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環論として知られる抽象代数学の分野において、左原始環は忠実な単純左加群を持つ環である。よく知られた例としては、ベクトル空間の自己準同型環や、特性ゼロの体上のワイル代数などがある。
意味
環R は、忠実な単純左R加群を持つ場合、左原始環と呼ばれます。右原始環は、右R加群と同様に定義されます。片側が原始的であるが、もう一方が原始的ではない環が存在します。最初の例は、George M. Bergmanによって(Bergman 1964) で構築されました。Jategaonkar によって発見された、この区別を示す別の例は、Rowen (1988、p. 159) にあります。
左原始環の内部的な特徴付けは次の通りである: 環が左原始的であるためには、非零の両側イデアルを含まない極大左イデアルが存在する必要がある。右原始環についても同様の規定が可能である。
左原始環の構造は、ヤコブソンの密度定理によって完全に決定されます。つまり、環が左原始的であるためには、それが左ベクトル空間の分割環上の自己準同型環の稠密部分環に同型である必要があります。
別の同等の定義では、環が左原始的であるためには、有限長の忠実な左加群を持つ素環である必要があるとされています(Lam 2001、Ex. 11.19、p. 191)。
プロパティ
片側原始環は半原始環であり素環でもある。2つ以上の非零環の積環は素数ではないので、原始環の積が原始的になることは決してないのは明らかである。
左アルティン環の場合、「左原始」、「右原始」、「素数」、「単純」という条件はすべて同値であることが知られており、この場合、それは分割環上の正方行列環に同型な半単純環です。より一般的には、極小片側イデアルを持つ任意の環では、「左原始」=「右原始」=「素数」です。
左プリミティブであることは、森田不変特性です。
例
単位元を持つすべての単純環 Rは、左原始環と右原始環の両方です。(ただし、単純な非単位環は原始的ではない場合があります。) これは、Rが最大左イデアル Mを持つこと、商加群 R / Mが単純左R加群であること、およびその消滅子がRの適切な両側イデアルであるという事実から導かれます。Rは単純環なので、この消滅子は {0} であり、したがってR / M は忠実な左R加群です。
特性ゼロの体上のワイル代数は原始的であり、領域であるため、極小片側イデアルのない例です。
フルリニアリング
原始環の特殊なケースとして、完全線型環がある。左完全線型環は、無限次元左ベクトル空間の、分割環上の線型変換全体 の成す環である。（右完全線型環は、右ベクトル空間を使用する点で異なる。）記号では、Vは分割環D上のベクトル空間である。 R が左完全線型環であるための必要十分条件は、 Rがフォン・ノイマン正則で、左自己入射的で、 socle soc( R R ) ≠ {0}であることである。 [1]線型代数の議論により、 が行有限行列の環 と同型であることを示すことができる。ここで、Iは、サイズがD上のVの次元であるインデックス集合である。同様に、右完全線型環は、 D上の列有限行列として実現できる。
これを使うと、単純でない左原始環が存在することがわかります。ヤコブソン密度特性により、左完全線形環R は常に左原始です。 dim D Vが有限のとき、 RはD上の正方行列環ですが、 dim D Vが無限のとき、有限階数線形変換の集合はRの適切な両側イデアルであり、したがってR は単純ではありません。
参照
参考文献
- ^ グッドアール1991、100ページ。
- バーグマン、GM (1964)、「右側にあるが左側にはないリングプリミティブ」、アメリカ数学会紀要、15 (3)、アメリカ数学会: 473–475、doi : 10.1090/S0002-9939-1964-0167497-4、ISSN 0002-9939、JSTOR 2034527、MR 0167497p. 1000 訂正
- Goodearl, KR (1991)、フォン・ノイマン正則リング（第2版）、マラバー、フロリダ州：Robert E. Krieger Publishing Co. Inc.、pp. xviii+412、ISBN 0-89464-632-X、MR 1150975
- ラム・ツィット・ユエン（2001）「非可換環入門」、大学院数学テキスト第131巻（第2版）、シュプリンガー、ISBN 9781441986160、MR 1838439
- ローウェン、ルイス H. (1988)、リング理論。第 I 巻、純粋および応用数学、第 127 巻、ボストン、マサチューセッツ州: アカデミック プレス社、pp. xxiv+538、ISBN 0-12-599841-4、MR 0940245