数学的概念
数学 、特に 抽象代数学 において 、 環 の 逆は 、同じ元と加算演算を持ち、乗算が逆の順序で実行される別の環である。より明確には、環 ( R , +, ⋅ ) の逆は、 R 内のすべての a 、 b に対して乗算 ∗ が a ∗ b = b ⋅ a で定義される環 ( R , +, ∗ ) で ある 。 [ 1 ] [ 2 ] 逆 環 は 、 双 加 群 の 一般 化 で ある 加 群 を 定義するために使用できる。また、左加群と右加 群 の関係を明確にするのにも役立つ ( § プロパティを 参照)。
モノイド 、 群 、環、 代数は すべて、単一の オブジェクトを持つ カテゴリ として見ることができます。 反対のカテゴリ の構築により、 反対の群 、反対の環など
が一般化されます。
自己同型と反自己同型との関係 このセクションでは、一部の単項演算との混同を避けるために、反対の環における乗算の記号がアスタリスクからダイヤモンドに変更されています。
環が反対環と同型であるとき、その環は 自己反対 環と呼ばれます。 [3] [4] [a] この名前は、が本質的に と同じであることを示しています 。
R
オプ
{\displaystyle R^{\text{op}}}
R
{\displaystyle R}
すべての可換環は自己反意環である。
反同型性を定義しよう
ι : （ R 、 ⋄ ） → （ R 、 ⋅ ）
{\displaystyle \iota :(R,\diamond )\to (R,\cdot )}
、ここで 。 [ b]
ι （ 1つの ） = 1つの
{\displaystyle \iota (a)=a}
1つの ∈ R
{\displaystyle a\in R}
それは確かに反同型です。なぜなら
ι （ 1つの ⋄ b ） = 1つの ⋄ b = b ⋅ 1つの = ι （ b ） ⋅ ι （ 1つの ）
{\displaystyle \iota (a\diamond b)=a\diamond b=b\cdot a=\iota (b)\cdot \iota (a)}
だからです。反同型は 、半群、モノイド、群、環、乱数、代数に対して一般に定義できます。環 (および乱数) の場合、一般的な同値性が得られます。
ι
{\displaystyle \iota}
環 [c] が自己反同型となるのは、それが少なくとも1つの反自己同型を持つ場合のみである。
証明:
⇒
{\displaystyle \Rightarrow}
: を自己反対とします。 が同型である場合、 は反同型と同型の合成であるため、 から 自身への反同型であり、したがって反自己同型です。
（ R 、 ⋅ ）
{\displaystyle (R,\cdot )}
ふ : （ R 、 ⋅ ） → （ R 、 ⋄ ）
{\displaystyle f:(R,\cdot )\to (R,\diamond )}
ι ∘ ふ
{\displaystyle \iota \circ f}
（ R 、 ⋅ ）
{\displaystyle (R,\cdot )}
⇐
{\displaystyle \Leftarrow}
: が 反自己同型であれば、 は 2 つの反同型の合成としての同型です。 は自己反対なので。
グ : （ R 、 ⋅ ） → （ R 、 ⋅ ）
{\displaystyle g:(R,\cdot )\to (R,\cdot )}
（
ι
− 1
∘ グ ） : （ R 、 ⋅ ） → （ R 、 ⋄ ）
{\displaystyle (\iota ^{-1}\circ g):(R,\cdot )\to (R,\diamond )}
（ R 、 ⋅ ）
{\displaystyle (R,\cdot )}
そして
が自己反意であり、自己同型群が有限である 場合 、反自己同型の数は自己同型の数と等しくなります。
（ R 、 ⋅ ）
{\displaystyle (R,\cdot )}
オート （ R 、 ⋅ ）
{\displaystyle \operatorname {Aut} (R,\cdot )}
証明: 仮定と上記の同値性により、反自己同型が存在します。そのうちの 1 つを選んで と表記すると、
q
{\displaystyle q}
上に が走る 写像
h ↦ q ∘ h
{\displaystyle h\mapsto q\circ h}
は 明らかに単射ですが、同時に全射でもあります。これは、ある自己同型 に対する各反自己同型が であるためです 。
h
{\displaystyle h}
