ミンコフスキー空間

物理学において、ミンコフスキー空間（ミンコフスキー時空）（/ m ɪ ŋ ˈ k ɔː f s k i , - ˈ k ɒ f -/ ^{[1] ）は、}重力がない場合の時空の主要な数学的記述である。これは、慣性空間と時間多様体を4次元モデルに組み合わせたものである。

このモデルは、任意の 2 つのイベント間の時空間隔が、それらのイベントが記録される慣性参照系から独立していることを示すのに役立ちます。数学者ヘルマン・ミンコフスキーは、ヘンドリック・ローレンツ、アンリ・ポアンカレの研究からこのモデルを開発し、他の人々は、このモデルが「実験的な物理的根拠に基づいて開発された」と述べています。

ミンコフスキー空間は、アインシュタインの特殊相対性理論および一般相対性理論と密接に関連しており、特殊相対性理論を形式化する最も一般的な数学的構造です。ユークリッド空間と時間の個々の要素は長さの収縮と時間の遅れにより異なる場合がありますが、ミンコフスキー時空では、すべての参照フレームがイベント間の時空の合計間隔に一致します。^{[注 1]}ミンコフスキー空間は、時間を3つの空間次元とは異なる方法で扱うという点で、 4次元ユークリッド空間とは異なります。

3次元ユークリッド空間では、等長変換群（通常のユークリッド距離を保存するマップ）はユークリッド群です。これは、回転、反射、並進によって生成されます。時間が4番目の次元として追加されると、時間における並進の変換とローレンツブーストがさらに追加され、これらすべての変換の群はポアンカレ群と呼ばれます。ミンコフスキーのモデルは特殊相対性理論に従っており、運動は時間の遅れを引き起こし、運動しているフレームに適用されるスケールを変え、光の位相をシフトさせます。

時空は、ミンコフスキー計量と呼ばれる不定非退化 双線型形式^[2]、文脈に応じてミンコフスキーノルムの2乗、またはミンコフスキー内積を備えている。[注2 ]^{ミンコフスキー}内積は、2つのイベントの座標差ベクトルを引数として与えられたときに、2つのイベント間の時空間隔を生成するように定義される。 ^[3]この内積を備えた時空の数学モデルはミンコフスキー空間と呼ばれる。ミンコフスキー空間の変換群のうち、時空間隔（空間ユークリッド距離とは対照的）を保存するものは、ポアンカレ群（ガリレイ群とは対照的）である。

1905 年の相対性理論の 2 番目の論文で、アンリ・ポアンカレは、^時間を虚数の第 4 の時空座標ict（cは光速、iは虚数単位 ）と見なすことによって、ローレンツ変換を4 次元ユークリッド球面の通常の回転として視覚化できることを示しました [4]。4 次元時空は 4 次元空間として視覚化でき、各点は時空内のイベントを表します。ローレンツ変換は、この 4 次元空間での回転と考えることができます。回転軸は 2 人の観測者間の相対運動の方向に対応し、回転角度は相対速度に関連します。

この概念を理解するには、時空におけるイベントの座標を 4 次元ベクトル( t、x、y、z )として表す必要があります。ローレンツ変換は、4 次元ベクトルに作用してその成分を変更する行列によって表されます。この行列は、4 次元空間における回転行列として考えることができ、特定の軸を中心に 4 次元ベクトルを回転させます。$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+(ict)^{2}={\text{定数}}.}$$

2 つの空間単位ベクトルが張る平面における回転は、座標空間および物理的時空においてユークリッド回転として現れ、通常の意味で解釈されます。空間単位ベクトルと時間単位ベクトルが張る平面における「回転」は、形式的には依然として座標空間における回転ですが、実慣性座標を持つ物理的時空におけるローレンツ ブーストです。球の半径は実際には虚数であるため、ユークリッド回転との類似性は部分的であり、回転は双曲空間における回転になります (双曲回転を参照)。

ポアンカレはほんの少し触れただけだったこの考えは、ミンコフスキーが1908年にドイツ語で発表した「運動物体の電磁過程の基本方程式」という論文で詳しく述べた。^[5]彼はマクスウェル方程式を、電磁量のための再定義されたベクトル変数と組み合わせた4つの変数（x、y、z、ict）の対称的な方程式のセットとして再定式化し、ローレンツ変換に対する不変性を直接かつ非常に簡単に示すことができた。彼はまた、他の重要な貢献もしており、この文脈で初めて行列表記法を使用した。彼は再定式化から、時間と空間は同等に扱われるべきであると結論し、統一された4次元時空連続体で起こる出来事の概念を生み出した。

^{ミンコフスキーは、1908年の講義「空間と時間」 [6]}でさらに発展させ、虚数座標の代わりに実時間座標を使用し、空間と時間の4つの変数（x、y、z、t）を4次元の実ベクトル空間の座標形式で表すというこのアイデアの別の定式化を示した。この空間内の点は時空内のイベントに対応する。この空間では、各点に関連付けられた定義された光円錐があり、光円錐上にないイベントは頂点との関係によって空間的または時間的として分類される。今日では主にこの時空の見方が主流であるが、虚数時間を含む古い見方も特殊相対性理論に影響を与えている。

ミンコフスキーの論文の英訳では、以下に定義されるミンコフスキー計量は線要素と呼ばれています。以下のミンコフスキー内積は、特定のベクトルの直交性（彼はこれを正規性と呼んでいます）を参照するときには名前が付けられておらず、ミンコフスキーノルムの二乗は（やや不可解ですが、これは翻訳に依存しているのかもしれません）「和」と呼ばれています。

