、任意のまたはがrに現れると仮定する。すると群Gは自由分解不可能である 。^[8]${\displaystyle r\in F(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (F_{n})}$${\displaystyle i=1,\dots ,n}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{i}^{-1}}$

• が真冪でない場合には、1関係群Gは 局所的に指示可能である、つまりGの任意の非自明な有限生成部分群は への群準同型性を許容する。^[9]${\displaystyle r\in F(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• あらゆる1関係子群Gはアルゴリズム的に決定可能な単語問題を持つ。^[10]

• Gが1関係群でありマグヌス部分群である場合、 GにおけるHの部分群メンバーシップ問題は決定可能である。^[10]${\displaystyle H\leq G}$

• 1 つの関係子を持つグループに解決可能な共役問題が存在するかどうかは不明です。

• 同型性問題が1 つの関係子群のクラスに対して決定可能かどうかは不明です。

• 表現( 2 )によって与えられる1関係子群Gは、原始元でない限り、ランクnを持つ（つまり、n個未満の元では生成できない）。^[11] ${\displaystyle r\in F(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

• Gを( 2 )式で与えられる1関係子群とする。このときGの中心は自明である。またGが非可換で非自明な中心を持つとき、 Gの中心は無限巡回である。^[12]${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle Z(G)=\{1\}}$${\displaystyle n=2}$

• とする。これに応じて、rとsのF(X)における正規閉包をととする。このとき、がF ( X )においてまたはと共役である場合に限ります。 [ 13 ] ^{[ 14]}${\displaystyle r,s\in F(X)}$${\displaystyle X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$${\displaystyle N_{1}=\langle \langle r\rangle \rangle _{F(X)}}$${\displaystyle N_{2}=\langle \langle s\rangle \rangle _{F(X)}}$${\displaystyle N_{1}=N_{2}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s^{-1}}$

• ホップ群ではない有限生成1関係子群が存在し、したがって残差有限ではない。例えば、バウムスラッグ-ソリター群が ある。^[15]${\displaystyle B(2,3)=\langle a,b\mid b^{-1}a^{2}b=a^{3}\rangle }$

• G を( 2 )の表現で与えられる 1 関係子群とする。すると、G は、次のバージョンのティッツ代替条件を満たす。G が捩れを持たない場合、 G のすべての部分群は、階数2 の自由群を含むか、解けるかのいずれかである。G が非自明な捩れを持つ場合、 Gのすべての部分群は、階数2 の自由群を含むか、巡回するか、無限二面体であるかのいずれかである。^[16]

• Gを( 2 )式で与えられた1関係子群とする。すると正規部分群は何らかの元族に対して形の自由基底を許容する。^[17]${\displaystyle N=\langle \langle r\rangle \rangle _{F(X)}\leq F(X)}$${\displaystyle \{u_{i}^{-1}ru_{i}\mid i\in I\}}$${\displaystyle \{u_{i}\in F(X)\mid i\in I\}}$

表現( 2 )によって与えられた1関係子群Gを仮定する。ここで、は真べき乗ではない(したがって、sも自由に巡回的に簡約される)。このとき、次が成り立つ。 ${\displaystyle r=s^{m}}$${\displaystyle m\geq 2}$${\displaystyle 1\neq s\in F(X)}$

• Gにおいて元s はm位数 を持ち、Gにおける有限位数の元はすべてsの冪に共役である。^[18]

• Gの任意の有限部分群はGのの部分群と共役である。さらに、すべての捩れ元によって生成されるGの部分群はGのの共役族の自由積である。^[4]${\displaystyle \langle s\rangle }$${\displaystyle \langle s\rangle }$

• Gは有限指数の捩れのない正規部分群を許容する。^[4]

• ニューマンの「スペリング定理」^{[19] [20]を}Gにおいてとなる自由に簡約された単語とします。するとwには またはの長さのの部分単語となるような部分単語vが含まれます。これはとなり、 Gの表現 ( 2 ) はDehn 表現となることを意味します。${\displaystyle 1\neq w\in F(X)}$${\displaystyle w=1}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r^{-1}}$${\displaystyle |v|=1+(m-1)|s|}$${\displaystyle m\geq 2}$${\displaystyle |v|>|r|/2}$