オート （ R 、 ⋅ ）
{\displaystyle \operatorname {Aut} (R,\cdot )}
グ = q ∘ （
q
− 1
∘ グ ） = q ∘ h
{\displaystyle g=q\circ (q^{-1}\circ g)=q\circ h}
h
{\displaystyle h}
同様の方法で、同じ仮定の下で、 から への同型写像の数は の 反自己同型写像の数に等しいことが証明できます 。
（ R 、 ⋅ ）
{\displaystyle (R,\cdot )}
（ R 、 ⋄ ）
{\displaystyle (R,\diamond )}
（ R 、 ⋅ ）
{\displaystyle (R,\cdot )}
ある反自己同型 が自己同型でもある場合、各
グ
{\displaystyle g}
1つの 、 b ∈ （ R 、 ⋅ ）
{\displaystyle a,b\in (R,\cdot )}
グ （ 1つの ⋅ b ） = グ （ b ） ⋅ グ （ 1つの ） = グ （ b ⋅ 1つの ）
{\displaystyle g(a\cdot b)=g(b)\cdot g(a)=g(b\cdot a)}
はすべての に対して全 単射なので、環は可換であり、 すべて の反自己同型は自己同型です。対偶により、環が非可換（かつ自己反対）である場合、反自己同型は自己同型ではありません。
グ
{\displaystyle g}
1つの ⋅ b = b ⋅ 1つの
{\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}
1つの
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
すべての自己同型とすべての反自己同型の群 を で表します。上記の説明は、 環 (または rng) が非可換かつ自己反対である場合、 となります。
グ
{\displaystyle G}
| グ | = 2 |
あ あなた t
（ R 、 ⋅ ） |
{\displaystyle \vert G\vert =2\vert \mathrm {Aut} (R,\cdot )\vert }
| グ | = |
あ あなた t
（ R 、 ⋅ ） |
{\displaystyle \vert G\vert =\vert \mathrm {Aut} (R,\cdot )\vert }
例
最小の非可換環（単位環） そのような最小の環は 8つの元を持ち、同型を除いて位数8の単位元を持つ11個の環の中で唯一の非可換環である。 [5] それは加法群 を持つ。 [3] : 76 は明らかに と反同型であり、常にそうであるが、 とも同型である。以下は , [d] における加算と乗算の表 と、転置された表である反対の環における乗算である。
R
{\displaystyle R}
Ｃ
2
×
Ｃ
2
×
Ｃ
2
=
Ｃ
2
3
{\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}=\mathrm {C} _{2}^{3}}
R
オプ
{\displaystyle R^{\text{op}}}
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
2つの環が同型であることを証明するために、表に示された
写像を取る。
ふ :
R
オプ
→ R
{\displaystyle f:R^{\text{op}}\to R}
このマップは、 と の 2 つのペアの要素のみを交換します 。それに応じて、 (引数と値) の乗算表の要素の名前を変更 します。次に、行と列を並べ替えて、引数を昇順に戻します。表は の乗算表とまったく同じになります。加法群の表で同様の変更を行うと、同じ表が生成されるため、 は この群の自己同型であり、 であるため 、これは確かに環同型です。
3 ↔ 4
{\displaystyle 3\leftrightarrow 4}
5 ↔ 7
{\displaystyle 5\leftrightarrow 7}
⋄
{\displaystyle \diamond }
R
{\displaystyle R}
ふ
{\displaystyle f}
ふ （ 1 ） = 1
{\displaystyle f(1)=1}
この写像は逆写像、つまり
ふ ∘ ふ =
id
{\displaystyle f\circ f={\text{id}}}
