半素数リング

数学の一分野である環論において、半素イデアルと半素環は素イデアルと素環の一般化である。可換代数では、半素イデアルは根基イデアルとも呼ばれ、半素環は被約環と同じである。

たとえば、整数環 では、半素イデアルは、 n が平方のない整数である形式のイデアルとともに、零イデアルです。したがって、は整数の半素イデアルですが (30 = 2 × 3 × 5 であり、重複する素因数を持たないため)、 はそうではありません (12 = 2 ² × 3 であり、重複する素因数を持つため)。 ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$${\displaystyle 30\mathbb {Z} }$${\displaystyle 12\mathbb {Z} \,}$

半素環のクラスには、半原始環、素環、被約環が含まれます。

この記事の定義と主張のほとんどは、(Lam 1999) と (Lam 2001) に記載されています。

可換環Rについて、真イデアルAが半素イデアルであるとは、 A が次の同値な条件のいずれかを満たす 場合である。

• ある正の整数kとRの要素xに対してx ^{k が}Aに含まれる場合、x はAに含まれます。
• yがRに含まれるがAに含まれない場合、 yのすべての正の整数乗はAに含まれません。

補集合が「べき乗に関して閉じている」という後者の条件は、素イデアルの補集合が乗算に関して閉じているという事実に類似しています。

素イデアルと同様に、これは「イデアルごとに」非可換環に拡張されます。次の条件は、環Rの半素イデアルAに対する同等の定義です。

• Rの任意のイデアルJについて、正の自然数kに対してJ ^k ⊆ Aであれば、J ⊆ Aです。
• Rの任意の右イデアルJについて、正の自然数kに対してJ ^k ⊆ Aであれば、J ⊆ Aです。
• Rの任意の左イデアルJについて、正の自然数kに対してJ ^k ⊆ Aであれば、J ⊆ Aです。
• R内の任意のxについて、xRx ⊆ Aであれば、x はA内にあります。

ここでも、素イデアルの非可換類似物がm-システムの補集合として存在します。環Rの空でない部分集合Sは、 S内の任意のsに対して、 srsがSに含まれるようなR内のrが存在する場合、 n-システムと呼ばれます。この概念により、上記のリストに同等の点を追加できます。

• R \ Aは n システムです。

環R は、零イデアルが半素イデアルである場合に半素環と呼ばれる。可換な場合、これはRが非零冪零元を持たないため、R が被約環であることと同値である。非可換な場合、環には非零冪零右イデアルが存在しないだけである。したがって、被約環は常に半素であるが、その逆は真ではない。^[1]

まず、素イデアルは半素数であること、また可換環の場合、半素数の素イデアルは素数であることは明らかです。

素イデアルの交差は通常は素ではありませんが、半素イデアルです。すぐに逆もまた真であり、すべての半素イデアルは素イデアルの族の交差であることが示されます。

環R内の任意のイデアルBに対して、次の集合を形成できます。

${\displaystyle {\sqrt {B}}:=\bigcap \{P\subseteq R\mid B\subseteq P,P{\mbox{ 素イデアル}}\}\subseteq \{x\in R\mid x^{n}\in B{\mbox{ ある }}n\in \mathbb {N} ^{+}\}\,}$

集合はBの根基の定義であり、明らかにB を含む半素イデアルであり、実際、B を含む最小の半素イデアルです。上記の包含は、一般的な場合には適切である場合もありますが、可換環の場合は等式になります。 ${\displaystyle {\sqrt {B}}}$

この定義では、イデアルAが半素数となるのは、 の場合のみです。この時点で、すべての半素数イデアルは、実際には素数イデアルの族の共通部分であることも明らかです。さらに、これは、任意の 2 つの半素数イデアルの共通部分も半素数であることを示しています。 ${\displaystyle {\sqrt {A}}=A}$

定義により、Rが半素数となるのは、 の場合、つまりすべての素イデアルの共通部分がゼロである場合のみです。このイデアルは とも表記され、 Baer の下のnilradical、Baer-Mccoy 根号、またはRの素根号とも呼ばれます。 ${\displaystyle {\sqrt {\{0\}}}=\{0\}}$${\displaystyle {\sqrt {\{0\}}}}$${\displaystyle Nil_{*}(R)\,}$

右ゴールディ環は、有限一様次元（有限階数とも呼ばれる）を自身の右加群として持ち、その部分集合の右消滅に対する昇順連鎖条件を満たす環である。 ゴールディの定理によれば、半素右ゴールディ環は、まさに半単純アルティン右古典商環を持つ環である。アルティン・ウェダーバーン定理は、この商環の構造を完全に決定する。

• ラム・ツィット・ユエン（1999）「モジュールと環に関する講義」、大学院数学テキスト第189号、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-98428-5、MR  1653294
• ラム、TY (2001)、非可換環の初歩、Graduate Texts in Mathematics、第131巻（第2版）、ニューヨーク：Springer-Verlag、pp. xx+385、ISBN 978-0-387-95183-6、MR  1838439

• 半素イデアルに関する PlanetMath の記事