• Gは仮想コホモロジー次元を持つ 。^[21]${\displaystyle \leq 2}$

• Gは単語双曲群である。^[22]

• Gは決定可能な共役性問題を持つ。^[19]

• Gは一貫性があり、つまりGの有限生成部分群はすべて有限に提示可能である。^[23]

• 同型性問題は、双曲性のおかげで、捩れを持つ有限生成1関係群に対して決定可能である。^[24]

• Gは残差有限である。^[25]

• ${\displaystyle G}$は事実上巡回自由である、すなわち有限指数の部分群を持ち、巡回商を持つ自由正規部分群が存在する。^[26]${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle F\triangleleft H}$${\displaystyle F/H}$

1930年代のマグナスの研究に始まり、1-関係子群に関する一般的な結果のほとんどは、定義関係子rの長さ| r |に関する帰納法によって証明されています。以下の説明は、マグナスのオリジナルのアプローチについてはリンドンとシュップ^{[27]の第2章第6節、マグナス、カラス、ソリター[28]}の第4.4節、そのアプローチのモルダバンスキーのHNN拡張バージョンについてはリンドンとシュップ^[29]の第4章第5節に従っています。^[30]

G を有限生成集合Xを持つ表現( 1 )で与えられる1関係子群とする。また、 Xからのすべての生成子は実際にrに現れると仮定する。

通常は、次のように仮定できます(そうでない場合、 Gは巡回的であり、 Gについて証明されているステートメントは通常は明白であるため)。 ${\displaystyle \#X\geq 2}$

考慮すべき主なケースは、たとえばtというXからのジェネレータがrでt上の指数和 0 で発生する場合です。この場合は とします。すべてのジェネレータについて、がの場合を表します。すると、r はこれらの新しいジェネレータのワードとして で書き換えることができます。 ${\displaystyle X=\{t,a,b,\dots ,z\}}$${\displaystyle x\in X\setminus \{t\}}$${\displaystyle x_{i}=t^{-i}xt^{i}}$${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle X_{\infty }=\{(a_{i})_{i},(b_{i})_{i},\dots ,(z_{i})_{i}\}}$${\displaystyle |r_{0}|<|r|}$

たとえば、の場合。 ${\displaystyle r=t^{-2}btat^{3}b^{-2}a^{2}t^{-1}at^{-1}}$${\displaystyle r_{0}=b_{2}a_{1}b_{-2}^{-2}a_{-2}^{2}a_{-1}}$

を、 のすべての によって与えられたの部分で構成されるアルファベットとします。ここで、は に現れるの最小および最大の下付き文字です。 ${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle X_{\infty}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle m(x)\leq i\leq M(x)}$${\displaystyle m(x),M(x)}$${\displaystyle x_{i}^{\pm 1}}$${\displaystyle r_{0}}$

マグナスは、部分群自体が 1 関係子表現 を持つ 1 関係子群であることを観察しました。 であるため、 Gについての特定のステートメントを証明するときに、通常は に帰納的仮説を適用できることに注意してください。 ${\displaystyle L=\langle X_{0}\rangle \leq G}$${\displaystyle L=\langle X_{0}\mid r_{0}=1\rangle }$${\displaystyle |r_{0}|<|r|}$${\displaystyle L}$

さらに、 に対してならばも1関係子群であり、 はからすべての添え字を だけずらすことで得られる。すると、 Gにおけるの正規閉包は ${\displaystyle X_{i}=t^{-i}X_{0}t^{i}}$${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle L_{i}=\langle X_{i}\rangle =\langle X_{i}|r_{i}=1\rangle }$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle N=\langle \langle X_{0}\rangle \rangle _{G}}$${\displaystyle X_{0}}$

${\displaystyle N=\left\langle \bigcup _{i\in \mathbb {Z} }L_{i}\right\rangle .}$

マグヌスのオリジナルのアプローチは、 N が実際には適切に選択されたマグヌス自由部分群に沿って併合された群の反復併合積であるという事実を利用した。彼のFreiheitssatzの証明と 1 関係子群の単語問題の解決は、このアプローチに基づいていた。 ${\displaystyle L_{i}}$

