不変基底数

環論の数学分野では、環R は、 R上のすべての有限生成自由加群が明確に定義されたランクを持つ場合、不変基底数( IBN ) 特性を持つ。体の場合、IBN 特性は、有限次元ベクトル空間が一意の次元を持つという事実である。

環R は、すべての正の整数mとnに対して、R ^{m が}R ⁿと同型である(左R加群として)ならばm = nとなる場合、不変基底数(IBN)を持つ。

言い換えれば、 R ^mがR ⁿと同型となるような異なる正の整数mとnは存在しないということである。

不変基底数の定義を行列で言い換えると、AがR上のm × n行列で、B がR上のn × m行列であり、 AB = IかつBA = Iであるとき、m = nとなります。この形式から、定義が左右対称であることがわかります。したがって、IBN を左加群または右加群のどちらで定義しても違いはなく、2 つの定義は同等です。^{[ 1 ]}

定義における同型写像は環同型写像ではなく、nまたはmのいずれかが1の場合でも加群同型写像であることに注意してください。

不変基底数条件の主な目的は、IBN環上の自由加群がベクトル空間の次元定理の類似を満たすこと、すなわち、IBN環上の自由加群の任意の2つの基底が同じ濃度を持つことです。超フィルター補題（選択公理の厳密に弱い形式）を仮定すると、この結果は実際にはここで与えられた定義と等価であり、代替定義として用いることができます。

IBN環R上の自由加群R ⁿのランクは、 R ⁿと同型な任意の（したがってすべての）R加群R ^mの指数mの濃度として定義されます。したがって、IBN性質は、自由R加群のすべての同型類が一意のランクを持つことを主張します。IBNを満たさない環に対しては、ランクは定義されません。ベクトル空間の場合、ランクは次元とも呼ばれます。したがって、上記の結果を簡潔にまとめると、すべての自由R加群に対してランクが一意に定義されるのは、有限生成自由R加群に対してランクが一意に定義される場合と同値です。

任意の体は IBN を満たし、これは有限次元ベクトル空間が明確に定義された次元を持つという事実に相当します。さらに、任意の可換環(零環を除く) は IBN を満たし、^{[ 2 ]}任意の左ネーター環および任意の半局所環も同様です。

IBNを満たさない非零環の例として、列有限行列の環が挙げられる。${\displaystyle \mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)}$、係数が環Rにある行列で、要素はインデックスで示される。$\displaystyle \mathbb{N} \times \mathbb{N} }$そして各列には有限個の非ゼロ要素しか存在しない。この最後の条件により、無限行列MNの積を定義することができ、環構造が得られる。左加群同型${\displaystyle \mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)\cong \mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)^{2}}$次のように与えられます。 $${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\psi$$ :\mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)&\to &\mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)^{2}\\M&\mapsto &({\text{M の奇数列、{\text{M の偶数列)\end{array}}}

この無限行列環は、可算階数のR上の右自由加群の自己準同型であることが判明した。^{[ 3 ]}

この同型性から、(省略して) を示すことができる。${\displaystyle \mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)=S}$)任意の正の整数nに対してS ≅ S ⁿであり、したがって任意の 2 つの正の整数mとnに対してS ⁿ ≅ S ^mである。この性質を持たない IBN 以外の環の例は他にもあり、その中にはLeavitt 代数がある。^{[ 4 ]}

IBNは、零因子を持たない環が可除環に埋め込み可能であるための必要条件（ただし十分条件ではない）である（可換の場合の分数体と比較せよ）。Ore条件も参照のこと。

非自明な可除環または安定有限環はすべて不変基底数を持つ。

ランク条件を満たすすべての環（すなわち、生成数が無限である環）は、不変基底数を持つ必要がある。^{[ 5 ]}

• Abrams, Gene; Ánh, PN (2002)、「Leavitt 代数の交点として生じるいくつかの超行列代数」、J. Algebra Appl.、1 (4): 357–363、doi : 10.1142/S0219498802000227、ISSN 0219-4988、MR 1950131  
• ハンガーフォード、トーマス W. (1980) [1974]、『代数学』、大学院数学テキスト、第 73 巻、ニューヨーク: シュプリンガー・フェルラーク、pp.  xxiii+502、ISBN 0-387-90518-9MR 0600654​ 1974年のオリジナル版の復刻版
• Lam, Tsit Yuen (1999) 『加群と環に関する講義』、Graduate Texts in Mathematics、第 189巻、ニューヨーク：Springer-Verlag、pp.  xxiv+557、ISBN 0-387-98428-3MR 1653294​