直交性（数学）

数学において、直交性とは、幾何学における垂直性の概念を双線形形式の線形代数に一般化したものである。

双線形形式を持つベクトル空間の2つの要素uとv${\displaystyle B}$直交しているとき${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0}$双線形形式によっては、ベクトル空間に零ベクトルや非零の自己直交ベクトルが含まれる場合があり、その場合は直交性が双曲直交性に置き換えられます。

関数空間の場合、直交多項式、直交関数、組み合わせ論などの文脈において、関数の族が直交基底を形成するために使用されます。

• 幾何学において、2つのユークリッドベクトルは、互いに垂直である、つまり直角をなす場合に直交すると言います。
• 内積空間内の2つのベクトルuとv${\displaystyle V}$内積が直交する場合、${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }$はゼロです。^{[ 2 ]} この関係は次のように表されます。${\displaystyle \mathbf {u} \perp \mathbf {v} }$。
• 内積空間におけるベクトルの集合は、それらのベクトルのどの組み合わせも直交する場合、ペアワイズ直交であると呼ばれる。このような集合は直交集合（または直交系）と呼ばれる。ベクトルを正規化すると、それらは正規直交系を形成する。
• 直交行列とは、列ベクトルが互いに直交する行列のことである。
• 正規直交基底とは、ベクトルが直交かつ正規化されている（単位ベクトルである）基底のことである。
• 等角線形変換は角度と距離の比率を保持するため、直交ベクトルを同じ等角線形変換で変換すると、それらのベクトルは直交性を維持します。
• 2つのベクトル部分空間${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$内積空間の${\displaystyle V}$の各ベクトルが の場合、それらは直交部分空間と呼ばれます。${\displaystyle A}$は、各ベクトルに直交する。${\displaystyle B}$最大のサブスペース${\displaystyle V}$与えられた部分空間に直交するものは、その直交補空間である。
• モジュールが与えられた場合${\displaystyle M}$そしてその双${\displaystyle M^{*}}$要素${\displaystyle m'}$の${\displaystyle M^{*}}$そして要素${\displaystyle m}$の${\displaystyle M}$自然なペアリングがゼロの場合、それらは直交します。${\displaystyle \langle m',m\rangle =0}$2セット${\displaystyle S'\subseteq M^{*}}$そして${\displaystyle S\subseteq M}$各要素が直交する場合${\displaystyle S'}$は、${\displaystyle S}$[ ^{3 ]​}
• 項書き換えシステムは、左線形かつ非曖昧である場合に直交であると言われます。直交項書き換えシステムは合流性です。

場合によっては、 「法線」という言葉は直交を意味するのに使われ、特に幾何学的な意味で、曲面の法線として使われます。例えば、y軸は曲線に垂直です。$\displaystyle y=x^{2}}$原点において。ただし、正規はベクトルの大きさを指す場合もあります。特に、単位ベクトルの直交集合である場合、その集合は直交（直交＋正規）と呼ばれます。そのため、 「直交」という意味で「正規」という用語を使用することはしばしば避けられます。「正規」という言葉は、確率と統計においても異なる意味を持ちます。

双線形形式を持つベクトル空間は、内積の場合を一般化したものです。2つのベクトルに双線形形式を適用した結果がゼロになる場合、それらは直交します。擬ユークリッド平面の場合、双曲直交性という用語が用いられます。図では、任意の与えられたベクトルに対して、x′軸とt′軸は双曲直交します。${\displaystyle \phi }$。

ユークリッド空間では、2 つのベクトルは、それらの内積がゼロである場合、つまり 90° の角度をなす場合に限り直交します(${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ラジアン）、またはベクトルの 1 つがゼロである。^{[ 4 ]}したがって、ベクトルの直交性は、垂直ベクトルの概念を任意の次元の空間に拡張したものである。

部分空間の直交補空間とは、その部分空間内のすべてのベクトルに直交するすべてのベクトルの空間のことである。3次元ユークリッドベクトル空間では、原点を通る直線の直交補空間は、原点を通る直線に垂直な平面であり、その逆もまた然りである。^{[ 5 ]}

2つの平面が垂直であるという幾何学的概念は、直交補空間に対応するものではないことに注意してください。なぜなら、3次元空間では、垂直な平面のそれぞれから得られるベクトルのペアが、任意の角度で交わる可能性があるからです。

4次元ユークリッド空間では、直線の直交補空間は超平面であり、その逆もまた然りである。また、平面の直交補空間は平面である。^{[ 5 ]}

積分法を用いると、2つの関数の内積を定義するために、一般的に以下のように定義される。${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$非負の重み関数に関して${\displaystyle w}$一定期間にわたって${\displaystyle [a,b]}$:

${\displaystyle \langle f,g\rangle _{w}=\int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\,dx.}$

単純なケースでは、${\displaystyle w(x)=1}$。

関数は${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$それらの内積（あるいは、この積分値）がゼロである場合、それらは直交する。

${\displaystyle \langle f,g\rangle _{w}=0.}$

2つの関数が一方の内積に関して直交しているからといって、もう一方の内積に関して直交しているとは限らない。

この内積に関するノルムを次のように表します。

${\displaystyle \|f\|_{w}={\sqrt {\langle f,f\rangle _{w}}}}$

関数セットのメンバー${\displaystyle {f_{i}\mid i\in \mathbb {N} }}$に関して直交している${\displaystyle w}$インターバル中に${\displaystyle [a,b]}$もし