ミンコフスキーの主要なツールはミンコフスキー図であり、彼はこれを用いてローレンツ変換の概念を定義し特性を実証し (例えば、固有時と長さの収縮)、ニュートン力学の相対論的力学への一般化に幾何学的解釈を与えている。これらの特別なトピックについては、参考文献を参照のこと。以下の説明は主に、特殊相対性理論の公理の結果としての時空多様体上の時空間隔の不変性から生じる数学的構造 (ミンコフスキー計量とそこから導出される量、および時空の対称群としてのポアンカレ群) に限定されており、時空間隔の不変性の特定の適用や導出には触れていない。この構造は、平坦なミンコフスキー時空が局所的にローレンツ的である一般相対性理論を除いて、現在のすべての相対論的理論の背景を提供している。

ミンコフスキーは、自分が作った理論の根本的な再述を認識して、次のように述べた。

私が皆さんに提示したい空間と時間についての見解は、実験物理学の土壌から生まれたものであり、そこにその強みがあります。それらは根本的です。今後、空間自体と時間自体は単なる影に消え去る運命にあり、両者のある種の結合のみが独立した現実を維持するでしょう。

— ヘルマン・ミンコフスキー、1908年、1909年^[6]

ミンコフスキーは物理学にとって重要な一歩を踏み出しましたが、アルバート・アインシュタインはその限界に気づいていました。

ミンコフスキーがユークリッド三次元空間を時間を含む準ユークリッド四次元空間に拡張することで特殊相対性理論の幾何学的解釈を与えていた当時、アインシュタインは重力現象を排除するためこれが有効ではないことをすでに認識していた。彼はまだ曲線座標とリーマン幾何学、そしてそれに伴う複雑な数学的装置の研究からは程遠いところにあった。 ^[7]

さらなる歴史的情報については、参考文献Galison (1979)、Corry (1997)、Walter (1999)を参照してください。

ここで、vは速度、x、y、zは3 次元空間の直交座標、 cは普遍的な速度制限を表す定数、t は時間であり、 4 次元ベクトルv = ( ct、x、y、z ) = ( ct、r )はc ² t ² − r ²の符号に従って分類されます。 c ² t ² > r ²の場合、ベクトルは時間的であり、 c ² t ² < r ²の場合、ベクトルは空間的であり、c ² t ² = r ²の場合、ヌルまたは光的です。 これは、スカラー積とも呼ばれるη ( v、v )の符号で表現することもでき、これはシグネチャによって異なります。ローレンツ変換による時空間隔の不変性のため、任意のベクトルの分類は、ローレンツ変換によって関連付けられるすべての参照フレームで同じになります (ただし、一般的なポアンカレ変換では、原点が移動する可能性があるため、同じではありません)。

ミンコフスキー空間の事象^{[注3]におけるすべての}ヌルベクトルの集合は、その事象の光円錐を構成する。時間的ベクトルvが与えられると、それに関連付けられた一定速度の世界線が存在し、ミンコフスキー図では直線で表される。

時間の方向が決まると、^{[nb 4]}時間的ベクトルとヌルベクトルはさらに様々なクラスに分解できる。時間的ベクトルの場合、

1. 最初の要素が正である未来指向の時間的ベクトル（図では因果未来（絶対未来とも呼ばれる）に位置するベクトルの先端）と
2. 最初の要素が負である過去指向の時間的ベクトル（因果過去（絶対過去とも呼ばれる））。

ヌルベクトルは 3 つのクラスに分類されます。

1. ゼロベクトル、その成分はどの基底においても（0, 0, 0, 0）（原点）である。
2. 最初の要素が正である未来指向ヌルベクトル（上光円錐）と、
3. 最初の成分が負である過去方向のヌルベクトル（下側の光錐）。

空間的ベクトルと合わせると、全部で 6 つのクラスがあります。

ミンコフスキー空間の正規直交基底は、必然的に 1 つの時間的単位ベクトルと 3 つの空間的単位ベクトルで構成されます。非正規直交基底を扱いたい場合は、他のベクトルの組み合わせを持つことが可能です。たとえば、ヌル基底と呼ばれる、完全にヌルベクトルで構成される (非正規直交) 基底を簡単に構築できます。

ベクトル場は、その場が定義される各点において関連するベクトルが時間的、空間的、またはヌルである場合、時間的、空間的、またはヌルと呼ばれます。

時間的ベクトルは、光速よりも遅い速度で (0, 0, 0, 0) にいる観測者がアクセスできるイベントに対応するため、相対性理論において特別な重要性を持ちます。最も興味深いのは、同様に方向付けられている、つまりすべてが前方または後方の円錐内にある時間的ベクトルです。このようなベクトルには、空間的ベクトルにはないいくつかの特性があります。これらは、前方円錐と後方円錐の両方が凸であるのに対し、空間的領域は凸ではないために生じます。

2つの時間的ベクトルu ₁ = ( t ₁ , x ₁ , y ₁ , z ₁ )とu ₂ = ( t ₂ , x ₂ , y ₂ , z ₂ )のスカラー積は $${\displaystyle \eta (u_{1},u_{2})=u_{1}\cdot u_{2}=c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}.}$$