なので =であり、 から へ の同型写像でもあります 。
ふ
− 1
{\displaystyle f^{-1}}
ふ
{\displaystyle f}
R
{\displaystyle R}
R
オプ
{\displaystyle R^{\text{op}}}
したがって、順列は 同型を定義するように再解釈することができ 、 同じ順列 によって与えられるの反自己同型になります 。
ふ
{\displaystyle f}
ふ : （ R 、 ⋅ ） → （ R 、 ⋄ ）
{\displaystyle f:(R,\cdot )\rightarrow (R,\diamond )}
q = ι ∘ ふ
{\displaystyle q=\iota \circ f}
（ R 、 ⋅ ）
{\displaystyle (R,\cdot )}
q = （ 3 、 4 ） （ 5 、 7 ）
{\displaystyle q=(3,4)(5,7)}
環には と の 2 つの自己同型があります。 つまり です 。したがって、その完全な群に は 4 つの元があり、そのうち 2 つは反自己同型です。1 つは で 、2 つ目は で表され 、次のように計算できます。
R
{\displaystyle R}
id
R
{\displaystyle \operatorname {id} _{R}}
p = （ 3 、 5 ） （ 4 、 7 ）
{\displaystyle p=(3,5)(4,7)}
オート （ R ） = {
id
R
、 p }
{\displaystyle \operatorname {Aut} (R)=\{\operatorname {id} _{R},p\}}
グ
{\displaystyle G}
q
{\displaystyle q}
r
{\displaystyle r}
r = q ∘ p = （ 3 、 4 ） （ 5 、 7 ） （ 3 、 5 ） （ 4 、 7 ） = （ 3 、 7 ） （ 4 、 5 ）
{\displaystyle r=q\circ p=(3,4)(5,7)(3,5)(4,7)=(3,7)(4,5)}
グ = {
id
R
、 p 、 q 、 r } = {
id
R
、 （ 3 、 5 ） （ 4 、 7 ） 、 （ 3 、 4 ） （ 5 、 7 ） 、 （ 3 、 7 ） （ 4 、 5 ） }
{\displaystyle G=\{\operatorname {id} _{R},p,q,r\}=\{\operatorname {id} _{R},(3,5)(4,7),(3,4)(5,7),(3,7)(4,5)\}}
4次の元がないので、群は巡回的ではなく、群 （ クライン群 ）でなければなりません。これは計算によって確認できます。この環の「対称群」は、長方形の対称群と同型です。
だ
2
{\displaystyle \mathrm {D} _{2}}
K
4
{\displaystyle \mathrm {K} _{4}}
27個の要素を持つ非可換環 3 元体上の上三角 2 × 2 行列の環は 27 個の元を持ち、非可換環である。同型を除いて一意であり、つまり、単位元と 27 個の元を持つすべての非可換環は、この環と同型である。 [5] [6] 『指輪物語』に記載されている 最大の非可換環は27 個の元を持ち、これも同型である。この節では、 の元について『指輪物語』の表記法 を使用する。2 つの点に留意する必要がある。 によって表される元は の単位元であり 、 は 単位元ではない。 [4] : 369 の加法群は である 。 [4] : 330
すべての自己同型群には 6 つの元がある。
F
3
{\displaystyle {\text{F}}_{3}}
S
{\displaystyle S}
S
{\displaystyle S}
18
{\displaystyle 18}
S
{\displaystyle S}
1
{\displaystyle 1}
S
{\displaystyle S}
C
3
3
{\displaystyle \mathrm {C} _{3}^{3}}
Aut
(
S
)
{\displaystyle \operatorname {Aut} (S)}
h
1
=
id
S
h
2
=
(
1
,
13
,
25
)
(
2
,
26
,
14
)
(
4
,
16
,
19
)
(
5
,
20
,
17
)
(
7
,
10
,
22
)
(
8
,
23
,
11
)
h
3
=
(
1
,
25
,
13