後にモルダヴァンスキーはフレームワークを簡略化し、この場合、G自体はLのHNN 拡張であり、関連するサブグループはLのマグヌス自由サブグループであると指摘しました。

からの各ジェネレータについて、の最小値と最大値の添え字が等しい場合、この場合、帰納的ステップは通常簡単に処理できます。 ${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle G=L\ast \langle t\rangle }$

次に、 からのある生成子が少なくとも 2 つの異なる添え字でに現れるとします。 を からのすべての生成子のうち最大でない添え字を持つものの集合とし、を からのすべての生成子のうち最大でない添え字を持つものの集合とします。(したがって、 からおよび からのすべての生成子は、 に一意でない添え字で現れます。) このとき、と はLとの自由マグヌス部分群です。モルダバンスキーは、この状況で ${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle Y_{-}}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle Y_{+}}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle Y_{-}}$${\displaystyle Y_{-}}$${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle H_{-}=\langle Y_{-}\rangle }$${\displaystyle H_{+}=\langle Y_{+}\rangle }$${\displaystyle t^{-1}H_{-}t=H_{+}}$

${\displaystyle G=\langle L,t\mid t^{-1}H_{-}t=H_{+}\rangle }$

はLの HNN 拡張です。この事実により、HNN 拡張Gの正規形法と構造代数的性質を使用して、 1 つの関係子グループLに関する帰納的仮説を使用してGについて何かを証明できることがよくあります。

一般的なケースでは、 Magnus の元の設定と Moldavansky による簡略化の両方において、rにおいて指数の合計が 0 となるXの生成元が存在しない状況を扱う必要があります。 rには、指数がゼロでない異なる文字がそれぞれ存在すると仮定します。によって与えられ、 Xからのその他の生成元を固定した準同型を考えます。すると、y上の指数の合計が 0 になる場合です。写像f は群準同型を誘導しますが、これは埋め込みになります。1 つの関係子を持つ群G'は、その後 Moldavansky のアプローチを使用して扱うことができます。を 1 つの関係子を持つ群Lの HNN 拡張として分割すると、 Lの定義関係子は依然としてrよりも短いことが判明し、帰納的議論を進めることができます。 Magnus の元のアプローチでは、このケースを扱うために埋め込みトリックの類似バージョンが使用されていました。 ${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle \alpha ,\beta }$${\displaystyle f:F(X)\to F(X)}$${\displaystyle f(x)=xy^{-\beta },f(y)=y^{\alpha }}$${\displaystyle r'=f(r)\in F(X)}$ ${\displaystyle \phi :G\to G'=\langle X\mid r'=1\rangle }$${\displaystyle G'}$${\displaystyle r_{0}}$

多くの 2 生成子 1 関係子群は半直積 として分割されることが判明しました。この事実は、マグヌス-モルダバンスキー法を使用して 1 関係子群の BNS 不変量を分析したときにKen Brownによって観察されました。 ${\displaystyle G=F_{m}\rtimes \mathbb {Z} }$

すなわち、Gを( 2 )式で表現される1関係子群とし、をエピモーフィズムとする。すると、の自由基底を、となる基底に変更することができ、この生成子における Gの表現を次のように書き直すことができる。${\displaystyle n=2}$${\displaystyle \phi :G\to \mathbb {Z} }$${\displaystyle F(X)}$${\displaystyle t,a}$${\displaystyle \phi (t)=1,\phi (a)=0}$

${\displaystyle G=\langle a,t\mid r=1\rangle }$

ここで、 は自由に循環的に短縮される単語です。 ${\displaystyle 1\neq r=r(a,t)\in F(a,t)}$

なので、 rにおけるtの指数和は 0 に等しい。 を再び置くと、 r をにおける語として書き直すことができる。に現れる生成子の最小および最大の添え字を としよう。Brown は^[31]で、が有限生成であるための必要十分条件であり、と の両方が にちょうど 1 回現れ、さらにその場合群は自由であることを示した。したがって、が有限生成核を持つエピモフィズムである場合、G はのように分割され、は有限階数の自由群である。 ${\displaystyle \phi (r)=0,\phi (t)=1}$${\displaystyle a_{i}=t^{-i}at^{i}}$${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle (a_{i})_{i\in \mathbb {Z} }.}$${\displaystyle m,M}$${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle \ker(\phi )}$${\displaystyle m<M}$${\displaystyle a_{m}}$${\displaystyle a_{M}}$${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle \ker(\phi )}$${\displaystyle \phi :G\to \mathbb {Z} }$${\displaystyle G=F_{m}\rtimes \mathbb {Z} }$${\displaystyle F_{m}=\ker(\phi )}$