スカラー積の正性: 重要な特性として、2 つの同様の方向を持つ時間的ベクトルのスカラー積は常に正になります。これは、以下の逆コーシー・シュワルツ不等式からわかります。したがって、2 つのベクトルのスカラー積がゼロの場合、少なくともそのうちの 1 つは空間的である必要があります。2 つの空間的ベクトルのスカラー積は、直交する空間成分と異なる符号または同じ符号の時間を持つ 2 つの空間的ベクトルの積を考えるとわかるように、正または負になります。

時間的ベクトルの正値性特性を使用すると、同様の方向を向いた時間的ベクトルの正の係数を持つ線形和も同様に同様の方向を向いた時間的である（凸性のため和は光円錐内に留まる）ことを簡単に検証できます。

時間的ベクトルu = ( ct , x , y , z )のノルムは次のように定義されます。 $${\displaystyle \left\|u\right\|={\sqrt {\eta (u,u)}}={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}}$$

逆コーシー不等式は、光円錐の凸性から生じるもう1つの帰結である。^[8] 2つの異なる同様の方向を向いた時間的ベクトルu ₁とu ₂に対して、この不等式は 代数的に次のように表される。 $${\displaystyle \eta (u_{1},u_{2})>\left\|u_{1}\right\|\left\|u_{2}\right\|}$$$${\displaystyle c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}>{\sqrt {\left(c^{2}t_{1}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1}^{2}-z_{1}^{2}\right)\left(c^{2}t_{2}^{2}-x_{2}^{2}-y_{2}^{2}-z_{2}^{2}\right)}}$$

このことから、スカラー積の正の性質がわかります。

2つの同様の方向を持つ時間的ベクトルuとwに対して、不等式は^[9] であり、ベクトルが線形従属である場合に等式が成立する。 $${\displaystyle \left\|u+w\right\|\geq \left\|u\right\|+\left\|w\right\|,}$$

証明には、逆コーシー不等式を用いた代数的定義を用いる：^[10] $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|u+w\right\|^{2}&=\left\|u\right\|^{2}+2\left(u,w\right)+\left\|w\right\|^{2}\\[5mu]&\geq \left\|u\right\|^{2}+2\left\|u\right\|\left\|w\right\|+\left\|w\right\|^{2}=\left(\left\|u\right\|+\left\|w\right\|\right)^{2}.\end{aligned}}}$$

両辺の平方根を取ると、結果は次のようになります。

以下では、時空には慣性系に対応する座標系が備わっているものと仮定します。これにより、時空をベクトル空間としてモデル化するために必要な原点が提供されます。この追加は必須ではなく、アフィン空間に類似したより複雑な処理によって余分な構造を取り除くことができます。ただし、これは入門的な慣例ではないため、ここでは説明しません。

概要として、ミンコフスキー空間は、時空内の各点における接空間上の非退化対称双線型形式（ここでは単にミンコフスキー内積と呼ばれ、計量シグネチャは(+ − − −)または(− + + +)のいずれかを備えた4 次元の実ベクトル空間です。各イベントにおける接空間は、時空と同じ次元 4のベクトル空間です。

実際には、接空間を気にする必要はない。ミンコフスキー空間のベクトル空間構造により、点（事象）における接空間のベクトルをミンコフスキー空間自体のベクトル（点、事象）と正準的に同一視することができる。例えば、Lee (2003, Proposition 3.8.) または Lee (2012, Proposition 3.13.) を参照。これらの同一視は数学では日常的に行われている。これらは、直交座標で次のように表現できる^[11]。 接空間の基底ベクトルは次のように定義される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(x^{0},\,x^{1},\,x^{2},\,x^{3}\right)\ &\leftrightarrow \ \ left.x^{0}\mathbf {e} _{0}\right|_{p}+\left.x^{1}\mathbf {e} _{1}\right|_{p}+\left.x^{2}\mathbf {e} _{2}\right|_{p}+\left.x^{3}\mathbf {e} _{3}\right|_{p}\\&\leftrightarrow \ \left.x^{0}\mathbf {e} _{0}\right|_{q}+\left.x^{1} \mathbf {e} _{1}\right|_{q}+\left.x^{2}\mathbf {e} _{2}\right|_{q}+\left.x^{3}\mathbf {e} _{3}\right|_{q}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \left.\mathbf {e} _{\mu }\right|_{p}=\left.{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\right|_{p}{\text{ または }}\mathbf {e} _{0}|_{p}=\left({\begin{matrix}1\\0\\0\\0\end{matrix}}\right){\text{, etc}}.}$$

ここで、pとq は任意の 2 つのイベントであり、2 番目の基底ベクトルの同一視は平行移動と呼ばれます。最初の同一視は、任意の点における接空間のベクトルをその空間自体のベクトルと標準的に同一視することです。接空間の基底ベクトルが 1 次微分演算子として現れるのは、この同一視によるものです。これは、幾何学的な接ベクトルが滑らかな関数の集合上の方向微分演算子と 1 対 1 で関連付けられるという観察に基づいています。これは、必ずしもR ⁿに埋め込まれていない多様体における接ベクトルの定義へと昇格されます。この接ベクトルの定義は唯一の定義ではなく、通常のn組も使用できます。

目的によっては、点pにおける接線ベクトルを点pにおける変位ベクトルと同一視することが望ましいが、これはもちろん本質的に同じ標準的な同一視によって許容される。^[12]上記の数学的設定におけるベクトルの同一視は、Misner、Thorne & Wheeler (1973) のより物理的で明示的に幾何学的な設定でも同様に見ることができる。それらは、読む資料の部分に応じて、さまざまなレベルの洗練度 (および厳密さ) を提供している。