)
(
2
,
14
,
26
)
(
4
,
19
,
16
)
(
5
,
17
,
20
)
(
7
,
22
,
10
)
(
8
,
11
,
23
)
=
h
2
−
1
=
h
2
2
h
4
=
(
4
,
16
)
(
5
,
17
)
(
7
,
22
)
(
8
,
23
)
(
13
,
25
)
(
14
,
26
)
(
3
,
15
)
(
6
,
21
)
(
12
,
24
)
h
5
=
(
1
,
13
)
(
2
,
26
)
(
4
,
19
)
(
8
,
11
)
(
10
,
22
)
(
17
,
20
)
(
3
,
15
)
(
6
,
21
)
(
12
,
24
)
h
6
=
(
1
,
25
)
(
2
,
14
)
(
5
,
20
)
(
7
,
10
)
(
11
,
23
)
(
16
,
19
)
(
3
,
15
)
(
6
,
21
)
(
12
,
24
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=\operatorname {id} _{S}\\h_{2}&=(1,13,25)(2,26,14)(4,16,19)(5,20,17)(7,10,22)(8,23,11)\\h_{3}&=(1,25,13)(2,14,26)(4,19,16)(5,17,20)(7,22,10)(8,11,23)=h_{2}^{-1}=h_{2}^{2}\\h_{4}&=(4,16)(5,17)(7,22)(8,23)(13,25)(14,26)(3,15)(6,21)(12,24)\\h_{5}&=(1,13)(2,26)(4,19)(8,11)(10,22)(17,20)(3,15)(6,21)(12,24)\\h_{6}&=(1,25)(2,14)(5,20)(7,10)(11,23)(16,19)(3,15)(6,21)(12,24).\end{aligned}}}
は自己反対な ので、反自己同型も 6 つあります。同型の 1 つは で 、これは最初の例のように「The Book」の演算表を使用して名前を変更して並べ替えることで確認できます。今回は、元の の演算表に変更を加える必要があります 。結果は の乗算表で 、加算表は変更されません。したがって、反自己同型が 1 つあります。
S
{\displaystyle S}
f
:
(
S
,
⋅
)
→
(
S
,
⋄
)
{\displaystyle f:(S,\cdot )\to (S,\diamond )}
f
=
(
1
,
14
,
13
,
2
,
25
,
26
)
(
4
,
20
,
16
,
17
,
19
,
5
)
(
7
,
8
,
10
,
23
,
22
,
11
)
(
3
,
15
)
(
6
,
21
)
(
12
,
24
)
{\displaystyle f=(1,14,13,2,25,26)(4,20,16,17,19,5)(7,8,10,23,22,11)(3,15)(6,21)(12,24)}
S
=
(
S
,
⋅
)
{\displaystyle S=(S,\cdot )}
S
op
=
(
S
,
⋄
)
{\displaystyle S^{\operatorname {op} }=(S,\diamond )}
q
1
=
ι
∘
f
=
(
1
,
14
,
13
,
2
,
25
,
26
)
(
4
,
20
,
16
,
17
,
19
,
5
)
(
7
,
8
,
10
,
23
,
22
,
11
)
(
3
,
15
)
(
6
,
21
)
(
12
,
24
)
{\displaystyle q_{1}=\iota \circ f=(1,14,13,2,25,26)(4,20,16,17,19,5)(7,8,10,23,22,11)(3,15)(6,21)(12,24)}
は同じ順列で与えられます。他の 5 つは計算できます (乗法表記では合成記号 を省略できます)。
∘
{\displaystyle \circ }
q
2
=
q
1
h
2
=
(
1
,
14
,
13
,
2
,
25
,
26
)
(
4
,
20
,
16
,
17
,
19
,
5
)
(
7
,
8
,
10
,
23
,
22
,
11
)
(
3
,
15
)
(
6
,
21
)
(
12
,
24
)
⋅
(
1
,
13
,
25
)
(
2
,
26
,
14
)
(
4
,
16
,
19
)
(
5
,
20
,
17
)