その後、ダンフィールドとサーストンは^[32]、 1つの関係子と2つの生成子を持つ群が「ランダムに」選択される場合（つまり、長さnの巡回縮小語rが一様にランダムに選択される場合）、有限生成核を持つ Gから上へ の準同型が存在する確率は次を満たすことを証明した。${\displaystyle G=\langle x_{1},x_{2}\mid r=1\rangle }$${\displaystyle F(x_{1},x_{2})}$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle 0.0006<p_{n}<0.975}$

十分に大きいnすべてに対して となります。さらに、実験データは の極限値がに近いことを示しています。 ${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle 0.94}$

• 自由アーベル群 ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} =\langle a,b\mid a^{-1}b^{-1}ab=1\rangle }$

• Baumslag–Solitar 群 では、 となります。${\displaystyle B(m,n)=\langle a,b\mid b^{-1}a^{m}b=a^{n}\rangle }$${\displaystyle m,n\neq 0}$

• 互いに素な整数であるトーラス結び目群。${\displaystyle G=\langle a,b\mid a^{p}=b^{q}\rangle }$${\displaystyle p,q\geq 1}$

• バウムスラッグ・ゲルステングループ ${\displaystyle G=\langle a,t\mid a^{a^{t}}=a^{2}\rangle =\langle a,t\mid (t^{-1}a^{-1}t)a(t^{-1}at)=a^{2}\rangle }$

• 有向曲面群、 ここで、ここで。${\displaystyle G=\langle a_{1},b_{1},\dots ,a_{n},b_{n}\mid [a_{1},b_{1}]\dots [a_{n},b_{n}]=1\rangle }$${\displaystyle [a,b]=a^{-1}b^{-1}ab}$${\displaystyle n\geq 1}$

• 非配向表面群、ここで。${\displaystyle G=\langle a_{1},\dots ,a_{n}\mid a_{1}^{2}\cdots a_{n}^{2}=1\rangle }$${\displaystyle n\geq 1}$

• AとBが 2 つのグループであり、 がそれらの自由積 の要素である場合、1 つの関係子積を考えることができます。${\displaystyle r\in A\ast B}$ ${\displaystyle G=A\ast B/\langle \langle r\rangle \rangle =\langle A,B\mid r=1\rangle }$

• いわゆるケルヴェール予想（ケルヴェール・ローデンバッハ予想とも呼ばれる）は、Aが非自明な群であり無限巡回である場合、任意の1関係積が非自明であるかどうかが真かどうかを問うものである。^[33]${\displaystyle B=\langle t\rangle }$${\displaystyle r\in A\ast B}$${\displaystyle G=\langle A,t\mid r=1\rangle }$

• クリャチコはAがねじれを持たない場合のケルヴェア予想を証明した。 ^[34]

• ^{ゲルステン[22]}による予想によれば、有限生成1関係群が語双曲的であるための必要十分条件は、それがバウムスラッグ-ソリター部分群を含まないことである。

• 3次元多様体
• 幾何学的トポロジー
• 小さな相殺理論

• Wilhelm Magnus、Abraham Karrass、Donald Solitar、「組合せ群論。生成元と関係の観点から見た群の表現」、1976 年第 2 版の再版、Dover Publications、Inc.、Mineola、NY、2004年。ISBN 0-486-43830-9。MR  2109550

• ロジャー・C・リンドン;シュップ、ポール E. (2001)。組み合わせ群理論。数学の古典。シュプリンガー・フェルラーク、ベルリン。ISBN 3-540-41158-5. MR  1812024.

• アンドリュー・プットマンによる一関係者グループに関するノート、ノートルダム大学