メトリック シグネチャは、空間 (具体的には、後ほど定義される、空間的) と時間基底ベクトル (時間的) を引数として与えられたときに、ミンコフスキー内積がどの符号を生成するかを示します。この理論的には重要ではないが、内部の一貫性と利便性のために実際に必要な選択についての詳細な議論は、下の非表示ボックスに延期されます。相対性理論における符号規則を扱っているページも参照してください。

双線形形式と数学的に関連付けられているのは、時空内の各点における(0,2)型のテンソルであり、ミンコフスキー計量と呼ばれます。^{[注 5]}ミンコフスキー計量、双線形形式、ミンコフスキー内積はすべて同じオブジェクトです。これは、2 つの (反変) ベクトルを受け入れて実数を返す双線形関数です。座標では、これは双線形形式を表す 4×4行列です。

比較のために、一般相対性理論では、ローレンツ多様体 Lも同様に計量テンソル gを備えており、これはLの各点pにおける接空間T _p L上の非退化対称双線型形式である。座標では、時空位置に依存する4×4行列で表すことができる。したがって、ミンコフスキー空間は、ローレンツ多様体の比較的単純な特殊ケースである。その計量テンソルは、 Mのすべての点で同じ対称行列を持つ座標にあり、その引数は、上記のように、時空自体のベクトルとして取ることができる。

用語をさらに導入すると（構造は増えない）、ミンコフスキー空間は、全次元n = 4でシグネチャ(1, 3)または(3, 1)を持つ擬ユークリッド空間になります。ミンコフスキー空間の要素はイベントと呼ばれます。ミンコフスキー空間は、選択されたシグネチャを強調するためにR ^1,3またはR ^3,1と表記されることが多く、単にM と表記されることもあります。これは擬リーマン多様体の一例です。

すると、数学的には、計量は抽象的な 4 次元実ベクトル空間V上の双線型形式、つまり η の符号は(+, -, -, -) であり、符号はηの座標不変な性質です。双線型写像の空間は と同一視できるベクトル空間を形成し、η はこの空間の要素と見なすこともできます。正規直交基底 を選択することで、は空間 と同一視できます。この表記法は、 Mと が単なるベクトル空間ではなく、構造が追加されていることを強調するためのものです。 $${\displaystyle \eta :V\times V\rightarrow \mathbf {R} }$$${\displaystyle M^{*}\otimes M^{*}}$${\displaystyle \{e_{\mu}\}}$${\displaystyle M:=(V,\eta )}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}:=(\mathbf {R} ^{4},\eta _{\mu \nu })}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}}$${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(+1,-1,-1,-1)}$

ミンコフスキー時空（の一部）の非慣性座標の興味深い例としては、ボルン座標があります。もう 1 つの便利な座標セットは、光円錐座標です。

ミンコフスキー内積は、正定値ではないため、内積ではありません。つまり、二次形式η ( v、v ) は、非ゼロのvに対して正である必要はありません。正定値条件は、非退化というより弱い条件に置き換えられました。双線形形式は不定値であると言われています。ミンコフスキー計量η は、ミンコフスキー空間の計量テンソルです。これは擬ユークリッド計量であり、より一般的には、直交座標における定数擬リーマン計量です。そのため、これは非退化対称双線形形式、タイプ(0, 2)テンソルです。これは、 u _p、v _p 、 T _p Mのベクトル、p ∈ M 、 Mのpにおける接空間の2 つの引数を受け入れます。前述のT _p MとM自体の標準的な同一視により、 T p M は引数u、v を受け入れますが、 uとv は両方ともMに含まれます。

表記規則として、Mのベクトルvは4 次元ベクトルと呼ばれ、ユークリッド設定で一般的な太字のvではなく、イタリック体で表記されます。後者は、一般に4 次元ベクトルの3 次元ベクトル部分（以下で紹介）に使用されます。

定義^[13]は、 M 上の内積のような構造を生み出します。これは以前も、そして今後もミンコフスキー内積と呼ばれます。これはユークリッド内積に似ていますが、異なる幾何学を記述します。これは相対論的ドット積とも呼ばれます。2つの引数が同じ場合、 結果として得られる量はミンコフスキーノルムの2乗 と呼ばれます。ミンコフスキー内積は次の特性を満たします。 $${\displaystyle u\cdot v=\eta (u,\,v)}$$$${\displaystyle u\cdot u=\eta (u,u)\equiv \|u\|^{2}\equiv u^{2},}$$

最初の引数の線形性

${\displaystyle \eta (au+v,\,w)=a\eta (u,\,w)+\eta (v,\,w),\quad \forall u,\,v\in M,\;\forall a\in \mathbb {R} }$

対称

${\displaystyle \eta (u,\,v)=\eta (v,\,u)}$

非退化

${\displaystyle \eta (u,\,v)=0,\;\forall v\in M\ \Rightarrow \ u=0}$

最初の 2 つの条件は双線型性を意味します。擬似内積と本来の内積の決定的な違いは、前者は正定値である必要がないことです。つまり、η ( u , u ) < 0が許容されます。

内積とノルムの二乗の最も重要な特徴は、これらがローレンツ変換の影響を受けない量であるということです。実際、内積（つまり、2 つのベクトル上の対応する双線形形式の値）を保存するという点で、これはローレンツ変換の定義特性と見なすことができます。このアプローチは、古典群でこのように定義できるすべての古典群に対して、より一般的に採用されています。そこで、行列Φ は、 O(3, 1)の場合（ローレンツ群）は、以下に示す 行列ηと同一です。