(
7
,
10
,
22
)
(
8
,
23
,
11
)
=
[
(
1
,
14
,
13
,
2
,
25
,
26
)
(
1
,
13
,
25
)
(
2
,
26
,
14
)
]
[
(
4
,
20
,
16
,
17
,
19
,
5
)
(
4
,
16
,
19
)
(
5
,
20
,
17
)
]
⋅
[
(
7
,
8
,
10
,
23
,
22
,
11
)
(
7
,
10
,
22
)
(
8
,
23
,
11
)
]
(
3
,
15
)
(
6
,
21
)
(
12
,
24
)
=
(
1
,
2
)
(
13
,
26
)
(
14
,
25
)
(
4
,
17
)
(
5
,
16
)
(
19
,
20
)
(
7
,
23
)
(
8
,
22
)
(
10
,
11
)
(
3
,
15
)
(
6
,
21
)
(
12
,
24
)
=
(
1
,
2
)
(
4
,
17
)
(
5
,
16
)
(
7
,
23
)
(
8
,
22
)
(
10
,
11
)
(
13
,
26
)
(
14
,
25
)
(
19
,
20
)
(
3
,
15
)
(
6
,
21
)
(
12
,
24
)
q
3
=
q
1
h
3
=
(
1
,
26
,
25
,
2
,
13
,
14
)
(
4
,
5
,
19
,
17
,
16
,
20
)
(
7
,
11
,
22
,
23
,
10
,
8
)
(
3
,
15
)
(
6
,
21
)
(
12
,
24
)
=
q
1
−
1
q
4
=
q
1
h
4
=
(
1
,
14
)
(
2
,
25
)
(
4
,
17
)
(
5
,
19
)
(
7
,
11
)
(
8
,
22
)
(
10
,
23
)
(
13
,
26
)
(
16
,
20
)
q
5
=
q
1
h
5
=
(
1
,
2
)
(
4
,
5
)
(
7
,
8
)
(
10
,
11
)
(
13
,
14
)
(
16
,
17
)
(
19
,
20
)
(
22
,
23
)
(
25
,
26
)
q
6
=
q
1
h
6
=
(
1
,
26
)
(
2
,
13
)
(
4
,
20
)
(
5
,
16
)
(
7
,
23
)
(
8
,
10
)
(
11
,
22
)
(
14
,
25
)
(
17
,
19
)
{\displaystyle {\begin{aligned}q_{2}&=q_{1}h_{2}=(1,14,13,2,25,26)(4,20,16,17,19,5)(7,8,10,23,22,11)(3,15)(6,21)(12,24)\\&\quad \cdot (1,13,25)(2,26,14)(4,16,19)(5,20,17)(7,10,22)(8,23,11)\\&=[(1,14,13,2,25,26)(1,13,25)(2,26,14)][(4,20,16,17,19,5)(4,16,19)(5,20,17)]\\&\quad \cdot [(7,8,10,23,22,11)(7,10,22)(8,23,11)](3,15)(6,21)(12,24)\\&=(1,2)(13,26)(14,25)(4,17)(5,16)(19,20)(7,23)(8,22)(10,11)(3,15)(6,21)(12,24)\\&=(1,2)(4,17)(5,16)(7,23)(8,22)(10,11)(13,26)(14,25)(19,20)(3,15)(6,21)(12,24)\\q_{3}&=q_{1}h_{3}=(1,26,25,2,13,14)(4,5,19,17,16,20)(7,11,22,23,10,8)(3,15)(6,21)(12,24)=q_{1}^{-1}\\q_{4}&=q_{1}h_{4}=(1,14)(2,25)(4,17)(5,19)(7,11)(8,22)(10,23)(13,26)(16,20)\\q_{5}&=q_{1}h_{5}=(1,2)(4,5)(7,8)(10,11)(13,14)(16,17)(19,20)(22,23)(25,26)\\q_{6}&=q_{1}h_{6}=(1,26)(2,13)(4,20)(5,16)(7,23)(8,10)(11,22)(14,25)(17,19)\end{aligned}}}
G
=
{
h
1
,
h
2
,
h
3
,
h
4
,
h
5
,
h
6
,
q
1
,
q
2
,
q
3
,
q
4
,
q
5
,
q
6
}
.
