無料の理想のリング

数学、特に環論の分野において、（右）自由イデアル環（右イデアル環、またはfir）は、すべての右イデアルが一意のランクを持つ自由加群である環である。最大でn 個の生成元を持つすべての右イデアルが自由で一意のランクを持つ環は、 n-firと呼ばれる。半firは、すべての有限生成右イデアルが一意のランクの自由加群である環である。（したがって、すべてのn ≥ 0 に対してn -firである場合、環は半fir である。） 半fir プロパティは左右対称であるが、 fir プロパティはそうではない。

左モミと右モミは領域であることがわかります。さらに、可換モミはまさに主イデアル領域であり、可換半モミはまさにベズー領域です。ただし、これらの最後の事実は、非可換環では一般には当てはまりません (Cohn 1971)。

あらゆる主右イデアル領域 Rは右モミである。なぜなら、領域のあらゆる非ゼロ主右イデアルはRと同型だからである。同様に、右ベズー領域は半モミである。

右モミのすべての右イデアルは自由であるため、射影的です。したがって、任意の右モミは右遺伝環であり、同様に右半モミは右半遺伝環です。局所環上の射影加群は自由であり、局所環は不変基底数を持つため、局所右遺伝環は右モミであり、局所右半遺伝環は右半モミであることがわかります。

主右イデアル領域とは異なり、右モミは必ずしも右ネーター的ではありませんが、可換な場合、R は遺伝的領域であるためデデキント領域であり、したがって必然的にネーター的になります。

自由イデアル環のもう一つの重要かつ動機となる例は、非可換多項式環とも呼ばれる、除算環kに対する自由結合的（単位的） k代数である（Cohn 2000、§5.4）。

半ファーは不変基底数を持ち、すべての半ファーはシルベスター領域です。

• Cohn, PM (1971)、「自由イデアル環と環の自由積」、Actes du Congrès International des Mathématiciens (ニース、1970)、第 1 巻、Gauthier-Villars、pp. 273–278、MR  0506389、2017 年 11 月 25 日にオリジナルからアーカイブ、 2010 年 11 月 26 日に取得
• Cohn, PM (2006)、「自由イデアル環と一般環における局所化」、New Mathematical Monographs、第3巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-85337-8、MR  2246388
• コーン、PM（1985）、自由環とその関係、ロンドン数学協会モノグラフ、第19巻（第2版）、ボストン、マサチューセッツ州：アカデミックプレス、ISBN 978-0-12-179152-0、MR  0800091
• コーン、PM（2000）、環論入門、シュプリンガー学部数学シリーズ、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー出版社、ISBN 978-1-85233-206-8、MR  1732101
• 「自由理想環」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]

• コーン、PM（1995）、スキューフィールド。一般除算環の理論、数学とその応用百科事典、第57巻、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-43217-0、ZBL  0840.16001