2つのベクトルvとw は、 η ( v , w ) = 0のとき直交しているといいます。 η ( v , v ) ≤ 0かつη ( w , w ) ≥ 0 のとき（またはその逆）の特殊な場合における直交性の幾何学的解釈については、双曲直交性を参照してください。

ベクトルeはη ( e , e )=±1のとき単位ベクトルと呼ばれる。互いに直交する単位ベクトルからなるMの基底は正規直交基底と呼ばれる。^[14]

与えられた慣性系に対して、空間の正規直交基底は単位時間ベクトルと組み合わされてミンコフスキー空間の正規直交基底を形成します。このような基底の正と負の単位ベクトルの数は、内積に関連付けられた双線形形式の符号に等しい固定された数のペアです。これがシルベスターの慣性の法則です。

用語が増えました (構造は増えていません)。ミンコフスキー計量は擬似リーマン計量であり、より具体的にはローレンツ計量であり、さらに具体的にはローレンツ計量であり、4次元平坦時空に予約されており、残る曖昧さは署名規則のみです。

特殊相対性理論の第二公理から、時空の均質性と空間の等方性とともに、1と2と呼ばれる2つの任意のイベント間の時空間隔は次のようになる。^[15] この量は文献で一貫して命名されていない。この間隔は、ここで定義されている間隔の平方根と呼ばれることもある。^{[16] [17]} $${\displaystyle c^{2}\left(t_{1}-t_{2}\right)^{2}-\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}-\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}-\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}.}$$

慣性系間の座標変換による区間の不変性は、 変換が線形である場合の の不変性から導かれます。この二次形式は、分極恒等式 を 介して双線形形式を定義するために使用できます 。この双線形形式は、 と記述できます 。 ここで、 [ η ]はηに関連付けられた行列です。混乱を招く可能性がありますが、 [ η ] を単にηと表記するのが一般的です。行列は明示的な双線形形式から と読み取られ 、このセクションがその存在を前提として開始した双線形形式 が、これで同一視されます。 $${\displaystyle c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$$$${\displaystyle u\cdot v=c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}}$$$${\displaystyle u\cdot v=u^{\textsf {T}}\,[\eta ]\,v,}$$${\displaystyle 4\times 4}$$${\displaystyle \eta =\left({\begin{array}{r}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{array}}\right)\!,}$$$${\displaystyle u\cdot v=\eta (u,v),}$$

明確さと簡潔な表現のため、以下では署名(− + + +)を採用しています。この選択 (または他の可能な選択) には (既知の) 物理的な意味はありません。署名の 1 つの選択で双線型形式を保存する対称群は、署名のもう 1 つの選択を保存する対称群と同型です (ここで示すマップの下で)。つまり、両方の選択が相対性理論の 2 つの公理と一致しています。2 つの規則の切り替えは簡単です。計量テンソルηが導出で使用されている場合は、それが使用された最初のポイントに戻り、− ηをηに置き換えて、目的の計量署名を持つ目的の式まで遡ります。

ミンコフスキー空間の標準基底または正規直交基底は、 4つの互いに直交するベクトル{ e ₀ , e ₁ , e ₂ , e ₃ }の集合で あり、 $${\displaystyle \eta (e_{0},e_{0})=-\eta (e_{1},e_{1})=-\eta (e_{2},e_{2})=-\eta (e_{3},e_{3})=1}$$$${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\nu })=0}$$${\textstyle \mu \neq \nu \,.}$

これらの条件は次のように簡潔に記述できる。 $${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\nu })=\eta _{\mu \nu }.}$$

標準基底に対して、ベクトルvの成分は( v ⁰ , v ¹ , v ² , v ³ )と表記されます。ここで、アインシュタイン表記法ではv = v ^μ e _μと表記されます。成分v ⁰はvの時間的成分と呼ばれ、他の 3 つの成分は空間的成分と呼ばれます。4 ベクトル v の空間的成分は、3ベクトルv = ( v 1 , v 2 _, v 3 ₎と同一_視できます。

成分の観点から見ると、2つのベクトルvとwの間のミンコフスキー内積は次のように表される。

$${\displaystyle \eta (v,w)=\eta _{\mu \nu }v^{\mu }w^{\nu }=v^{0}w_{0}+v^{1}w_{1}+v^{2}w_{2}+v^{3}w_{3}=v^{\mu }w_{\mu }=v_{\mu }w^{\mu },}$$ そして $${\displaystyle \eta (v,v)=\eta _{\mu \nu }v^{\mu }v^{\nu }=v^{0}v_{0}+v^{1}v_{1}+v^{2}v_{2}+v^{3}v_{3}=v^{\mu }v_{\mu }.}$$

ここでは、メトリックによる インデックスの低下が使用されました。

条件を満たす標準基底には多くの選択肢があり、そのような基底はいずれも、ローレンツ変換によって何らかの意味で関連しており、ローレンツ変換は、任意のベクトルu、vのペアに対して、を満たす 実数4 × 4行列である基底変換行列 またはを満たす抽象ベクトル空間上の線型写像Λによって行われます。 ${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\nu })=\eta _{\mu \nu }.}$${\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu }}$$${\displaystyle \Lambda _{\rho }^{\mu }\eta _{\mu \nu }\Lambda _{\sigma }^{\nu }=\eta _{\rho \sigma }.}$$$${\displaystyle \eta (\Lambda u,\Lambda v)=\eta (u,v).}$$

