プライムリング

抽象代数学において、非零 環 Rが素環であるとは、 Rの任意の 2 つの元aとbに対して、Rのすべてのrに対してarb = 0が成り立つということは、a = 0 またはb = 0 のいずれかであることを意味する。この定義は、整域と単純環の両方を同時に一般化したものと考えることができる。

本稿では上記の定義について論じるが、素環は体の最小の非ゼロ部分環を指すこともあり、これはその単位元 1 によって生成され、その特性によって決定される。特性 0 体の場合、素環は整数であり、特性p体 ( pは素数)の場合、素環は位数pの有限体である(素体を参照)。^[1]

環Rが素数となるのは、零イデアル{0} が非可換な意味で素イデアルとなる場合のみです。

このような場合、素イデアルに対する同値条件は、R が素環となるための次の同値条件をもたらします。

• Rの任意の2 つのイデアル AとBについて、AB = {0} はA = {0} またはB = {0} を意味します。
• Rの任意の2 つの右イデアルAとBについて、AB = {0} はA = {0} またはB = {0} を意味します。
• Rの任意の2 つの左イデアルAとBについて、AB = {0} はA = {0} またはB = {0} を意味します。

これらの条件を使用すると、以下がRが素環であることと同等であることが確認できます。

• すべての非ゼロ右イデアルは右R加群として忠実です。
• すべての非ゼロの左イデアルは左R加群として忠実です。

• 任意のドメインは素環です。
• 任意の単純環は素環であり、より一般的には、すべての左または右の原始環は素環です。
• 整域上の任意の行列環は素環である。特に、2 × 2 整数行列の環は素環である。

• 可換環は、整域である場合に限り、素環となる。
• 非零環が素数となるのは、そのイデアルのモノイドに零因子が存在しないときのみです。
• 素環上の行列の環もまた素環である。

• ラム、ツィットユエン（2001）、非可換環入門（第2版）、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-95325-0、MR  1838439