モノイド環

抽象代数学では、群環が環と群から構成されるのと同様に、モノイド環は環とモノイドから構成される環です。

R を環、Gをモノイドとする。 R 上の G のモノイド環またはモノイド代数はR [ G ]またはRGと表記され、各rに対して であり、有限個を除くすべてのgに対して_g = 0 であるような形式的な和の集合であり、係数ごとの加算と、Rの元がGの元と可換な乗算を備えている。より正式には、R [ G ] は、集合G上の自由R加群であり、 g·h  := ghによって基本元に定義されるR線型乗算を備えている。ここで、左辺はR [ G ] における乗算、右辺はGにおける乗算として理解される。 ${\displaystyle \sum _{g\in G}r_{g}g}$${\displaystyle r_{g}\in R}$${\displaystyle g\in G}$

あるいは、gを1に、 Gの他のすべての元を0に写す関数e _gと同一視することもできる。このようにして、 R [ G ]は、 { g  : φ( g ) ≠ 0 }が有限となる関数φ: G → Rの集合と同一視される。関数の加算を備え、乗算は次のように定義される。 ${\displaystyle g\in R[G]}$

${\displaystyle (\phi \psi )(g)=\sum _{k\ell =g}\phi (k)\psi (\ell )}$。

Gが群である場合、R [ G ] はR上のGの群環とも呼ばれます。

RとGが与えられたとき、各rをr 1 （ 1 はGの単位元）に写す環準同型 α: R → R [ G ]と、各gを 1 g （ 1 は R の乗法単位元）に写すモノイド準同型β : G → R [ G ]（後者は乗法の下でモノイドとみなされる）が存在する。R内のすべての r と G 内のすべての g について、 α ( r )はβ( g ) と可換であることがわかる。

モノイド環の普遍的性質は、環S、環準同型α': R → S、およびSの乗法モノイドに対するモノイド準同型β': G → Sが与えられ、すべてのrがRに、すべてのgがGにそれぞれ属する場合に α'( r ) が β'( g )と可換であるとき、一意の環準同型γ: R [ G ] → Sが存在し、 α と β を γ と合成すると α' と β ' が生成される、ということを述べています。

拡大は環準同型η : R [ G ] → Rで定義される 。

${\displaystyle \eta \left(\sum _{g\in G}r_{g}g\right)=\sum _{g\in G}r_{g}.}$

ηの核は拡大イデアルと呼ばれます。これは、Gのすべてのgが1 でない場合 に1 – gからなる基底を持つ 自由R加群です。

環Rと自然数 Nの（加法的な）モノイド（または乗法的に見た { x ⁿ }）が与えられると、 R上の多項式の環R [{ x ⁿ }] =: R [ x ] が得られます。モノイドN ⁿ（加法付き）は、n 個の変数を持つ多項式環R [ N ⁿ ] =: R [ X ₁ , ..., X _n ] を与えます。

Gが半群の場合、同じ構成により半群環 R [ G ] が得られます。

• 自由代数
• ピュイズーシリーズ

• ラング、セルジュ（2002）。代数学。大学院数学テキスト。第211巻（改訂第3版）。ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 0-387-95385-X。

• R.ギルマー『可換半群環』シカゴ大学出版局、シカゴ・ロンドン、1984年