そして、2 つの異なる基底{ e ₀ , e ₁ , e ₂ , e ₃ }と{ e ′ ₀ , e ′ ₁ , e ′ ₂ , e ′ ₃ }が存在する場合、これらはまたはとして表すことができます。とΛ を同じものと考えたくなるかもしれませんが、数学的には、これらは異なる空間の要素であり、異なる側から標準基底の空間に作用します。 ${\displaystyle e_{\mu }'=e_{\nu }\Lambda _{\mu }^{\nu }}$${\displaystyle e_{\mu }'=e_{\nu }\Lambda _{\mu }^{\nu }}$${\displaystyle e_{\mu }'=\Lambda e_{\mu }}$${\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu }}$

技術的には、非退化双線型形式はベクトル空間とその双対との間の写像を提供する。この文脈では、写像はMの接空間とMの余接空間との間の写像である。 M内の点において、接空間と余接空間は双対ベクトル空間である（したがって、イベントにおける余接空間の次元も4である）。リースの表現定理により、1 つの引数を固定したベクトル空間上の真正な内積が、ベクトル空間上の線型関数の作用として表現できるのと同様に、ミンコフスキー空間のミンコフスキー内積についても同じことが成り立つ。^[19]

したがって、v ^{μ が}接空間のベクトルの成分である場合、η _μν v ^μ = v _νは余接空間（線型関数）のベクトルの成分です。接空間のベクトルはM自体のベクトルと同一視されるため、これはほとんど無視され、より低いインデックスを持つベクトルは共変ベクトルと呼ばれます。この後者の解釈では、共変ベクトルは（ほとんどの場合暗黙的に）ミンコフスキー空間の双対のベクトル（線型関数）と同一視されます。上位のインデックスを持つものは反変ベクトルです。同様に、接空間から余接空間への写像の逆は、行列表現で η の逆によって明示的に与えられ^、インデックスの累乗を定義するために使用できます。この逆の成分はη ^μνと表されます。η μν = η _μνとなることもあります。ベクトル空間とその双対の間のこれらの写像は^、音楽の類推によってη ^♭（エータフラット）とη♯ （エータシャープ）と表記される。 ^[20]

反変ベクトルと共変ベクトルは、幾何学的には非常に異なるオブジェクトです。反変ベクトルは矢印として考えることができますし、そう考えるべきです。線形関数は、2 つのオブジェクト、つまり原点を通る超平面である核とノルム によって特徴付けられます。したがって、幾何学的には、共変ベクトルは、ノルムによって間隔が決まる (大きいほど間隔が小さくなる) 超平面の集合として考えるべきであり、そのうちの 1 つ (核) は原点を通ります。共変ベクトルの数学的用語は、1-共ベクトルまたは1-形式です(ただし、後者は通常、共ベクトル場に対して予約されています)。

文献で検討されている量子力学的な類似点の 1 つは、反変ベクトルの共変バージョンを想像する方法を示すために、運動量 4 元ベクトルに関連付けられたド・ブロイ波(プランクの縮小定数の係数でスケーリング) の類似点です。2 つの反変ベクトルの内積は、一方の共変バージョンがもう一方の反変バージョンに作用すると考えることもできます。内積は、矢印が平面を貫通する回数です。^[18]数学的な参考文献である Lee (2003) は、これらのオブジェクトについて同じ幾何学的見解を示しています (ただし、貫通については言及していません)。

電磁場テンソルは微分2 形式であり、その幾何学的記述は MTW でも見つけることができます。

もちろん、幾何学的な観点を完全に無視して（例えば Weinberg (2002) や Landau & Lifshitz 2002 のスタイルのように）、純粋に形式的な方法で代数的に進めることもできます。インデックス体操とも呼ばれる形式主義自体の長年実証された堅牢性により、ベクトルの移動や反変ベクトルから共変ベクトルへの変更（および高次テンソル）が数学的に適切であることが保証されます。誤った表現はすぐに明らかになる傾向があります。

双線型形式 が与えられた場合、ベクトル の低次元バージョンは の部分評価として考えることができる。つまり、関連する部分評価マップが存在する。 ${\displaystyle \eta :M\times M\rightarrow \mathbf {R} }$${\displaystyle \eta }$$${\displaystyle \eta (\cdot ,-):M\rightarrow M^{*};v\mapsto \eta (v,\cdot ).}$$

下降したベクトルは、双対マップ です。 の対称性により、どの引数が部分的に評価されるかは問題ではないことに注意してください。 ${\displaystyle \eta (v,\cdot )\in M^{*}}$${\displaystyle u\mapsto \eta (v,u)}$${\displaystyle \eta }$

非退化は、部分評価写像の単射性と同等であり、または、非退化は写像の核が自明であることを示します。ここでの場合のように有限次元では、有限次元空間の次元が双対の次元に等しいことに注目すると、部分評価写像は から への線型同型であると結論付けるのに十分です。これにより、逆部分評価写像の定義が可能に なり、逆計量を として定義できます 。 ここで、 の 2 つの異なる用法は、それぞれが評価される引数によって区別できます。これは、インデックスを上げるために使用できます。座標基底が使用される場合、計量η ^{−1は確かに}ηの逆行列です。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle M^{*}}$$${\displaystyle \eta ^{-1}:M^{*}\rightarrow M,}$$$${\displaystyle \eta ^{-1}:M^{*}\times M^{*}\rightarrow \mathbf {R} ,\eta ^{-1}(\alpha ,\beta )=\eta (\eta ^{-1}(\alpha ),\eta ^{-1}(\beta ))}$$${\displaystyle \eta ^{-1}}$