{\displaystyle G=\{h_{1},h_{2},h_{3},h_{4},h_{5},h_{6},q_{1},q_{2},q_{3},q_{4},q_{5},q_{6}\}.}
この群は位数 2 の元を 7 つ (自己同型が 3 つ、反自己同型が 4 つ) 持ち、二面体群 [e] として識別できる ( 小群の一覧を 参照)。幾何学的な類推では、環は 3 次元反プリズム の対称群 [f] と同型の 「 対称 群」を持つ。これは 、シェーンフライス記法、または 3 次元空間のヘルマン・モーガン記法
における 点群である。
G
{\displaystyle G}
D
6
{\displaystyle \mathrm {D} _{6}}
S
{\displaystyle S}
G
{\displaystyle G}
D
3
d
{\displaystyle \mathrm {D} _{\mathrm {3d} }}
3
¯
m
{\displaystyle {\overline {3}}m}
最小の非自己反対リングと統一性 9 から 15 の位数を持つ単位環はすべて可換であるため [5] 、それらは自己反対である。自己反対でない環は、位数 16 の環で初めて現れる。16 の 元 (37 [8 ] が可換、13 [5] が 非可換)を持つ単位環の総数 50 [7]のうち、4 つの異なる非自己反対環が存在する。 [6] それらは、互いに反対の環のペアとして結合することができ、必ず同じ加法群を持つ。これは、環の反同型は加法群の同型であるためである。
環のペア [3] : 330 と は 加法群 [3] : 262 を持ち、もう 1 つのペア [3] : 535 と 、 [3] : 541 は 群 . [3] : 433 を持ち ます。これらの演算表はこの記事では示されていません。引用元で見つけることができ、 の場合、それらは反対ですが同型ではないことが確認できます。 と の ペアについても同じことが当てはまります が、 『指輪物語』 に記載されている環 [3] : 335 は と等しくなく、同型であるだけです 。
残りの 13 − 4 = 9 個の非可換環は自己反対です。
R
1
{\displaystyle R_{1}}
R
2
=
R
1
op
{\displaystyle R_{2}=R_{1}^{\text{op}}}
C
4
×
C
2
×
C
2
{\displaystyle \mathrm {C} _{4}\times \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}}
R
3
{\displaystyle R_{3}}
R
4
=
R
3
op
{\displaystyle R_{4}=R_{3}^{\text{op}}}
C
2
×
C
2
×
C
2
×
C
2
=
C
2
4
{\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}=\mathrm {C} _{2}^{4}}
R
3
op
=
R
4
{\displaystyle R_{3}^{\text{op}}=R_{4}}
R
1
{\displaystyle R_{1}}
R
2
{\displaystyle R_{2}}
R
~
2
{\displaystyle {\widetilde {R}}_{2}}
R
2
{\displaystyle R_{2}}
2つのジェネレータによる自由代数 生成子を持つ 体 上の 自由代数は 、 語の乗算から乗算される。例えば、
k
⟨
x
,
y
⟩
{\displaystyle k\langle x,y\rangle }
k
{\displaystyle k}
x
,
y
{\displaystyle x,y}
(
2
x
2
y
x
+
3
y
x
y
)
⋅
(
x
y
x
y
+
1
)
=
2
x
2
y
x
2
y
x
y
+
2
x
2
y
x
+
3
y
x
y
x
y
x
y
+
3
y
x
y
.