${\displaystyle \langle f_{i},f_{j}\rangle _{w}=0\mid i\neq j.}$

このような関数の集合の要素は、に関して正規直交である。${\displaystyle w}$インターバル中に${\displaystyle [a,b]}$もし

${\displaystyle \langle f_{i},f_{j}\rangle _{w}=\delta _{ij},}$

どこ

${\displaystyle \delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1,&&i=j\\0,&&i\neq j\end{matrix}}\right.}$

はクロネッカーデルタです。

言い換えれば、それらのすべてのペア（関数自身とのペアを除く）は直交しており、それぞれのノルムは 1 です。特に直交多項式を参照してください。

• 任意の内積空間において、ゼロベクトルは他のすべてのベクトルと直交する。
• ベクトル${\displaystyle (1,3,2)^{\text{T}},(3,-1,0)^{\text{T}},(1,3,-5)^{\text{T}}}$互いに直交している。${\displaystyle (1)(3)+(3)(-1)+(2)(0)=0\ ,}$${\displaystyle \ (3)(1)+(-1)(3)+(0)(-5)=0\ ,}$そして${\displaystyle (1)(1)+(3)(3)+(2)(-5)=0}$。
• ベクトル${\displaystyle (1,0,1,0,\ldots )^{\text{T}}}$そして${\displaystyle (0,1,0,1,\ldots )^{\text{T}}}$これらは互いに直交しています。これらのベクトルの内積はゼロです。次に、ベクトルを一般化して考えることができます。${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}^{n}}$:$${\displaystyle \mathbf {v} _{k}=\sum _{i=0 \atop ai+k<n}^{n/a}\mathbf {e} _{i}}$$ある正の整数に対して${\displaystyle a}$、そして${\displaystyle 1\leq k\leq a-1}$これらのベクトルは直交しており、例えば${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&1&0&0&1&0\end{bmatrix}}}$、${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1&0&0&1&0&0&1\end{bmatrix}}}$、${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&1&0&0&1&0&0\end{bmatrix}}}$それらは直交している。
• 機能${\displaystyle 2t+3}$そして${\displaystyle 45t^{2}+9t-17}$−1から1までの区間において、単位重み関数に関して直交する。$${\displaystyle \int _{-1}^{1}\left(2t+3\right)\left(45t^{2}+9t-17\right)\,dt=0}$$
• 機能${\displaystyle 1,\sin {(nx)},\cos {(nx)}\mid n\in \mathbb {N} }$区間上のリーマン積分に関して直交する${\displaystyle [0,2\pi ],[-\pi ,\pi ]}$または長さのその他の閉区間${\displaystyle 2\pi }$この事実はフーリエ級数において中心的なものである。

組み合わせ論では、2つの${\displaystyle n\times n}$ラテン方陣は、重ね合わせた結果がすべての可能な方陣になる場合に直交すると言われます。${\displaystyle n^{2}}$エントリの組み合わせ。^{[ 6 ]}

2つの平面${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$ユークリッド4次元空間の直線は、すべての直線が完全直交である場合に限り、完全直交と呼ばれます。${\displaystyle A}$は、すべての線に直交します。${\displaystyle B}$[ ^{7 ]}その場合、飛行機^は${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$一点で交差する${\displaystyle O}$なので、もし行が${\displaystyle A}$線と交差する${\displaystyle B}$それらは交差する${\displaystyle O}$。${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$は垂直で、クリフォードは平行です。

4次元空間では、点を通る互いに直交する4つの軸と6つの平面を構成できます。一般性を失うことなく、これらを、${\displaystyle (w,x,y,z)}$デカルト座標系。4次元空間では、同じ3つの直交平面が存在します。${\displaystyle (xy,xz,yz)}$私たちが3次元で持っているもの、そして他の3つも${\displaystyle (wx,wy,wz)}$6つの直交平面はそれぞれ、他の4つの平面と軸を共有し、他の1つの平面とだけ完全に直交します。つまり、軸を共有しない平面は1つだけです。したがって、完全に直交する平面のペアは3組あります。${\displaystyle xy}$そして${\displaystyle wz}$原点でのみ交差する。${\displaystyle xz}$そして${\displaystyle wy}$原点でのみ交差する。${\displaystyle yz}$そして${\displaystyle wx}$原点でのみ交差する。

より一般的には、2 つの平坦な部分空間${\displaystyle S_{1}}$そして${\displaystyle S_{2}}$寸法${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$ユークリッド空間の${\displaystyle S}$少なくとも${\displaystyle M+N}$次元は、すべての線が${\displaystyle S_{1}}$は、すべての線に直交します。${\displaystyle S_{2}}$。 もし${\displaystyle \dim(S)=M+N}$それから${\displaystyle S_{1}}$そして${\displaystyle S_{2}}$一点で交差する${\displaystyle O}$。 もし${\displaystyle \dim(S)>M+N}$それから${\displaystyle S_{1}}$そして${\displaystyle S_{2}}$交差する場合もあれば、交差しない場合もある。${\displaystyle \dim(S)=M+N}$それから一行${\displaystyle S_{1}}$そして一行${\displaystyle S_{2}}$交差する場合もあれば、交差しない場合もある。交差する場合は、次の点で交差する。${\displaystyle O}$[ ^{8 ]​}

• 虚数
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• 直交群
• 直交行列
• 直交多項式
• 直交多面体
• 直交軌道
• 直交化
  • グラム・シュミット法
• 正規直交基底
• 正規直交性
• 共四元数では汎直交性が生じる
• アップタック