現在の目的は、ミンコフスキー計量を 2 つのベクトルに適用して実数を取得する方法を、半厳密に示すことです。つまり、微分の役割と、計算で微分が消える仕組みを示します。設定は滑らかな多様体理論であり、対流場や外微分などの概念が導入されています。

x , y ∈ Mとします。ここで、

1. y − xが未来志向の時間的関係にある場合、 x はyより時系列的に先行します。この関係は 推移的な性質を持つため、 x < yと書くことができます。
2. y − x が未来指向のヌルまたは未来指向の時間的である場合、 x は因果的にyに先行します。これは時空の 部分的な順序付けを与えるため、 x ≤ yと書くことができます。

x ∈ Mが時間的であると仮定します。すると、xの同時超平面は{ y  : η ( x , y ) = 0}です。この超平面はx が変化すると変化するため、ミンコフスキー空間には同時性の相対性が存在します。

ローレンツ多様体は、ミンコフスキー空間を 2 つの方法で一般化したものです。時空の次元の総数は4 ( 2以上) に制限されず、ローレンツ多様体は平坦である必要はなく、つまり曲率を許容します。

複素化ミンコフスキー空間はM _c = M ⊕ iMと定義される。^[22]その実部は4 次元速度や4 次元運動量などの4 次元ベクトルのミンコフスキー空間であり、これらのベクトルは空間の向きの選択とは無関係である。一方、虚部は角速度や磁気モーメントなどの 4 次元擬ベクトルで構成され、向きの変化によって方向が変わる。擬スカラーiが導入され、これも向きの変化によって符号が変わる。したがって、 M _cの要素は向きの選択とは無関係である。

M _c上の内積のような構造は、任意のu、v ∈ M _{cに対して}u ⋅ v = η ( u、v )と定義されます。電子または任意のハーフスピン粒子の相対論的な純粋スピンは、 ρ ∈ M _{cによって}ρ = u + isとして記述されます。ここで、uは粒子の 4 元速度で、u ² = 1 を満たし、s は4D スピンベクトルです。^[23]これは、s ² = −1およびu ⋅ s = 0 を満たすパウリ–ルバンスキー擬ベクトルでもあります。

ミンコフスキー空間は 4 次元の数学的定式化を指します。ただし、数学は簡単に拡張または簡略化して、任意の次元数の類似の一般化ミンコフスキー空間を作成できます。n ≥ 2の場合、n次元ミンコフスキー空間は、シグネチャ( n − 1, 1)または(1, n − 1)の定数ミンコフスキー計量が存在する実次元nのベクトル空間です。これらの一般化は、時空が 4 次元以上または4次元未満であると想定される理論で使用されます。弦理論とM 理論は、 n > 4の場合の 2 つの例です。弦理論では、 1 + 1時空次元を持つ共形場理論が登場します。

ド・ジッター空間は、双曲幾何学のモデル空間と同様に、一般化ミンコフスキー空間の部分多様体として定式化できます(以下を参照)。

平坦な時空であるため、ミンコフスキー時空の 3 つの空間成分は、常にピタゴラスの定理に従います。ミンコフスキー空間は、大きな重力のないシステムにおける有限距離上の物理システムの優れた記述である特殊相対性理論に適した基礎です。ただし、重力を考慮に入れるために、物理学者は、非ユークリッド幾何学の数学で定式化された一般相対性理論を使用します。この幾何学が物理空間のモデルとして使用される場合、それは曲がった空間として知られています。

曲がった空間であっても、ミンコフスキー空間は、任意の点を取り囲む微小領域（重力特異点を除く）内では依然として優れた記述子である。 ^{[nb 6]}より抽象的に言えば、重力が存在する場合、時空は、任意の点への接空間が4 次元ミンコフスキー空間である、曲がった 4 次元多様体によって記述されると言える。したがって、ミンコフスキー空間の構造は、一般相対性理論の記述において依然として不可欠である。

ミンコフスキー空間における幾何学という用語の意味は、文脈に大きく依存します。ミンコフスキー空間は、ユークリッド幾何学を備えておらず、固有曲率を持つ一般化されたリーマン幾何学、双曲幾何学のモデル空間によって公開されるもの (負の曲率)、球面によってモデル化された幾何学(正の曲率) を備えていません。その理由は、ミンコフスキー計量の不定性にあります。特に、ミンコフスキー空間は計量空間ではなく、リーマン計量を持つリーマン多様体でもありません。ただし、ミンコフスキー空間には、双曲幾何学を生み出すリーマン計量を備えた部分多様体が含まれています。

2次元や3次元といった低次元の双曲幾何学のモデル空間は、ユークリッド計量 を用いて、さらに1次元のユークリッド空間、すなわちそれぞれまたはに等長的に埋め込むことができず、容易に視覚化できない。^{[nb 7] [24]}比較すると、正の曲率を持つモデル空間は、1つ高い次元のユークリッド空間内の球体である。^[25]埋め込み空間にミンコフスキー計量 が与えられている場合、双曲空間は、さらに1次元の空間に等長的に埋め込むことができる。 ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$${\displaystyle {\overline {g}}}$${\displaystyle \eta }$