{\displaystyle {\begin{aligned}(2x^{2}yx+3yxy)\cdot (xyxy+1)=&{\text{ }}2x^{2}yx^{2}yxy+2x^{2}yx\\&+3yxyxyxy+3yxy.\end{aligned}}}
すると、逆の代数の乗算は次のように表される。
(
2
x
2
y
x
+
3
y
x
y
)
∗
(
x
y
x
y
+
1
)
=
(
x
y
x
y
+
1
)
⋅
(
2
x
2
y
x
+
3
y
x
y
)
=
2
x
y
x
y
x
2
y
x
+
3
x
y
x
y
2
x
y
+
2
x
2
y
x
+
3
y
x
y
,
{\displaystyle {\begin{aligned}(2x^{2}yx+3yxy)*(xyxy+1)&=(xyxy+1)\cdot (2x^{2}yx+3yxy)\\&=2xyxyx^{2}yx+3xyxy^{2}xy+2x^{2}yx+3yxy,\end{aligned}}}
等しい要素ではありません。
四元数代数 体上の 四元数代数 [9] は、次の 関係を持つ
3つの生成元によって定義される 除算代数 である。
H
(
a
,
b
)
{\displaystyle H(a,b)}
F
{\displaystyle F}
a
,
b
∈
F
×
{\displaystyle a,b\in F^{\times }}
i
,
j
,
k
{\displaystyle i,j,k}
i
2
=
a
,
j
2
=
b
,
k
=
i
j
=
−
j
i
{\displaystyle i^{2}=a,\ j^{2}=b,\ k=ij=-ji}
すべての要素は 次の形式である
x
∈
H
(
a
,
b
)
{\displaystyle x\in H(a,b)}
x
=
x
0
+
x
i
i
+
x
j
j
+
x
k
k
{\displaystyle x=x_{0}+x_{i}i+x_{j}j+x_{k}k}
、 どこ
x
0
,
x
i
,
x
j
,
x
k
∈
F
{\displaystyle x_{0},x_{i},x_{j},x_{k}\in F}
たとえば、 の場合 、 は 通常の四元数代数です。
F
=
R
{\displaystyle F=\mathbb {R} }
H
(
−
1
,
−
1
)
{\displaystyle H(-1,-1)}
の掛け算 を と表記すると 、掛け算表は次のようになる。
H
(
a
,
b
)
{\displaystyle H(a,b)}
⋅
{\displaystyle \cdot }
すると、乗算を伴う 逆代数は 表のようになる。
H
(
a
,
b
)
op
{\displaystyle H(a,b)^{\text{op}}}
∗
{\displaystyle *}
可換環 可換環は、 すべての に対して 、および において で あるので 、 その反対環と 同型 です 。それらの演算が 等しい 、つまり であるので、 それらは等しい です。
(
R
,
⋅
)
{\displaystyle (R,\cdot )}
(
R
,
∗
)
=
R
op
{\displaystyle (R,*)=R^{\text{op}}}
x
⋅
y
=
y
⋅
x
=
x
∗
y
{\displaystyle x\cdot y=y\cdot x=x*y}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
R
{\displaystyle R}
(
R
,
∗
)
=
(
R
,
⋅
)
{\displaystyle (R,*)=(R,\cdot )}
∗
=
⋅
{\displaystyle *=\cdot }
プロパティ 2 つの環 R 1 と R 2 が 同型と なるのは、対応する反対の環が同型である場合に限ります。 環R の反意語の反意語は R と同一であり 、つまり ( R op ) op = R である。 環とその反対の環は 反同型 である。 環が 可換で あるためには、その操作がその反対の操作と一致する必要がある。 環の 左 イデアルはその反対の環の右イデアルである。 分割環 の反対環は 分割環である。 環上の左加群は、その反対の環上の右加群であり、その逆もまた同様である。
注記
