ホプキンス・レヴィツキー定理

抽象代数、特に環論において、秋月・ホプキンス・レビツキーの定理は、半基本環上の加群における下降連鎖条件と上昇連鎖条件を結び付ける。環R (1 の場合) は、R / J ( R ) が半単純でJ ( R ) が冪零イデアル( J ( R )はヤコブソン根号を表す)である場合に半基本環と呼ばれる。この定理は、Rが半基本環でMがR加群である場合、3 つの加群条件であるネーター、アルティニアン、および「合成級数を持つ」は同値であることを述べている。半基本条件がない場合、唯一の真の含意は、M が合成級数を持つ場合、M はネーターかつアルティニアンであるということだけである。

この定理は、1939年のチャールズ・ホプキンス（ジョージ・エイブラム・ミラーの元博士課程の学生）の論文とジェイコブ・レビツキの論文から現在の形をとっています。このため、この定理はホプキンス・レビツキの定理として引用されることが多いです。しかし、秋月康夫は数年前の1935年に 可換環の結果^[1]を証明していたため、この定理も含まれることがあります。

右アルティン環は半一次であることが知られているので、定理の直接的な系は、右アルティン環は右ノイザン環でもある、というものです。左アルティン環についても同様のことが言えます。これは一般にアルティン加群には当てはまりません。ノイザンではないアルティン加群の例があるからです。

もう 1 つの直接的な帰結は、R が右アルティニアンである場合、R が左アルティニアンであるのは、左ネーターである場合に限ります。

以下は、次の証明である。R を半主環とし、M を左R加群とする。Mがアルティン環またはネーター環のいずれかである場合、M には合成級数が存在する。^[2] (この逆は任意の環上で成り立つ。)

J をRの根号とします。 と設定します。R加群は、 J がの消滅子に含まれるため、加群と見なすことができます。 は半単純環であるため、それぞれは半単純加群です。さらに、Jは冪零であるため、 のうち非ゼロとなるのは有限個だけです。 Mがアルティン (またはネーター) である場合、 には有限の合成級数が存在します。 合成級数を端から端まで積み重ねると、 Mの合成級数が得られます。 ${\displaystyle F_{i}=J^{i-1}M/J^{i}M}$${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle R/J}$${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle R/J}$${\displaystyle R/J}$${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle F_{i}}$

この定理にはいくつかの一般化と拡張が存在する。1つはグロタンディークカテゴリに関するものである。Gがアルティン生成子を持つグロタンディークカテゴリである場合、G内のすべてのアルティンオブジェクトはネーターである。^[3]

• アルティニアンモジュール
• ネーターモジュール
• 作曲シリーズ

• コーン、PM (2003)、基礎代数：群、環、体; 2012年版
• チャールズ・ホプキンス (1939 年 7 月)左イデアルに対する最小条件付き環、Ann. of Math. (2) 40、712–730 ページ。doi :10.2307/ 1968951
• TY Lam (2001) 非可換環入門、Springer-Verlag、55 ページISBN 0-387-95183-0 
• Jakob Levitzki (1940 年 1 月) 右手イデアルの最小条件を満たす環について、Compositio Mathematica、v. 7、pp. 214–222。