を時空次元の 一般化ミンコフスキー空間における双曲面の上面（）と定義する。これは一般化ローレンツ群の推移面の1つである。この部分多様体上の 誘導計量、すなわち包含下でのミンコフスキー計量の 引き戻しは、リーマン計量である。この計量により、リーマン多様体 が構成される。これはリーマン幾何学のモデル空間の1つ、双曲空間の双曲面モデルである。これは一定の負の曲率 の空間である。^[26]上部の添え字の 1 は双曲幾何学の異なるモデル空間の列挙を示し、nはその次元を示す。A はポアンカレ円板モデルに対応し、 は次元のポアンカレ半空間モデルに対応する。${\displaystyle \mathbf {H} _{R}^{1(n)}\subset \mathbf {M} ^{n+1}}$${\displaystyle ct>0}$ $${\displaystyle \mathbf {H} _{R}^{1(n)}=\left\{\left(ct,x^{1},\ldots ,x^{n}\right)\in \mathbf {M} ^{n}:c^{2}t^{2}-\left(x^{1}\right)^{2}-\cdots -\left(x^{n}\right)^{2}=R^{2},ct>0\right\}}$$${\displaystyle \mathbf {M} ^{n+1}}$${\displaystyle n+1.}$$${\displaystyle h_{R}^{1(n)}=\iota ^{*}\eta ,}$$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \mathbf {H} _{R}^{1(n)}}$${\displaystyle -1/R^{2}}$${\displaystyle 2(2)}$${\displaystyle 3(n)}$${\displaystyle n.}$

上記の定義では、 は包含写像を表し、上付きの星印は引き戻しを表します。現在の目的は、 が実際に双曲空間であることを実際に証明するための準備として、この操作や同様の操作を説明することです。 ${\displaystyle \iota :\mathbf {H} _{R}^{1(n)}\rightarrow \mathbf {M} ^{n+1}}$${\displaystyle \mathbf {H} _{R}^{1(n)}}$

計量を示すためには、適切なパラメータ化を介してそれを引き戻す必要があります。多様体Mの部分多様体Sのパラメータ化は、値域がSの開部分集合であるマップU ⊂ R ^m → Mです。SがMと同じ次元を持つ場合、パラメータ化は座標マップφ : M → U ⊂ R ^mの逆になります。使用するパラメータ化は、双曲立体射影の逆です。これは、右の図でn = 2について示されています。球面の 立体射影と比較するとわかりやすいです。

ステレオ投影σ : H^nR
_​→ R ⁿとその逆関数σ ⁻¹ : R ⁿ → H^nR
_​は次のように与えられます 。 ここで、簡単のため、τ ≡ ctとします。( τ , x )はM ^{n +1}上の座標であり、u はR ⁿ上の座標です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (\tau ,\mathbf {x} )=\mathbf {u} &={\frac {R\mathbf {x} }{R+\tau }},\\\sigma ^{-1}(\mathbf {u} )=(\tau ,\mathbf {x} )&=\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}},{\frac {2R^{2}\mathbf {u} }{R^{2}-|u|^{2}}}\right),\end{aligned}}}$$

一つは 地図 $${\displaystyle h_{R}^{1(n)}=\eta |_{\mathbf {H} _{R}^{1(n)}}=\left(dx^{1}\right)^{2}+\cdots +\left(dx^{n}\right)^{2}-d\tau ^{2}}$$$${\displaystyle \sigma ^{-1}:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {H} _{R}^{1(n)};\quad \sigma ^{-1}(\mathbf {u} )=(\tau (\mathbf {u} ),\,\mathbf {x} (\mathbf {u} ))=\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}},\,{\frac {2R^{2}\mathbf {u} }{R^{2}-|u|^{2}}}\right).}$$

引き戻されたメトリックは、単純な計算方法によって取得できます。 $${\displaystyle \left.\left(\sigma ^{-1}\right)^{*}\eta \right|_{\mathbf {H} _{R}^{1(n)}}=\left(dx^{1}(\mathbf {u} )\right)^{2}+\cdots +\left(dx^{n}(\mathbf {u} )\right)^{2}-\left(d\tau (\mathbf {u} )\right)^{2}.}$$

微分を計算するための標準的な規則に従って計算し（実際には厳密に定義された外微分を計算している）、 その結果を右辺に代入します。これにより、 $${\displaystyle {\begin{aligned}dx^{1}(\mathbf {u} )&=d\left({\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)={\frac {\partial }{\partial u^{1}}}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}du^{1}+\cdots +{\frac {\partial }{\partial u^{n}}}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}du^{n}+{\frac {\partial }{\partial \tau }}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}d\tau ,\\&\ \ \vdots \\dx^{n}(\mathbf {u} )&=d\left({\frac {2R^{2}u^{n}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)=\cdots ,\\d\tau (\mathbf {u} )&=d\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)=\cdots ,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \left(\sigma ^{-1}\right)^{*}h_{R}^{1(n)}={\frac {4R^{2}\left[\left(du^{1}\right)^{2}+\cdots +\left(du^{n}\right)^{2}\right]}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}}\equiv h_{R}^{2(n)}.}$$

この最後の式は、球面上の計量がリーマン計量hと同一であることを示している。^{2( n )}
_り双曲幾何学のもう一つの標準モデルであるポアンカレ球モデルにおいて。

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• 特殊相対性理論の幾何学：ミンコフスキー空間時間光円錐
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