^ 『指輪物語』に登場する自己反対の環は「自己反転」と名付けられており、これは別の名前だが、意味は明らかである。 ^ ι は 集合 R 上の恒等写像だが 、射としては恒等写像ではない。なぜなら、 ( R , ⋅) と ( R , ⋄) は 2 つの異なるオブジェクトであり ( R が非可換である場合)、恒等写像はオブジェクトからそれ自身へのみ可能であるからである。したがって、 R が ( R , ⋄) の省略形として理解される 場合、 ι を id R と表記することはできない 。 ( R , ⋅) が可換である場合、 ( R , ⋄) = ( R , ⋅) であり、 ι = id ( R ,⋅) = id ( R ,⋄) = id R である。 ^ この同値性（および次の等式）では、環は非常に一般的なもの、つまり単位の有無、非可換または可換、有限または無限である可能性があります。 ^ 演算表はソースのものと異なります。次のように変更されています。加算表と乗算表で単位 4 が 1 に、1 が 4 に名前変更され、行と列が並べ替えられて単位 1 が 0 の隣に配置され、わかりやすくなりました。したがって、2 つのリングは同型です。 ^ 記号 D n は、 2 n 個の 要素を持つ二面体群Dih n の 略語であり 、幾何学的な慣例が使用されています。 ^ ここでの 3 次元反プリズムという名前は、一様ではない、つまり側面が正三角形ではない直角 3 角形反プリズムとして理解されます。側面が正三角形であれば、反プリズムは D 3d より大きい対称群を持つ正八面体になります。
引用
^ ベリックとキーティング (2000)、p. 19 ^ abcdefgh ノバウアー、クリストフ（2000年10月23日）。「指輪物語」。 ^ abc Nöbauer, Christof (2000年10月26日). 「The Book of the Rings, Part II」. 2007年8月24日時点のオリジナルよりアーカイブ。 ^ abcd Sloane, N. J. A. (編)。「数列 A127708 (1 を持つ非可換環の数)」。 整数数列のオンライン百科事典 。OEIS Foundation。 ^ ab Nöbauer, Christof (2002 年 4 月 5 日). 「素数べき順序の群上の環の数」。2006 年 10 月 2 日時点のオリジナルよりアーカイブ。 ^ Sloane, N. J. A. (編)。「シーケンス A037291 (1 のリングの数)」。 整数シーケンスのオンライン百科事典 。OEIS Foundation。 ^ Sloane, N. J. A. (編)。「数列 A127707 (1 を持つ可換環の数)」。 整数数列のオンライン百科事典 。OEIS Foundation。 ^ ミルン. 類体理論 . p. 120.
参考文献 Berrick, AJ; Keating, ME (2000)。K理論を考慮した環と加群入門。ケンブリッジ高等数学研究。第65巻。ケンブリッジ大学出版局 。ISBN 978-0-521-63274-4 。 ブルバキ、ニコラス (1989)。 代数 I 。ベルリン: Springer-Verlag。 ISBN 978-3-540-64243-5 . OCLC 18588156.
参照
![{\displaystyle {\begin{aligned}q_{2}&=q_{1}h_{2}=(1,14,13,2,25,26)(4,20,16,17,19,5)(7,8,10,23,22,11)(3,15)(6,21)(12,24)\\&\quad \cdot (1,13,25)(2,26,14)(4,16,19)(5,20,17)(7,10,22)(8,23,11)\\&=[(1,14,13,2,25,26)(1,13,25)(2,26,14)][(4,20,16,17,19,5)(4,16,19)(5,20,17)]\\&\quad \cdot [(7,8,10,23,22,11)(7,10,22)(8,23,11)](3,15)(6,21)(12,24)\\&=(1,2)(13,2 6)(14,25)(4,17)(5,16)(19,20)(7,23)(8,22)(10,11)(3,15)(6,21)(12,24)\\&= (1,2)(4,17)(5,16)(7,23)(8,22)(10,11)(13,26)(14,25)(19,20)(3,15)(6,21)(12,24)\\q_{3}&=q_{1}h_{3}=(1,26,25,2,13,14)(4,5,19,17,16,20)(7,11,22,23 ,10,8)(3,15)(6,21)(12,24)=q_{1}^{-1}\\q_{4}&=q_{1}h_{4}=(1,14)(2,25)(4,17)(5,19)(7,11)(8,22)(10,23)(13,26)(16,20)\\q_{5}&=q_{1}h_{5}=(1,2)(4, 5)(7,8)(10,11)(13,14)(16,17)(19,20)(22,23)(25,26)\\q_{6}&=q_{1}h_{6}=(1,26)(2,13)(4,20)(5,16)(7,23)(8,10)(11,22)(14,25)(17,19)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/062d340a4f9c2ebebb5356d4fc673fa4f695cad2)
